山东省济宁市泗水县金庄乡2020-2021学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

山东省济宁市泗水县金庄乡2020-2021学年八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共24分）

1. 在式子，，，，和中，二次根式有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列计算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 式子成立的条件是

A.  B.  C.  D.

4. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 下列根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，，，，，则

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在平行四边形中，，，、相交于点，则图中共有个平行四边形．

A.
B.
C.
D.

8. 在中，，，的对应边分别是，，，下列条件中不能确定是直角三角形的是

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

9. 如图，点是平行四边形中边上任意一点，若平行四边形面积为，则的面积为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于

A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间

11. 如图．在中，，垂直平分斜边，交于，是垂足，连接，若，则的长是   

A.
B.
C.
D.

12. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 使代数式有意义的的取值范围是______．
14. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______．
15. 已知平行四边形中，，则______．
16. 如图，中，为上一点，且，，，则______．
    
     

17. 如图，已知的三边长分别为、、，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积______．
18. 如图，已知是直角边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共58分）

19. 计算：
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值．已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知：如图，平行四边形中，，，垂足分别为、，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某地发生级地震．一解放军小分队接到上级通知后，参加抗震救灾工作．他们从地出发，沿北偏东方向行进到达地，再沿北偏西方向行进到达目的地，如图所示．求，两地之间的距离．
     

23. 如图，四边形中，，，，．
    判断是否是直角，并说明理由．
    求四边形的面积．
    
     

24. 已知：如图，在平行四边形中，点、在上，且四边形也是平行四边形．
    求证：．

25. 如图，长方形纸片沿对角线折叠，设点落在处，交于点，，，求阴影部分的面积．
    
     

26. 【知识链接】
    有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
    例如：的有理化因式是；的有理化因式是．
    分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
    ，．
    【知识理解】
    填空：的有理化因式是______；
    直接写出下列各式分母有理化的结果：
    ______；______．
    【启发运用】
    计算：．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：在式子，，，，和中，二次根式有：，，，
共有个，
故选：．
根据二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的定义，熟练掌握是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、二次根式的加法，实质上是合并同类二次根式，不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、二次根式相除，等于被开方数相除，故B正确；
C、根号外的也要相乘，等于，故C错误；
D、根据，等于，故D错误．
故选：．
根据二次根式的运算法则分析各个选项．
既要熟悉二次根式的加减乘除运算法则，还要熟悉二次根式化简的一些性质．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，，
当时，，．
，．
．
故选：．
根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性解决此题．
本题主要考查算术平方根、绝对值，熟练掌握算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、被开方数含分母，故A不符合题意，
B、被开方数含开得尽的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含开得尽的因数或因式，故C不符合题意；
D、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．
本题考查了最简二次根式，被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，，，，
；
；
．
故选：．
根据勾股定理进行逐一计算即可．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

7.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
平行四边形有：▱，▱，▱，▱，▱，▱，▱，▱，▱共个．
即共有个平行四边形．
故选：．
根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：：，
：：：：，
即，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
，
，
，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形的内角和定理求出的度数即可判断选项C，根据三角形内角和定理求出的度数即可判断选项D．
本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：平行四边形面积为，
．
故选：．
由点是平行四边形中边上的任意一点，可得与▱等底等高，继而可得．
此题考查了平行四边形的性质．注意与▱等底等高．
 

10.【答案】
 

【解析】解：点坐标为，
，
点、均在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
，
．
点在轴的负半轴上，
点的横坐标介于和之间．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，由于，故估算出的长，再根据点在轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，，
，
垂直平分斜边，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
求出，根据线段垂直平分线求出，求出、，求出、、，由勾股定理求出，再求出即可．
本题考查了线段垂直平分线，含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
 

12.【答案】
 

【解析】解：将长方体展开，连接、，
根据两点之间线段最短，
如图，，，
由勾股定理得：．


如图，，，
由勾股定理得，．


只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
由于，
故选：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
 

13.【答案】且
 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由图可得，
，
则，，
化简．
故答案为：．
根据、在数轴上所在的位置判断出其符号及绝对值的大小，再化简二次根式即可．
本题考查了绝对值和二次根式的化简．我们知道，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身；，．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为．
首先利用平行四边形性质得到，，推出，求出的度数，即可求出．
本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，，
又，
是直角三角形，
是直角三角形．
．
先根据勾股定理的逆定理得出、是直角三角形，再根据勾股定理求出的长．
本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理，确定是直角是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：直角的两直角边分别为，，
，
以为直径的半圆的面积是，
以为直径的半圆的面积是 ，
以为直径的面积是 ，
的面积是，
阴影部分的面积是．
故答案为．
阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．
本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题．
 

18.【答案】
 

【解析】解：设等腰直角三角形一个直角边为，
等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍
第一个也就是的斜边长：；
第二个，直角边是第一个的斜边长，所以它的斜边长：；

第个，直角边是第个的斜边长，其斜边长为：．
故答案为：．
设等腰直角三角形一个直角边为，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，可以发现第个，直角边是第个的斜边长，即可求出斜边长．
此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，从中发现规律．此题有一定的拔高难度，属于中档题．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

；
原式
．
 

【解析】先利用二次根式的除法法则运算，然后化简即可；
先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；
先利用分母有理化、二次根式的性质、零指数幂的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
则．
 

【解析】根据平方差公式求出，根据分式的乘法法则把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的乘法、分式的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
；
又，，
；
易证≌．
．
 

【解析】要证明，只需证明两个角所在的三角形、全等即可．
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质，获得全等的条件是解题的关键．
 

22.【答案】解：过作南北方向的平行线，交点的正东方向于点．
，，
，
，
，
为直角三角形．
在中，
由勾股定理得，，
，
即、两地之间的距离为．
 

【解析】根据图形和题意可得出为直角三角形，在中，根据勾股定理即可求出的值．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据方向角的定义得出为直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：连接，

，
，
，
是直角三角形，即是直角；

，
．
 

【解析】连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
根据即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，交于点，

四边形和四边形都是平行四边形，
，，
．
 

【解析】由平行四边形的性质可得，，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 

25.【答案】解：由翻折而成，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，即，解得，
．
 

【解析】先根据翻折变换的性质得出，再由平行线的性质得出，故可得出，设，则，在中根据勾股定理可求出的值，进而得出结论．
本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
 

26.【答案】解：；
 ；  ；
原式，
，
．
 

【解析】解：，
的有理化因式是．
故答案为：．
；
．
故答案为：；．
见答案．
由，即可找出的有理化因式；
分式中分子、分母同时，即可得出结论；分式中分子、分母同时，即可得出结论；
利用分母有理化将原式变形为，合并同类项即可得出结论．
本题考查了分母有理化，解题的关键是：由，找出的有理化因式；根据平方差公式，将各式分母有理化；利用分母有理化将原式变形为．