鲁教版 (五四制)八年级下册第八章 一元二次方程3 用公式法解一元二次方程教学设计及反思

《一元二次方程根的判别式》教学设计

【课标要求】会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．

【教学目标】

1． 经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论及转化的思想方法．

2．能用一元二次方程根的判别式，判别方程是否有实数根、两个实数根是否相等．

【教学重点与难点】

教学重点：用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根或两个实根是否相等．

教学难点：为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况．

突破难点的关键：结合平方根的性质理解一元二次方程的求根公式．

【教法】：以学生为主体的探究，教师为辅助的启发式教学模式．采用经历、观察、发现、质疑、探究、总结等学习过程，完成本节的教学任务．

【多媒体应用】PPT课件、实物投影

【教学设计流程】

一、创设情境提出问题

1．教师活动：问题引领，适时点评．

一元二次方程的一般形式是什么？说出我们共学过哪些解一元二次方程的方法．

学生活动：能力展示  分组比赛解方程

（1）x2+4=4x   （2）x2+2x=3 （3）x2-x+2=0

【设计意图】回顾一元二次方程的一般形式，为学生进行根的判别式研究而准备；简单回顾解一元二次方程的方法，为下面解方程提供方法的准备；设计方程不同解的情况，提出疑惑，引出本节课的探究．

2．教师活动： 激发质疑

观察上面三个方程根的情况，你有什么发现？

学生活动：发现并提出问题

三个方程的根的情况是不同的．方程①有两个相等的实数根；方程②有两个不相等的实数根；方程③没有实数根．三个方程都是一元二次方程，但它们的根的情况却不相同，是什么决定一元二次方程产生了不同的根的情况？

【设计意图】《课标》要求学生“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题”．通过学生发现问题，引起疑惑，提出问题，引出研究的课题．

3．教师活动：板书课题，出示学习目标．

（1）知道什么叫一元二次方程的根的判别式，为什么能根据它来判断方程根的情况．

（2）能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．

（3）体会分类思想、转化思想的应用．

学生活动：明确目标

【设计意图】通过出示学习目标，让学生了解本节课将研究什么内容，明确将解决什么问题，在学习中达到怎样的目标．让学生带着目标进行有目的的学习．

二、探究新知 解疑答惑

活动一: 自主学习 初步感悟

教师活动：指导学生自学，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备

请同学们带着下面的问题，自学课本第66页“议一议”到“例3”以前部分，在自学过程中注意分类讨论的思想方法的使用．

问题：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)它何时有两个不相等的实数根？何时有两个相等的实数根？何时没有实数根？

学生活动：自学学习，初步感悟 ．

【设计意图】《课标》要求“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”让学生带着问题进行自主学习、小组的合作交流，更能深入的理解教师提出的两个问题．

活动二：师生合作归纳提升

教师活动：引领学生理解归纳，屏幕出示定义及判断方法．

学生活动：展示交流，总结归纳．

1．定义：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定．因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式．通常用符号“Δ”希腊字母来表示读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac．

2．一元二次方程的根的判别方法

一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

当Δ＞0时有两个不相等的实数根

当Δ＝0时有两个相等的实数根

当Δ＜0时没有实数根．

这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况．

【设计意图】《课标》要求“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用”．通过学生的自主学习，进行相应的总结，得到一元二次方程根的判别式判断根的规律，提高学生的相应能力． 对学生总结的概括与提高．让学生更深入地理解，求根的判别式的值，根本的目的是确定它的符号，由它的符号来确定一元二次方程根的情况．

活动三：实战演练  初步运用 

教师活动：出示习题，引导学生思考；板演例题，适时点拨、追问．

学生活动：分析解题思路，明确解题步骤，实战演练．

例1 利用一元二次方程根判别式，判断下列方程根的情况：

（1）2x2+x-4=0

（2）4y2+9=12y

（3）5(t2+1)-6t=0

本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述交流解题过程．

建议：教给学生审题意，本题让我们干什么？用什么知识解决？如何设计书写格式？

第1小题的解法教师板书，

解 ：∵ 2x2+x-4=0

∴a=2,b=1,c=-4

∴Δ=12- 4×(-4)=1+16=17＞0

所以:原方程有两个不相等的实数根．

第2、3小题由学生完成，教师巡视．待学生做完后，教师请一名学生向大家交流自己的解题结果（用实物投影仪），教师及时点评． 引领学生回顾上面的解题过程，师生共同总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的．所以，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：

一化  将一元二次方程化为一般形式；

二算  确定a、b、c的值算出Δ的值；

三判断根据结论1判别方程根的情况．

【设计意图】进一步明确思路、强调解题方法及格式． 感受成功的快乐，体验独克服困难、解决数学问题的过程．

活动四：逆向思考拓展延伸

教师活动：问题引领，激发思考．

上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？

学生活动：思考、交流、辨析．

从而得到结论2

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0

当方程有两个相等的实数根时，  Δ＝0

当方程没有实数根时，            Δ＜0

建议：将结论2与结论1放在同一幅幻灯片内展示以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系．

【设计意图】明确一元二次方程根的判别式的左右互逆性质，可由根的判别式的值的符号决定根的情况；也可以由根的情况，来间断根的判别式的符号．

三、应用迁移  能力提升

教师活动：出示习题，指导研讨，适时点拨．

学生活动：思考、分析，并与同伴交流，说出自己的想法．

1．例2 已知关于x的一元二次方程kx2-2x-1 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围?

教师视情况进行点拨：本题让我们解决什么问题？题中有哪些条件？用什么知识可以解决这个问题？师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题依据为结论2，仔细判断方程的类型，切记勿忘a≠0．

解∵方程有两个不相等的实数根   

 ∴Δ＞ 0

即 (-2)2-4k×(-1) ＞0, 解得k＞-1

∵方程是一元二次方程

∴ k≠0

所以：k＞-1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．

【设计意图】进行一元二次方程根的判别式的逆应用．通过简单的题目，让学生感受“有两个***的实数根”一定涉及到根的差别式的知识来解决问题，及“一元二次方程”一定进行二次项系数不等于零的检验．提供解题答案，是让学生更为清晰解题的书写格式．

变式练习一：

1．去掉例2中的“一元二次”，其它不条件不变,那k的取值范围是否发生改变？

即：已知关于x的方程kx2-2x-1 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围?

学生思考、分析，并与同伴讨论交流；教师必要时进行点拨：题意中还能有哪些条件可以替代“一元二次方程”这个条件？让学生意识到“有两个实数根”就隐藏着条件“一元二次方程”，所以结果中依然要考虑k≠0．

2．如果同时把条件中的“一元二次”与“两个不相等的”去掉，那么此题又如何确定k的取值范围？

即：已知关于x的方程kx2-2x-1 = 0有实数根，求k的取值范围?

学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路：当原题中不明确方程的类型时，我们将采用分类讨论的思想方法，把方程看成“一元一次”“一元二次”方程分别来解，最后进行综合．

 解：（1）当方程为一元二次方程时，

∵方程有实数根

∴Δ≥ 0

即：(-2)2-4k×(-1) ≥0, 解得k≥-1

∵方程是一元二次方程

 ∴ k≠0

所以：k≥-1且k≠0

（2）当方程是一元一次方程时

∴k=0且方程有实数根

所以：当k≥-1时，方程有实数根．

【设计意图】《课标》要求：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学学知识之间的关联”．这个变式的设计，重在于学生对审题的要求．理解“方程”与“一元二次方程”的区别，及如何通过方程名称、方程式、根的个数来判断方程的类型，以增强学生的审题能力． 让学生明确当条件不清时，进行数学的分类讨论思想方法的应用．

变式练习二：

关于x的方程，(k-1)x2-(k-1)x+4=0有两个相等的实数根，求k的值．

建议：学生独立完成，完成后进行个别学生展示答案，教师及时跟进点评．

【设计意图】体验方程类型的判断角度：名称“一元二次方程”，方程式的二次项系数是否确定，根的个数等三个方面进行判断方程的类型．

四、小结与评价

1、通过本节课的学习，你有哪些收获？

本节课的主要内容

（1）一元二次方程根的判别式的意义

（2）由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况，即结论1

（3）由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号，即结论2．

2．本节课你对自己的表现满意吗？自己最精彩的地方在哪儿？还有哪些不足的？

【设计意图】课堂小结是本节课相关知识点、解题方法、情感多方面的总结，也是学生对本节课学习的再认识与提炼，对学生学习过程的概括、构建相应的知识体系都起着重要作用．更对本节课自我学习成果的检验，也是情感价值观的提升．

五、当堂检测

1．一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________．

2．若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等则a的值是     

A．a=0    B．a =2或a =-2    C．a =2    D．a =2或a =0

3． 不解方程，判别下列方程根的情况： x(x+1)=3 ．

4、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根．说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由．第3、4题学生独立解决，待学生都做齐后由学生讲评．

六、板书设计

一元二次方程根的判别式

1．定义：ax2+bx+c=0(a≠0)    Δ=b2-4ac．

2．定理：Δ＞0   不等实根  一化

      Δ＝0   相等实根 二算

Δ＜0　无实根 三判

3． 逆定理：

4．类型：名称、方程式、根的个数