2022年黑龙江省哈尔滨四十七中中考数学一模试卷（含解析）

2022年黑龙江省哈尔滨四十七中中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 水位升高米时水位变化记作米，那么水位下降米时水位变化记作

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于

A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限

5. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为

A.
B.
C.
D.

7. 将抛物线向右平移个单位长，再向上平移个单位长，所得到的抛物线的表达式为

A.  B.
C.  D.

8. 某车间有名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母个或螺栓个，若分配名工人生产螺栓，其它工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，连接，若，则的大小是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知点、、分别在的边、、上，连接、、，，，则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 将用科学记数法表示为______．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______ ．
13. 计算：的结果是______．
14. 计算：______．
15. 不等式组的解集是______．
16. 某扇形的半径为，其弧长为，则此扇形的面积是______．
17. 一个不透明的袋子中装有个黑球，个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率为______ ．
18. 如图，是的弦，半径于点，且，，则半径的长为______．
    
     

19. 在平行四边形中，有一个内角是，，为边上的高，，则______．
20. 如图，在矩形中，对角线与交于点，点在线段上，，于点，若，，则线段的长为______．
    
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

21. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共53.0分）

22. 如图，网格纸中每个小正方形的边长均为，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
    在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；
    在图中画出以为边的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出线段的长．

23. 为估计九年级学生的学习成绩状况，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题
    
    本次一共抽取了多少名学生？
    通过计算将条形统计图补充完整；
    该校九年级共有人参加了这次考试，请估计该校九年级共有多少名学生的成绩达到良好以上包括良好
    
    
    
    
    
    
     
24. 在菱形中，点在上，点在上，连接、，分别交于、两点，．
    如图，求证：；
    如图，当时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形都是锐角三角形除外．

25. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多元，用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等．
    求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
    若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共本，且购买文学书和故事书的总费用不超过元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
    
    
    
    
    
    
     
26. 已知，在中，、都是的直径，过点作的切线交的延长线于点，点在弧上，连接、，交于点．
    如图，求证：；
    如图，连接，，求证：为等腰三角形；
    如图，在的条件下，过点作于点，过作于点，若，，求线段的长．

27. 已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，．
    如图，求直线的解析式；
    如图，点是第一象限内一点，，交轴负半轴于点，若点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
    如图，在的条件下，当时，点是线段上，点在线段上，，连接，作轴，连接交线段于点，连接、，若，，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：水位下降米时水位变化记作，
故选：．
根据正数与负数的意义即可求出答案．
本题考查正数与负数，解题的关键是熟练运用正数与负数的意义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】

【解析】

解：
A、，是平方差公式，故A正确；
B、，故B不正确；
C、，故C不正确；
D、，故D不正确；
故答案为．
分别根据平方差公式、同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数幂的除法进行判断即可．
本题主要考查整式的乘法公式及同底数幂的运算，掌握整式的平方差公式、完全平方公式及同底数幂的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
故选：．  

4.【答案】

【解析】

解：反比例函数的图象经过点，
，
该函数的图象位于二、四象限；
故选：．
根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，求出的值，再根据，判断所经过象限．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：，，，
故选：．
俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：，，．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
 

6.【答案】

【解析】

解：在中，，
则，
故选：．
根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
根据函数图象的平移规律，可得答案．
【解答】
解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的解析式为．
故选A．  

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据生产螺母数是生产螺栓数量的倍，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，
依题意，得：．
故选：．  

9.【答案】

【解析】

解：绕点按逆时针方向旋转到的位置，
，，
，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得，等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，再由平行线的性质即可得到的大小．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

10.【答案】

【解析】

解：，，
，，，故A正确，
，，
∽，∽，
，则，故D正确，
，故B正确，
在所给的条件中，不能得出，故不能说明，故C错误．
故选：．
根据，，不难判断∽，∽，再利用相似三角形的对应边成比例，即可得出结果．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，对相似三角形的对应边成比例这一性质的掌握与应用是解答的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：根据题意得，，
，
故答案为．
由分式的分母不为，求出的范围．
此题是函数自变量的取值范围题，主要考查了分式有意义的条件，分母不为，解本题的关键是列出不等式．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
利用算术平方根定义判断即可．
【解答】
解：，
故答案为．  

14.【答案】

【解析】

解：

，
故答案为：．
利用单项式乘多项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为．
故答案为．
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：一个扇形的弧长是，半径长为，
此扇形的面积，
故答案为：．
根据扇形的面积公式求出即可．
本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键．
 

17.【答案】

【解析】

解：列表如下

由列表可知共有种可能，两次都摸到黑球的有种，
所以两个球都是黑球的概率为，
故答案为：．
依据题意先用列表法展示所有等可能的结果数，再找出两次摸出的小球都是黑球的结果数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

18.【答案】

【解析】

解：连接，如图，设，
，
，
在中，则有，
，
故答案为：．
根据垂径定理由得到，再根据勾股定理开始出，然后用即可得到．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

19.【答案】

或
 

【解析】

解：如图，当的角是时，

四边形是平行四边形，
，
，
，
；
当的角是时，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：或．
画出相应的简图，分两种情况：当的角是时；当的角是时，再由平行四边形的性质及直角三角形的性质即可求的长度．
本题主要考查平行四边形的性质，解答的关键是明确角的位置．
 

20.【答案】

【解析】

解：在矩形中，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
在和中，根据勾股定理得：
，
，
化简得：，
解得或舍去，
，
，，
．
故答案为：．
根据矩形性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

21.【答案】

解：原式

，
，
原式．
 

【解析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出的值，把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

22.【答案】

解：如图，正方形即为所求；
如图，即为所求．

 

【解析】

根据正方形的判定作出图形即可；
作一个腰为的等腰三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】

解：名．
答：本次一共抽取了名学生．

名，
答：抽取的学生中，成绩为中的有名．
条形图如图所示：


名．
答：估计该校九年级共有名学生的成绩达到良好以上．
 

【解析】

根据成绩为良的人数和百分比求出总人数即可．
求出成绩为中的学生数，画出条形图即可．
用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

24.【答案】

证明：四边形是菱形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
解：图中的符合条件的四个等腰三角形为、、、，理由如下：
由可知，≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、是等腰三角形，且是锐角三角形，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
、是等腰三角形，且是锐角三角形．
 

【解析】

证明≌，即可得出结论；
证，则、是等腰三角形，且是锐角三角形，再证，则、是等腰三角形，且是锐角三角形．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】

解：设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，根据题意得：
 ，
解得：，
经检验是原方程的解，当时，
答：去年文学书单价为元，则故事书单价为元．
设这所学校今年购买本文学书，根据题意得．
，
，
最小值是；
答：这所中学今年至少要购买本文学书．
 

【解析】

设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，根据用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
设这所学校今年购买本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
 

26.【答案】

证明：是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
；

证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；

解：如图，连接，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，，
在中，，
过点作于，
则，，
点是的中点，
是的中位线，
，
，，
∽，
，
，
，
，
在中，，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
．
 

【解析】

利用同角的余角相等判断出，即可判断出结论；
先判断出，再判断出进而判断出，即可得出结论；
先判断出≌，得出，进而得出，求出直径，再判断出∽，求出，进而求出，再求出，再用勾股定理求出，最后用勾股定理求解，即可得出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解的关键．
 

27.【答案】

解：当时，，即，
，
，
，即，
把代入直线得：
解得：，
直线的解析式为：．
过作交延长线于，

轴，，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，
又，即，
．
由得，
又，
，
，
，即，，
，
，
又，
，
轴，
，
，，
，
和中，，
，
，
又，
，
，
，
，
在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
，，
，
是直线，
在直线中，
令，则，
，
．
 

【解析】

先利用确定点坐标，根据，可得出点坐标，然后把点坐标代入得的值，即可得到抛物线解析式；
过作交延长线于，根据矩形的判定和性质得出，，再根据正方形的判定和性质得出，然后通过证≌，可得出，由，即可得到答案；
由，结合中的结论，可得出，，由，，可得，根据平行线的性质得出，由，，得出，进而得到，根据勾股定理得出、的长度，进而得出点、点坐标，所以是直线，在直线中，令，则，求出的值，即可得出点的坐标．
本题为一次函数综合运用题，涉及到三角形全等、一次函数表达式的求解，其中，求解点的坐标是本题的难点，本题数据处理非常复杂，对学生数据计算能力要求很高．