2023年黑龙江省哈尔滨四十七中中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省哈尔滨四十七中中考数学四模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省哈尔滨四十七中中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 水位升高0.8米时水位变化记作+0.8米，那么水位下降0.7米时水位变化记作(    )
A. 0米 B. 0.7米 C. −0.8米 D. −0.7米
2. 下列运算正确的是(    )
A. a10÷a2=a5 B. a2⋅a3=a6           
C. (a+b)2=a2+b2 D. (a+b)(a−b)=a2−b2
3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
4. 已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(−2,8)，则该函数的图象位于(    )
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限
5. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，坡角为32°的斜坡上两树间的水平距离AC为2，则两树间的坡面距离AB为(    )
A. 2tan32°
B. 2tan32∘
C. 2cos32°
D. 2cos32∘
7. 将抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为(    )
A. y=3(x+1)2−2 B. y=3(x+1)2+2
C. y=3(x−1)2−2 D. y=3(x−1)2+2
8. 方程32x+1=1x−1的解为(    )
A. x=6 B. x=5 C. x=4 D. x=3
9. 一个扇形的半径是4cm，圆心角是45°，则此扇形的弧长是(    )
A. πcm B. 2πcm C. 4πcm D. 8πcm
10. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC//EF，AE=3，BE=2，CF=4，则线段CD的长为(    )


A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将6520000000用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=x3−2x中，自变量x的取值范围是______．
13. 计算： 27−3 13=______．
14. 分解因式：4x2−4=          ．
15. 不等式组2x+2<0−x+1≤3的解集是______ ．
16. 如图，在△ABC中，AC=BC，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C，若BC=2 3，则半径OA为______ ．


17. 抛物线y=−3(x+4)2−5的顶点坐标是______ ．
18. 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是______ ．
19. 在平行四边形ABCD中，∠A=50°，点E在平行四边形的边上，连接AE、BE.若△ABE是直角三角形，则∠CBE的度数为______ ．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，E是AB的中点，连接DE，∠ADE=45°，若AC=6，BD=5，则线段AD的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
21. 先化简，再求代数式x+1x÷(x−x2+12x)的值，其中x=2sin60°+tan45°．
四、解答题（本大题共6小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
22. (本小题7.0分)
如图，在7×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段AB，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)将线段AB绕着点C逆时针旋转90°得到线段DE(点A、B的对应点分别为点E、D).请画出线段DE；
(2)在(1)的条件下，连接AE，以AE为对角线作平行四边形ADEF，画出平行四边形ADEF，并直接写出平行四边形ADEF的面积．

23. (本小题8.0分)
数学学习小组对学生会倡导的“我为绿化献爱心”捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，并绘制成如下统计图.图中从左到右各矩形高度比为3：4：5：8：6.又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
(1)本次调查一共调查了多少人？
(2)这组数据的众数是______ ，中位数是______ ．
(3)该校共有1560名学生，估计全校学生共捐款多少元？

24. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，AF=BE．

(1)如图1，求证：DF=DC；
(2)如图2，延长DF交AB于点G，连接CF，若AB=CF，请直接写出图中等于线段FG长的3倍所有线段．
25. (本小题10.0分)
某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
(2)如果该班级需要自动铅笔的数量是钢笔的数量的2倍还多8个，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过670元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
26. (本小题10.0分)
已知：如图，在⊙O中，AC、DE为弦，AC//DE，连接AE、CD交于H，AC= 2AH．

(1)如图1，求证：AE⊥CD；
(2)如图2，AB为⊙O的直径，过B作BF//AE交CD于G，交AC于F，求证：CF=DE；
(3)在(2)的条件下，如图3，连接AD、OH，若BF：AE=4：5．OH= 2，求线段AD的长．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+8k与y轴交于点A，与x轴交于点B，OA=34OB．

(1)求直线AB的解析式；
(2)如图1，点C是线段OA上一点，点D是线段AB上一点，AD=AC，连接CD、BC，设点C的纵坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)如图2，在(2)的条件下，BD=2OC，点E在线段BC上，连接AD，∠EAO=45°，点P在线段OB上，连接CP、PE，将△CEP沿着直线EP折叠得到△FEP，FP交线段BC于点Q，若△PEQ的面积等于△BPC的面积的18，∠BPQ为锐角，求点F的坐标．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：水位下降0.7米时水位变化记作−0.7，
故选：D．
根据正数与负数的意义即可求出答案．
本题考查正数与负数，解题的关键是熟练运用正数与负数的意义，本题属于基础题型．

2.【答案】D 
【解析】解：A、a10÷a2=a8，故此选项错误；
B、a2⋅a3=a5，故此选项错误；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、(a+b)(a−b)=a2−b2，正确．
故选：D．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及乘法公式计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．

3.【答案】A 
【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意原意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意原意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

4.【答案】B 
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(−2,8)，
∴k=−16<0，
∴该函数的图象位于二、四象限；
故选：B．
根据反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k，求出k的值，再根据k<0，判断所经过象限．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k是解题关键．

5.【答案】C 
【解析】解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：1，1，1，
故选：C．
俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：1，1，1．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．

6.【答案】D 
【解析】解：在Rt△ABC中，cosA=ACAB，
则AB=ACcosA=2cos32∘，
故选：D．
根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：∵抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0)，
∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为(1,2)，
∴平移后抛物线的解析式为y=3(x−1)2+2．
故选：D．
先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0)，则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为(1,2)，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．

8.【答案】C 
【解析】解：32x+1=1x−1，
方程两边同乘(2x+1)(x−1)得：3x−3=2x+1，
移项解得：x=4．
将x=4代入(2x+1)(x−1)≠0，
∴x=4是原分式方程的解．
故选：C．
将分式方程两边同乘(2x+1)(x−1)转化为一元一次方程即可得出结论．
本题考查了分式方程的解法，其中确定最简公分母是解题关键．

9.【答案】A 
【解析】解：由题意得，扇形的半径为4cm，圆心角为45°，
故此扇形的弧长为45π×4180=π(cm)，
故选：A．
根据弧长公式进行计算即可．
此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．

10.【答案】D 
【解析】解：∵AD//BC//EF，
∴AEBE=DFCF，
∵AE=3，BE=2，CF=4，
∴32=DF4，
∴DF=6，
∴CD=DF+CF=6+4=10．
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理解答即可，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，并灵活进行运用．

11.【答案】6.52×109 
【解析】解：6520000000=6.52×109．
故答案为：6.52×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．

12.【答案】x≠32 
【解析】解：由题意，得
3−2x≠0，
解得x≠32，
故答案为：x≠32．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了函数自变量有意义的范围，利用分母不等于零得出不等式是解题关键．

13.【答案】2 3 
【解析】解：原式=3 3−3× 33=2 3．
故答案为：2 3．
直接化简二次根式，进而合并求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

14.【答案】4(x+1)(x−1) 
【解析】解：原式=4(x2−1)=4(x+1)(x−1)．
故答案为：4(x+1)(x−1)．
所求代数式中含有公因数4，可先提取公因数，然后运用平方差公式分解因式．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行分解，注意要分解彻底．

15.【答案】−2≤x<−1 
【解析】解：解不等式2x+2<0，得：x<−1，
解不等式−x+1≤3，得：x≥−2，
则不等式组的解集为−2≤x<−1，
故答案为：−2≤x<−1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16.【答案】2 
【解析】解：连接CO，

∵OA为半径的圆与BC相切于点C
∴∠BCO=90°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∵OA=CO，
∴∠A=∠OCA，
∴∠B=∠A=∠OCA，
∵∠B+∠A+∠OCA=90°，
∴∠B=∠A=∠OCA=30°，
∴BO=2CO，
设CO=x，则BO=2x，
故x2+(2 3)2=(2x)2，
解得：x=2，
则⊙O的半径为：2．
故答案为：2．
直接利用切线的性质得出∠BCO=90°，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出⊙O的半径．
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确得出∠B的度数是解题关键．

17.【答案】(−4,−5) 
【解析】解：∵y=−3(x+4)2−5是抛物线的顶点式，
∴抛物线y=−3(x+4)2−5的顶点坐标是(−4,−5)，
故答案为(−4,−5)．
利用抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，掌握求抛物线的顶点坐标的方法是解题的关键．

18.【答案】12 
【解析】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是：816=12．
故答案为：12．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19.【答案】90°或40° 
【解析】解：当AE⊥BC时，

∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵ABCD是平行四边形，∠A=50°，
∴∠ABD=130°，
∴∠ABE=180°−∠AEB−∠A=180°−90°−50°=40°，
∴∠CBE=∠ABC−ABE=130°−40°=90°，
当AB⊥BE时，

∵AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABC−ABE=130°−90°=40°，
故答案为：90°或40°．
分情况讨论，当AE⊥BC时，计算∠CBE的度数，当AB⊥BE时，计算∠CBE的度数即可．
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．

20.【答案】3 5 
【解析】解：在AC上截取AF=AE，连接DF，过E点作EG⊥BC于G，则∠EGC=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD=∠EAD，
在△FAD和△EAD中，
AF=AE∠FAD=∠EADAD=AD，
∴△FAD≌△EAD(SAS)，
∴DF=DE，∠FDA=∠EDA=45°，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDF+∠EDG=90°，
∵∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
在△CDF和△GEF中，
∠FCD=∠DGE=90°∠CDF=∠GEDDF=ED，
∴△CDF≌△GEF(AAS)，
∴CD=GE，
∵E为AB的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG=12AC=3，
∴CD=3，
∴AD= AC2+CD2= 62+32=3 5．
故答案为：3 5．
在AC上截取AF=AE，连接DF，过E点作EG⊥BC于G，则∠EGC=90°，证明△FAD≌△EAD、△CDF≌△GEF可得CD=GE，利用三角形的中位线定理求解GE的长，再利用勾股定理可求解AD．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线，勾股定理，证明CD=EG是解题的关键．

21.【答案】解：当x=2× 32+1= 3+1时，
∴原式=x+1x×2xx2−1
=2x−1
=2 3
=2 33． 
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

22.【答案】解：(1)如图，线段DE为所作；
(2)如图，平行四边形ADEF为所作，平行四边形ADEF的面积=4×2=8．
 
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点B、A的对应点即可；
(2)把E点向上平移2个单位得到F点，则四边形ADEF满足条件，然后根据平行四边形的面积公式计算它的面积．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

23.【答案】25  25 
【解析】解：(1)根据图文所提供的信息，不妨设捐款25元的有8x人，30元的有6x人．
依题得方程：8x+6x=42，
解得：x=3，
所以捐款人数共有3x+4x+5x+8x+6x=78(人)；
答：本次调查一共调查了78人；
(2)由(1)可得：捐款10元的有9人，捐款15元的有12人，捐款20元的有15人，捐款25元的有24人，捐款30元的有18人，
所以众数为25，中位数为25+252=25；
故答案为：25，25；
(3)(9×10+12×15+15×20+24×25+18×30)÷78×1560=34200(元)，
答：估计全校学生共捐款34200元．
(1)根据题意不妨设捐款25元的有8x人，30元的有6x人，根据此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人，即可列方程求解；
(2)众数就是出现次数最多的数，把捐款金额从小到大排列，利用中位数的定义解答；
(3)利用加权平均数公式即可求的平均数，然后乘以总人数即可．
本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．

24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠BAD=∠B=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B，∠ADF=∠EAB=90°−∠DAE，
在△ADF和△EAB中，
∠AFD=∠B∠ADF=∠EABAF=EB，
∴△ADF≌△EAB(AAS)，
∴DF=AB，
∴DF=DC．
(2)解：作FH⊥CD于点H，
由(1)得DF=AB=DC，
∵AB=CF，
∴DF=CF=DC，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC=60°，
∴∠DFH=∠CFH=12∠DFC=30°，
∵∠FGC=∠ADC=90°，
∴FH//AD，
∴∠ADG=∠DFH=30°，
∴∠GAF=90°−∠DAF=∠ADG=30°，
∴AG=2FG，DG=2AG，
∵DG=2×2FG=4FG，
∴DF=4FG−FG=3FG，
∴AB=DC=DF=CF=3FG，
∴等于线段FG长的3倍的线段有线段AB，线段DF，线段DC，线段CF． 
【解析】(1)由矩形的性质得AB=DC，∠BAD=∠B=90°，因为∠AFD=90°，所以∠AFD=∠B，∠ADF=∠EAB=90°−∠DAE，而AF=EB，即可证明△ADF≌△EAB，得DF=AB，所以DF=DC；
(2)作FH⊥CD于点H，由(1)得DF=AB=DC，而AB=CF，所以DF=CF=DC，则∠DFC=60°，所以∠DFH=∠CFH=30°，由FH//AD，得∠ADG=∠DFH=30°，则∠GAF=90°−∠DAF=∠ADG=30°，所以AG=2FG，DG=2AG，则DG=4FG，于是得DF=3FG，则AB=DC=DF=CF=3FG，所以等于线段FG长的3倍的线段有线段AB，线段DF，线段DC，线段CF．
此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明△ADF≌△EAB是解题的关键．

25.【答案】解：(1)设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，
依题意，得：x+5y=503x+2y=85，
解得：x=25y=5．
答：该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元．
(2)设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买(2m+8)支该品牌的自动铅笔，
依题意，得：25m+5(2m+8−m)<670，
解得：m<21，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为20．
答：该班级最多可购买20支该品牌的钢笔． 
【解析】(1)设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，根据“购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买(2m+8)支该品牌的自动铅笔，根据总价=单价×数量结合班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于670元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26.【答案】(1)证明：∵AC//DE，
∴∠ACD=∠CDE，
∵∠CAE=∠CDE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AH=CH，
∵AC= 2AH，
∴AC= 2CH，
设AH=CH=a，
∴AC= 2a，
∵AH2+CH2=a2+a2=2a2，AC2=( 2a)2=2a2，
∴AH2+CH2=AC2，
∴△AHC为直角三角形，
∴∠AHC=90°，
∴AE⊥CD；
(2)证明：在Rt△AHC中，∵∠AHC=90°，AH=CH，
∴∠HAC=∠HCA=90°2=45°，
∵BF//AE，
∴∠CGB=∠CHE=90°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵CG=CG，∠CGF=∠CGB=90°，
∴△CGF≌△CGB(ASA)，
∴CF=CB，
连接BE，

∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BGH=∠GHE=∠AEB=90°，
∴四边形GHEB为矩形，
∴BG=EH，
∵∠AED=∠ACD=45°，∠DHE=∠CGB=90°，
∴△DHE≌△CGB(ASA)，
∴DE=CB，
∴DE=CF；
(3)解：∵BF：AE=4：5，
∴设BF=4m，则AE=5m，
由(2)知△CGF≌△CGB，
∴GF=GB=12BF=2m，
∵∠CGF=90°，∠GCF=45°
∴∠GFC=90°−∠FCG=45°，
∴∠GCF=∠GFC=45°，
∴FG=CG=2m，
连接BE，

由(2)知四边形GHEB为矩形，
∴BG=HE=2m，
∵AE=5m，
∴AH=AE−HE=3m，
由(1)知AH=CH，
∴CH=AH=3m，
∴GH=CH−CG=m，
∴BE=GH=m，
∵∠AEB=90°，
∴tan∠BAE=BEAE=m5m=15，
∵∠EHD=90°，∠HDE=45°，
∴∠HED=90°−∠HDE=45°=∠HDE，
∴HD=HE=2m，
∵∠AHD=90°，
∴AD= AH2+DH2= 13m，
连接OC，
∵AH=CH，AO=OC，OH=OH，
∴△AOH≌△CO(SSS)，
∴∠AHO=∠CHO，
∴∠AHO+∠CHO=90°，
∴∠AHO=∠CHO=45°，
过O作OK⊥AE于K，
∵∠OKH=90°，∠OHK=45°，
∴∠KOH=∠KHO=45°，
∴OK=HK，
∵∠OKH=90°，OH= 2，
∴sin∠OHK=OKOH=OK 2= 22，
∴OK=1，
∴HK=OK=1，
∵∠AKO=90°，
∴tan∠OAK=OKAK=1AK=15，
∴AK=5，
∴AH=AK+HK=6，
∴3m=6，
解得m=2，
∴AD= 13m=2 13． 
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠ACD=∠CDE，求得AH=CH，设AH=CH=a，根据勾股定理的逆定理得到△AHC为直角三角形，求得AE⊥CD；
(2)根据等腰直角三角形的性质得到∠HAC=∠HCA=90°2=45°，根据平行线的性质得到∠CGB=∠CHE=90°，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得CF=CB，连接BE，根据矩形的性质得到BG=EH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(3)设BF=4m，则AE=5m，由(2)知△CGF≌△CGB，得到GF=GB=12BF=2m求得FG=CG=2m，连接BE，由(2)知四边形GHEB为矩形，得到BG=HE=2m，求得AH=AE−HE=3m，由(1)知AH=CH，得到CH=AH=3m，根据三角函数的定义得到tan∠BAE=BEAE=m5m=15，根据勾股定理得到AD= AH2+DH2= 13m，连接OC，根据全等三角形的性质得到CF=CB，过O作OK⊥AE于K，解直角三角形即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．

27.【答案】解：(1)对于直线y=kx+8k，
∵k≠0，
∴当y=0时，则x+8=0，
∴x=−8，
∴B(−8,0)，
∴OB=8，
∵OA=34OB．
∴OA=6，
∴A(0,6)，
把A(0,6)代入y=kx+8k，
得0−k+8k=6，
解得k=34，
∴y=34x+6．
答：直线AB解析式为y=34x+6．
(2)在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=8，
∴AB= AO2+BO2= 62+82=10．
∴sin∠BAO=BOAB=45，
∵yC=t，
∴OC=t，
∴AC=AO−OC=6−t，
∵AD=AC，
∴AD=6−t，
∵AB=10，
∴BD=AB−AD=4+t，
过C作CG⊥AB于G，
∴∠CGA=90°，
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，AC=6−t，
∴sin∠GAC=sin∠BAO=CGAC=CG6−t=45，
∴CG=245−4t5，
∴S=S△BCD=12BD⋅CG=12(4+t)×(245−4t5)=−25t2+45t+485．

答：S与t的函数关系式为S=−25t2+45t+485．
(3)由(2)知BD=4+t，OC=t，
∵BD=2OC，
∴4+t=2t，
∴t=4，
∴C(0,4)．
∵B(−8,0)，
设BC解析式为y=k1x+b1(k1≠0)
∴b1=4−8k1+b1=0，
解得k1=12b1=4，
∴yBC=12x+4．
延长AE交x轴于M，
在Rt△AOM中，∠AOM=90°，∠MAO=45°，
∴∠OMA=90°−∠MAO=45°=∠MAO，
∴OA=OM=6，
∴M(−6,0)，
∵A(0,6)，
∴yAM=x+6，
∵AM与BC交于E，
联立y=12x+4y=x+6，
解得x=−4，
∴E(−4,2)，
过E作EN⊥x轴于N，
∴EN=2，ON=4，
∵OB=8，
∴BN=BO−ON=4，
∴N为BO中点，
∵EN//OC，
∴BEEC=BNON=11，
∴BE=CE，
∴E为BC中点，
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，
∴BE= EN2+BN2=2 5，
∴CE=BE=2 5，
过P作PH⊥BC于H，
∵S△PEC=12EC⋅PH，S△BPC=12PH⋅BC，BC=2EC，
∴S△PEC=12S△BPC，
∵S△PEQ=18S△BPC，
∴S△PEQ=14S△PEC，
∴12EQ⋅PH=14×12×CE⋅PH，
∴EQ=14EC，
∵EC=2 5，
∴EQ= 52，
∴BQ=BE−EQ=3 52，
过Q作QK⊥BO于K，
∵Rt△QKB中，∠QKB=90°，sin∠QBK= 55，
∴sin∠QBK=QKBQ=QK3 52= 55，
∴QK=32，
∴BK=2QK=3，
∴OK=OB−BK=5，
∴Q(−5,32)，
∵将△CEP沿直线EP折叠得△FEP，
∴△FEP≌△CEP，
∴FP=CP，S△FPE=S△CEP，
∴S△EPQ=14S△FPE，
过E作EW⊥FP于W，
∴12EW⋅PQ=14×12EW⋅FP，
∴PQ=14FP，
过F作FJ⊥x轴于J，
∴∠FJP=∠QKP=90°，
∴FJ//QK，
∴△PQK∽△PFJ，
∴QKFJ=PQPF=PKPJ，
∴32FJ=14=PKPJ，
∴FJ=6，
设PK=m，则PJ=4m，
∵BK=3，ON=4，BO=8，
∴KN=BO−BK−ON=1，
∴PN=KN−KP=1−m，
∴PO=PN+ON=1−m+4=5−m，
在Rt△POC中，∠POC=90°，
∴PC2=PO2+OC2=(5−m)2+42，
在Rt△FJP中，∠FJP=90°，
∴PF2=FJ2+PJ2=62+(4m)2，
∵PC=PF，
∴(5−m)2+42=62+(4m)2，
解得m1=−1(舍)，m2=13，
∴PJ=4m=43，PN=1−m=23，
∴JN=PN+PJ=2，
∵ON=4，
∴OJ=JN+ON=6，
∴F(−6,6)．
 
【解析】(1)求出B点坐标，根据OA=34OB，求出A点坐标，利用待定系数法求解析式即可．
(2)作辅助线，利用勾股定理求出AB，根据三角函数表示出CG，即可求解．
(3)作辅助线，求出直线BC、AM的解析式，联立求出E点坐标，CE=BE=2 5，利用面积法求出BQ，利用三角函数求出Q点坐标，根据题意，利用相似三角形的性质及勾股定理即可求解．
本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．