北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.3 直线的方程第3课时复习练习题

1.1.3　直线的方程

第3课时　直线方程的一般式、点法式

1.直线x-y=0的倾斜角为(　　)

A.30° B.45°

C.60° D.90°

【答案】B

【解析】直线x-y=0的斜率为1，设其倾斜角为α，则0°≤α<180°，由tan α=1，得α=45°，故选B.

2.点M(x0，y0)是直线Ax+By+C=0上的点，则直线方程可表示为(　　)

A.A(x-x0)+B(y-y0)=0

B.A(x-x0)-B(y-y0)=0

C.B(x-x0)+A(y-y0)=0

D.B(x-x0)-A(y-y0)=0

【答案】A

【解析】由点在直线上得Ax0+By0+C=0，得C=-Ax0-By0，代入直线方程Ax+By+C=0，得A(x-x0)+B(y-y0)=0，故选A.

3.已知直线kx-y+1-3k=0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　)

A.(0，0) B.(0，1)

C.(3，1) D.(2，1)

【答案】C

【解析】kx-y+1-3k=0可化为y-1=k(x-3)，所以直线恒过定点(3，1).

4.若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为(　　)

A.1 B.-1 

C.-2或1 D.-1或2

【答案】D

【解析】当直线ax+y-2-a=0过原点时，可得a=-2.

当直线ax+y-2-a=0不过原点时，

由题意知，当a=0时，直线l与x轴无交点，当a≠0时，直线l在x轴上的截距为，

在y轴上的截距为2+a，由题意得=2+a，

解得a=1，或a=-2.

综上知，a=-2或a=1.

所以直线l的斜率为-1或2.

5.写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=　　　　. 

【答案】(2，-1)(答案不唯一)

【解析】因为直线l:Ax+By+C=0，法向量为(A，B)或(-A，-B)，

所以2x-y-1=0的法向量为(2，-1).

6.若直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等，则a=　　　　. 

【答案】1

【解析】由题意知a≠0，当x=0时，y=2;

当y=0时，x=，∵2=，∴a=1.

7.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点，则此定点是　　　　. 

【答案】(-2，1)

【解析】由y=mx+2m+1，得y-1=m(x+2)，所以直线恒过定点(-2，1).

8.在y轴上的截距为-6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　. 

【答案】x-y-6=0

【解析】设直线的斜截式方程为y=kx+b(k≠0)，

则由题意得k=tan 45°=1，b=-6，

所以y=x-6，

即x-y-6=0.

9.根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式:

(1)斜率是，经过点A(8，-2);

(2)经过点B(-2，0)，且与x轴垂直;

(3)斜率为-4，在y轴上的截距为7;

(4)经过点A(-1，8)，B(4，-2);

(5)经过C(-1，5)，D(2，-1)两点;

(6)在x，y轴上的截距分别是-3，-1.

解(1)由点斜式，得y+2=(x-8)，化简，得x-3y-8-6=0.

(2)直线方程为x=-2，即x+2=0.

(3)由斜截式，得y=-4x+7，化成一般式为4x+y-7=0.

(4)由两点式，得，化成一般式为2x+y-6=0.

(5)由两点式方程得，化成一般式为2x+y-3=0.

(6)由截距式方程得=1，化成一般式为x+3y+3=0.

10.直线x+2y+1=0在x轴上的截距是(　　)

A.1 B.-1 

C.0.5 D.-0.5

【答案】B

【解析】令y=0，则x+1=0，解得x=-1，

即直线在x轴上的截距为-1.

故选B.

11.直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线x-y=3的斜率的相反数，则(　　)

A.m=-，n=1 B.m=-，n=-1

C.m=，n=-1 D.m=，n=1

【答案】D

【解析】∵直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，

∴0-3n+3=0，解得n=1.

∵直线x-y=3的斜率为，

∴直线mx+ny+3=0的斜率为-=-，解得m=.

∴m=，n=1.

故选D.

12.过点(-1，0)，且与直线有相同方向向量的直线的方程为(　　)

A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0

C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0

【答案】B

【解析】由，可得3x+5y+8=0，即直线的斜率为-，

由题意可知所求直线的斜率为k=-，

故所求的直线方程为y=-(x+1)，即3x+5y+3=0.

故选B.

13.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 (　　)

A.0， B.0，∪，π

C.，π D.，π

【答案】D

【解析】∵a2+1≠0，∴直线的斜率k=-，∴-1≤k<0.

所以直线的倾斜角的取值范围是，π.

14.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0，则下列说法正确的是(　　)

A.直线l的斜率可以等于0

B.直线l的斜率有可能不存在

C.直线l可能过点(2，1)

D.若直线l的横截距与纵截距相等，则m=±1

【答案】BD

【解析】当m=0时，斜率不存在，当m≠0时，斜率不等于0，A错，B正确;

∵2-m+m-1=1≠0，∴(2，1)不在直线上，C错;

当m=0时，纵截距不存在，当m≠0时，令x=0，得y=，令y=0，得x=1-m，由=1-m，得m=±1，D正确.故选BD.

15.(2020上海行知中学高二期中)过点A(-1，3)，且与向量n=(1，2)垂直的直线方程是　　　　　　　　　.(用一般式表示) 

【答案】x+2y-5=0

【解析】因为直线与向量n=(1，2)垂直，又过点A(-1，3)，

所以直线的方程是1×(x+1)+2×(y-3)=0，即x+2y-5=0.

16.已知直线x+2y=2分别与x轴，y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为　　　　. 

【答案】

【解析】直线方程可化为+y=1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1).由动点P(a，b)在线段AB上可知0≤b≤1，因为a+2b=2，所以a=2-2b，故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2.因为0≤b≤1，所以当b=时ab取得最大值.

17.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程;

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

解(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距为零，显然相等，所以a=2，方程为3x+y=0.

由题可知a+1≠0，即a≠-1.

当a≠2时，由=a-2，解得a=0，

所以直线l的方程为x+y+2=0.

综上所述，所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2，

所以

解得a≤-1.

18.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线l过定点;

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.

(1)证明直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，

故无论k取何值，直线l总过定点(-2，1).

(2)解直线l的方程可化为y=kx+2k+1，

则直线l在y轴上的截距为2k+1，

要使直线l不经过第四象限，则

故k的取值范围是k≥0.

(3)解依题意，直线l在x轴上的截距为-，

在y轴上的截距为1+2k，且k>0，

所以A-，0，B(0，1+2k)，

故S=|OA||OB|=×(1+2k)

=4k++4≥×(4+4)=4，

当且仅当4k=，即k=时，等号成立，

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0.