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2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级（下）开学数学试卷（含答案）
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这是一份2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级（下）开学数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播广告
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
3．（3分）点A（1，y1），点B（2，y2）在反比例函数的图象上，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
4．（3分）不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝3，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
6．（3分）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
7．（3分）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
8．（3分）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
9．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝ ．
12．（4分）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ．
13．（4分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为 ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝ ．
15．（4分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是 cm．
16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为 ．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2）．
（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（2）在旋转过程中，点B运动路径为弧BB1，那么弧BB1的长为 ．
20．（6分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
四、解答题（每小题8分，共24分）
21．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．
（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数m的值．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
五、解答题（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半径．
25．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播广告
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【解答】解：A．打开电视机，它正在播广告，属于随机事件；
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7，属于必然事件；
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张不会中奖，属于随机事件；
D．抛掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件；
故选：B．
【点评】本题主要考查了随机事件，解题时注意：必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
3．（3分）点A（1，y1），点B（2，y2）在反比例函数的图象上，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】直接将点A（1，y1）和点B（2，y2）代入反比例函数，求出y1、y2的值比较出大小即可．
【解答】解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数图象上，
∴y1＝2，y2＝1，
∵2＞1，
∴y1＞y2，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，明确反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
4．（3分）不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从袋子中随机摸出一个球，摸到不是同一个球即认为是不同的情况，则有10种情况，而摸到黑球的情况有4种，根据概率公式即可求解．
【解答】解：∵共4+6＝10个球，黑球有4个，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是＝．
故选：D．
【点评】考查了概率公式的知识，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．理解：摸到不是同一个球即认为是不同的情况，是解决本题的关键．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝3，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，
∴AB＝2BC＝6，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．（3分）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：2（1+x）2＝128，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
8．（3分）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得．
【解答】解：∵⊙O的直径为2，则半径是：1，
∴S⊙O＝π×12＝π，
连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO＝BO＝1，
在Rt△ABO中，AB＝＝，
即扇形的对应半径R＝，
弧长l＝＝，
设圆锥底面圆半径为r，则有
2πr＝，
解得：r＝．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
9．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°．
∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，
∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝2，转化为S△ACF＝4，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴E（2a，），
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为2，AE＝EC，
∴S△ACF＝4，
∴＝4，
解得：k＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝ 5 ．
【分析】利用根与系数的关系得到﹣1+x2＝4，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，
即﹣1+x2＝4，
解得x2＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（4分）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 6 ．
【分析】设反比例函数解析式为y＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝3×（﹣4）＝﹣2m，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，
根据题意得k＝3×（﹣4）＝﹣2m，
解得m＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（4分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为 直线x＝1 ．
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x＝＝1．
故答案为：直线x＝1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关系是解答此题的关键．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝ 1：9 ．
【分析】本题通过平行四边形的性质可以得到AB＝CD且AB∥CD，进而得到△AOE∽△CBO，在通过AE：ED＝1：2，得到AE：BC＝1：3，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD且AB∥CD，
∴△AOE∽△CBO，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以S△AOE：S△COB＝1：9，
故答案为：1：9，
【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的性质，本题要熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．（4分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是 5 cm．
【分析】先根据垂径定理构造出直角三角形，再根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示：
则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，AB＝10﹣2＝8（cm），
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝4（cm），
设半径为Rcm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即该光盘的半径是5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理、切线的性质以及勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据切线长定理得到EC＝EF，根据勾股定理列式求出CE，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：假设AE与以BC为直径的半圆切于点F，则AB＝AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴EC与BC为直径的半圆相切，
∴EC＝EF，
∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（2+CE）2＝22+（2﹣CE）2，
解得：CE＝，
∴DE＝2﹣＝，
∴阴影部分的面积＝22﹣×π×12﹣×2×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为 ﹣1 ．
【分析】取BC中点G，连接HG，AG，由直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝1，由勾股定理可求AG＝，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【解答】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，
∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝1，
在Rt△ACG中，AG＝＝
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形三边关系、勾股定理，确定使AH值最小时点H的位置是本题的关键．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2）．
（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（2）在旋转过程中，点B运动路径为弧BB1，那么弧BB1的长为 ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求；
（2）点B运动路径的长＝＝π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式l＝．
20．（6分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝与一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；
（2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝与一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1；
（2）根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
四、解答题（每小题8分，共24分）
21．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．
（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解可得；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能，
∴另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中乙、丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种，
∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数m的值．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）利用公式法求得已知方程的两个根，结合“方程的两根都为整数、m是正整数”来求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＞0．
∴△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）＝﹣8m+40＞0．
解得，m＜5；
（2）由题意得，，
∵x为整数，且m为正整数，
∴m＝3或m＝5，
又m＜5．
∴m＝3．
【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
【分析】（1）利用等角的补角相等可得∠AFB＝∠D，从而证明结论；
（2）由∠BAE＝30得，cos∠BAE＝，由（1）知，△ABF∽△EAD，则，代入即可．
【解答】（1）证明：∵∠D+∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，
∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠D+∠C＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴cos∠BAE＝，
由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴
∴，
∴BF＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABF∽△EAD是解题的关键．
五、解答题（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）作AH⊥BC于H，根据题意易求得∠BAC＝2∠CAH，利用角的关系和圆周角定理可求得∠CAH＝∠CAD，即可求解；
（2）连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，根据圆周角定理可求得AG垂直平分BC，再求证四边形GHDF为平行四边形，设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，根据勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠HAC+∠C＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAH，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAH，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CAH＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：如图，连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，
∵G是的中点，
∴，
∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，
∴∠CAG＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AG垂直平分BC，
∴AG为直径，
∴∠ADG＝∠ACG＝90°，
∴∠GDH＝∠ACH＝90°，
∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，
∴∠AGC＝∠AHC，
∴AG＝AH，
∴CG＝CH，
在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，
∵∠AEB＝90°＝∠ACG，
∴BD∥GH，
∴四边形GHDF为平行四边形，
∴DH＝FG＝2，
设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，
在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，
在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝4，
∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，
∴8r﹣4＝28，解得r＝4，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题主要考查了圆的综合知识，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练掌握关于圆的相关性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
25．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
【分析】（1）作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，先通过抛物线解析式求出点B坐标，通过AB＝3BD可得点A纵坐标，将其代入二次函数解析式求解．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，由S△ABC＝S△BCF+S△ACF求解．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点Q坐标为（0，4+m），根据抛物线的对称性可得点Q坐标，进而求解．
【解答】解：（1）作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，
将x＝0代入y＝（x﹣2）2得y＝4，
∴点B坐标为（0.4）．
∵AB＝3BD，
∴＝＝，
∴AE＝4BO＝16，
将y＝16代入y＝（x﹣2）2得16＝（x﹣2）2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，16）．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，
将（6，16）代入y＝kx+4得16＝6k+4，
解得k＝2，
∴y＝2x+4，
将x＝2代入y＝2x+4得y＝8，
∴点F坐标为（2，8），
∴FC＝8，
∴S△ABC＝S△BCF+S△ACF＝FC•（xC﹣xB）+FC•（xA﹣xC）＝×8×（2﹣0）+×8×（6﹣2）＝24．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点Q坐标为（0，4+m），
由题意可得P，Q关于对称轴对称，
∴点P坐标为（4，4+m），
将（4，4+m）代入y＝2x+4得4+m＝8+4，
解得m＝8，
∴该抛物线平移了8个单位．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播广告
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
3．（3分）点A（1，y1），点B（2，y2）在反比例函数的图象上，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
4．（3分）不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝3，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
6．（3分）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
7．（3分）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
8．（3分）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
9．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝ ．
12．（4分）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ．
13．（4分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为 ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝ ．
15．（4分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是 cm．
16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为 ．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2）．
（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（2）在旋转过程中，点B运动路径为弧BB1，那么弧BB1的长为 ．
20．（6分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
四、解答题（每小题8分，共24分）
21．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．
（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数m的值．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
五、解答题（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半径．
25．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
2021-2022学年广东省珠海市香洲区九洲中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播广告
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【解答】解：A．打开电视机，它正在播广告，属于随机事件；
B．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7，属于必然事件；
C．某彩票的中奖机会是1%，买1张不会中奖，属于随机事件；
D．抛掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件；
故选：B．
【点评】本题主要考查了随机事件，解题时注意：必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
3．（3分）点A（1，y1），点B（2，y2）在反比例函数的图象上，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】直接将点A（1，y1）和点B（2，y2）代入反比例函数，求出y1、y2的值比较出大小即可．
【解答】解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数图象上，
∴y1＝2，y2＝1，
∵2＞1，
∴y1＞y2，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，明确反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
4．（3分）不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从袋子中随机摸出一个球，摸到不是同一个球即认为是不同的情况，则有10种情况，而摸到黑球的情况有4种，根据概率公式即可求解．
【解答】解：∵共4+6＝10个球，黑球有4个，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是＝．
故选：D．
【点评】考查了概率公式的知识，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．理解：摸到不是同一个球即认为是不同的情况，是解决本题的关键．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝3，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，
∴AB＝2BC＝6，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．（3分）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：2（1+x）2＝128，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
8．（3分）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得．
【解答】解：∵⊙O的直径为2，则半径是：1，
∴S⊙O＝π×12＝π，
连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO＝BO＝1，
在Rt△ABO中，AB＝＝，
即扇形的对应半径R＝，
弧长l＝＝，
设圆锥底面圆半径为r，则有
2πr＝，
解得：r＝．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
9．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°．
∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，
∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝2，转化为S△ACF＝4，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴E（2a，），
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为2，AE＝EC，
∴S△ACF＝4，
∴＝4，
解得：k＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝ 5 ．
【分析】利用根与系数的关系得到﹣1+x2＝4，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，
即﹣1+x2＝4，
解得x2＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（4分）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 6 ．
【分析】设反比例函数解析式为y＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝3×（﹣4）＝﹣2m，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，
根据题意得k＝3×（﹣4）＝﹣2m，
解得m＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（4分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为 直线x＝1 ．
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x＝＝1．
故答案为：直线x＝1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关系是解答此题的关键．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝ 1：9 ．
【分析】本题通过平行四边形的性质可以得到AB＝CD且AB∥CD，进而得到△AOE∽△CBO，在通过AE：ED＝1：2，得到AE：BC＝1：3，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD且AB∥CD，
∴△AOE∽△CBO，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以S△AOE：S△COB＝1：9，
故答案为：1：9，
【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的性质，本题要熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．（4分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是 5 cm．
【分析】先根据垂径定理构造出直角三角形，再根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示：
则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，AB＝10﹣2＝8（cm），
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝4（cm），
设半径为Rcm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即该光盘的半径是5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理、切线的性质以及勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据切线长定理得到EC＝EF，根据勾股定理列式求出CE，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：假设AE与以BC为直径的半圆切于点F，则AB＝AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴EC与BC为直径的半圆相切，
∴EC＝EF，
∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（2+CE）2＝22+（2﹣CE）2，
解得：CE＝，
∴DE＝2﹣＝，
∴阴影部分的面积＝22﹣×π×12﹣×2×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为 ﹣1 ．
【分析】取BC中点G，连接HG，AG，由直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝1，由勾股定理可求AG＝，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【解答】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，
∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝1，
在Rt△ACG中，AG＝＝
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形三边关系、勾股定理，确定使AH值最小时点H的位置是本题的关键．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2）．
（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（2）在旋转过程中，点B运动路径为弧BB1，那么弧BB1的长为 ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求；
（2）点B运动路径的长＝＝π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式l＝．
20．（6分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝与一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；
（2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝与一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1；
（2）根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
四、解答题（每小题8分，共24分）
21．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．
（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解可得；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能，
∴另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中乙、丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种，
∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数m的值．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）利用公式法求得已知方程的两个根，结合“方程的两根都为整数、m是正整数”来求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＞0．
∴△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）＝﹣8m+40＞0．
解得，m＜5；
（2）由题意得，，
∵x为整数，且m为正整数，
∴m＝3或m＝5，
又m＜5．
∴m＝3．
【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
【分析】（1）利用等角的补角相等可得∠AFB＝∠D，从而证明结论；
（2）由∠BAE＝30得，cos∠BAE＝，由（1）知，△ABF∽△EAD，则，代入即可．
【解答】（1）证明：∵∠D+∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，
∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠D+∠C＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴cos∠BAE＝，
由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴
∴，
∴BF＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABF∽△EAD是解题的关键．
五、解答题（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）作AH⊥BC于H，根据题意易求得∠BAC＝2∠CAH，利用角的关系和圆周角定理可求得∠CAH＝∠CAD，即可求解；
（2）连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，根据圆周角定理可求得AG垂直平分BC，再求证四边形GHDF为平行四边形，设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，根据勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠HAC+∠C＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAH，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAH，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CAH＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：如图，连接GC并延长交AD延长线于点H，连接DG，BG，AG，
∵G是的中点，
∴，
∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，
∴∠CAG＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AG垂直平分BC，
∴AG为直径，
∴∠ADG＝∠ACG＝90°，
∴∠GDH＝∠ACH＝90°，
∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，
∴∠AGC＝∠AHC，
∴AG＝AH，
∴CG＝CH，
在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，
∵∠AEB＝90°＝∠ACG，
∴BD∥GH，
∴四边形GHDF为平行四边形，
∴DH＝FG＝2，
设半径为r，则AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，
在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，
在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝4，
∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，
∴8r﹣4＝28，解得r＝4，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题主要考查了圆的综合知识，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练掌握关于圆的相关性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
25．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
【分析】（1）作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，先通过抛物线解析式求出点B坐标，通过AB＝3BD可得点A纵坐标，将其代入二次函数解析式求解．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，由S△ABC＝S△BCF+S△ACF求解．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点Q坐标为（0，4+m），根据抛物线的对称性可得点Q坐标，进而求解．
【解答】解：（1）作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，
将x＝0代入y＝（x﹣2）2得y＝4，
∴点B坐标为（0.4）．
∵AB＝3BD，
∴＝＝，
∴AE＝4BO＝16，
将y＝16代入y＝（x﹣2）2得16＝（x﹣2）2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，16）．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，
将（6，16）代入y＝kx+4得16＝6k+4，
解得k＝2，
∴y＝2x+4，
将x＝2代入y＝2x+4得y＝8，
∴点F坐标为（2，8），
∴FC＝8，
∴S△ABC＝S△BCF+S△ACF＝FC•（xC﹣xB）+FC•（xA﹣xC）＝×8×（2﹣0）+×8×（6﹣2）＝24．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点Q坐标为（0，4+m），
由题意可得P，Q关于对称轴对称，
∴点P坐标为（4，4+m），
将（4，4+m）代入y＝2x+4得4+m＝8+4，
解得m＝8，
∴该抛物线平移了8个单位．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
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