2022年广东省珠海市香洲区九洲中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省珠海市香洲区九洲中学中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 据考证，单个雪花的质量在克左右，这个数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，直线，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 下列运算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图所示，矩形的对角线，相交于点，，若，则四边形的周长是

A.
B.
C.
D.

7. 若的整数部分为，小数部分为，则

A.  B.  C.  D.

8. 有一题目：“已知：点为的外心，，求”小明的解答为：画以及它的外接圆，连接，如图，由，得而小刚说：“小明考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是

A. 小刚说的不对，就得
B. 小刚说的对，且的另一个值是
C. 小明求的结果不对，应得
D. 两人都不对，应有个不同值

9. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，二次函数的图象交轴于点和，交轴于点，图象的顶点为下列四个命题：
    当时，；
    若，则；
    点关于图象对称轴的对称点为，点为轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；
    图象上有两点和，若，且，则，
    其中真命题的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 点的坐标是，它关于轴的对称点坐标是______ ．
12. 将抛物线向右平移个单位，可得到抛物线______．
13. 在一个不透明的袋子里装有红球个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球个数可能是______个．
14. 设，是一元二次方程的两根，则______．
15. 小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与相距的位置，在处测得树顶的仰角为若测角仪的高度是，则大树的高度约为______结果精确到参考数据：约等于，约等于，约等于
16. 如图，中，，，，以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点，以点为圆心，以大于为半径作弧，接着再以点为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，以点为圆心，以为长度作弧，交于点，则阴影部分的面积为______．

17. 如图，在中，，，，动点在边上，连接将沿直线翻折后得到，点到直线距离的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知：如图，在▱中，延长至点，延长至点，使得连接，与对角线交于点求证：．
     

20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“从未听说过”，表示“不太了解”，表示“比较了解”，表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
    
    参加这次调查的学生总人数为______人；
    扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是______；
    将条形统计图补充完整；
    在类的学生中，有名男生和名女生，现需从这名学生中随机抽取名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买本类书和本类书共需元；购买本类书和本类书共需元．
    求，两类书的单价；
    学校准备购买，两类书共本，且类书的数量不高于类书的数量，购买书籍的花费不得高于元，则该学校有哪几种购买方案？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好在反比例函数的图象上．
    求值；
    反比例函数的图象与线段是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由．

24. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．
    求证：直线是的切线；
    求证：；
    若，，求的值．

25. 已知抛物线与轴相交于不同的两点、．
    求的取值范围；
    证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
    当时，由求出的点和点，构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

解：、图中的主视图是，；
B、图中的主视图是，；
C、图中的主视图是，；
D、图中的主视图是，；
故选：．
根据图中的主视图解答即可．
本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求出，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法逐项计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算法则是正确判断的前提．
 

6.【答案】

【解析】

解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长．
由已知条件先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可求出四边形的周长．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：，
，，
．
故选：．
先估算出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补．
故．
故选：．
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故选：．
解第一个不等式，求出解集，再根据不等式组的解集，利用“同大取大”的口诀可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式组解集的确定．
 

10.【答案】

【解析】

解：当时，故错误．
，
当时，，故错误．
当时，，与关于轴对称，
，
，
的周长的最小值为，故错误．
设关于对称轴的对称点，
，
，
，
，
，
，
函数图象在时，随增大而减小，
，正确．
故选A．
错误．由图象可知当时，．
错误．当时，
错误．的周长的最小值为．
正确．设关于对称轴的对称点，由题意推出，因为函数图象在时，随增大而减小，所以．
本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
 

11.【答案】

【解析】

解：点的坐标是，
它关于轴的对称点坐标是，
故答案为：．
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得答案．
本题主要考查了关于轴的对称点的坐标特点，点关于轴的对称点的坐标是．
 

12.【答案】

【解析】

解：抛物线向右平移个单位，即可得到抛物线，
故答案为：．
根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：设袋子中黄球的个数可能有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：袋子中黄球的个数可能是个．
故答案为：．
设袋子中黄球的个数可能有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
直接根据根与系数的关系求解．
【解答】
解：、是方程的两根，
，，
．
故答案为．  

15.【答案】

【解析】

解：如图，过点作，垂足为，


由题意得，，，
在中，，
米
故答案为：．
过点作，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出，进而求出即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，，，
．
故答案为：．
根据，求解即可．
本题考查作图复杂作图，扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．
 

17.【答案】

【解析】

解：如图，过点作于，

在中，，，
在中，，
，
，
当的延长线交于点，
在中，，
．
故答案为：．
过点作于，解直角三角形求出，当时，点到直线的距离最大，求出，，可得结论．
本题主要考查了翻折的性质和解直角三角形，解决本题的关键是找到最小值的情况下线段关系．
 

18.【答案】

解：


．
 

【解析】

首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

19.【答案】

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
，
，，
在和中，，
≌，
．
 

【解析】

由平行四边形的性质得出，，证出，，，由证明≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

20.【答案】

解：

，
当时，原式．
 

【解析】

先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

21.【答案】

【解析】

解：参加这次调查的学生总人数为人，
故答案为：；
扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
类别人数为人，
补全图形如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好选中名男生和名女生的结果数为，
所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
根据类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用乘以类别人数所占比例即可；
根据四种类别人数人数之和等于总人数求出类别人数即可补全图形；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图
 

22.【答案】

解：设类书的单价为元，类书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：类书的单价为元，类书的单价为元．
设购买类书本，则购买类书本，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，，
该学校共有种购买方案，
方案：购买类书本，类书本；
方案：购买类书本，类书本；
方案：购买类书本，类书本．
 

【解析】

设类书的单价为元，类书的单价为元，根据“购买本类书和本类书共需元；购买本类书和本类书共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，两类书的单价；
设购买类书本，则购买类书本，根据“购买类书的数量不高于类书的数量，购买书籍的花费不得高于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】

解：如图，过点作轴于点，
则，
，
，，
将线段绕点逆时针旋转得线段，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
；
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
将代入，得：，
，
解得：，
，
反比例函数的图象与线段有且只有一个交点，该交点坐标为．
 

【解析】

如图，过点作轴于点，利用旋转的性质证明≌，即可求得点的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程即可求得交点坐标．
此题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

24.【答案】

证明：将沿直线折叠得到，
．
点在的垂直平分线上．
同理得：点在的垂直平分线上．
即，
．
．
是的半径，
直线是的切线；

证明：为的直径，
．
．
，
．
．
，
∽．
．
．
，
；

解：，，
．
．
，
．
，
．
，
．
．
，
∽．

，，
．
，
．
．
解得：或舍去．
，，
．
 

【解析】

欲证明直线是的切线，只需推知即可；
根据折叠的性质得到：通过相似三角形∽的对应边成比例得到：所以．
，所以需要求得线段、的长度；利用中的和锐角三角函数的定义求得；根据∽是对应边成比例得到：，即；结合勾股定理知所以利用方程思想求得答案．
此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．
 

25.【答案】

解：抛物线与轴相交于不同的两点、，
，
，
，
二次项系数是，
，
的取值范围为且；
证明：抛物线，
，
抛物线过定点，
过此定点时，与无关，
显然当时，与无关，
解得或，
当时，，定点坐标为；
当时，，定点坐标为，
不在坐标轴上，
；
解：，
，
，
，
，
最大时，，
解得，或舍去，
当时，有最大值，
此时的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：．
故当时，面积取最大值为．
 

【解析】

本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点的坐标是解决问题的关键．
根据题意得出，得出，解不等式即可；
，故只要，那么的值便与无关，解得或舍去，此时，在坐标轴上，故定点为；
由得出，由已知条件得出，得出，因此最大时，，解方程得出，或舍去，即可得出结果．