2024年广东省珠海市香洲区九洲中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
3. 今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．将3047900写成（，n为整数）的形式即可．
【详解】解：，
故选：C．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法的运算法则和完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能相加，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
6. 若反比例函数在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，k＞0时，在每个象限内y随x增大而减小列不等式求解．
【详解】解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y随x增大而减小，
∴k-1＞0，
解得k＞1．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数中k的正负对函数增减性的影响．
7. 石家庄市某中学为了解八年级1200名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200是样本容量．其中正确的判断有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象,从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：①这种调查方式是抽样调查故①正确；
②1200名学生的数学成绩是总体，故②错误；
③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；
④200名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误；
⑤200是样本容量，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
8. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，连结．若，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，三角形的周长，根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的作法及性质是解题的关键．
【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
故选：．
9. 如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，是格点三角形，将平移后仍为格点三角形（本身除外）的方法有（ ）

A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质画出图形解答即可．
【详解】解：如图所示：

故选：C．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的四边相等解答．
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】将点代入解析式可判断；由对称性可得另一个交点，可判断；由，可判断，由可判断，即可求解．
【详解】解：抛物线经过点，
，
，故正确；
对称轴为x＝1，一个交点为，
另一个交点为，
方程的解为﹣1和3，故正确；
由对称轴为x＝1，
，
，则，故正确；
抛物线与y轴交于，
c＝2，
a＜0，
，故正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．
11. 单项式的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果．
【详解】解：单项式的系数是-1．
故答案是：-1．
【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
12. 如果，那么代数式的值为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值问题，用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：7．
13. 已知是方程一个根，则另一个根为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴；
∴方程的另一个根为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
解得，
∴，
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
15. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为___________．

【答案】75°##75度
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【详解】解：如图，

∵∠2=90°-30°=60°，
∴∠3=180°-45°-60°=75°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=75°，
故答案为：75°．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
16. 如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．则图中阴影部分的面积为______________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：（1）首先证明OA⊥DF，由垂径定理求出CD=，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理求得OD的长，再根据S阴=S△CDO+S扇形OBD-S扇形OCE计算即可．
详解：连接OD，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=90°，
∴OA⊥DF，
∴CD=DF=，
在Rt△OCD中，∵C是AO中点，
∴OA=OD=2CO，
设OC=x，
则x2+()2=(2x)2，
解得：x=1，
∴OA=OD=2，
∵OC=OD∠OCD=90°,
∴∠CDO=30°，
∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°，
∴S阴=S△CDO+S扇形OBD−S扇形OCE=×1×+−=.
点睛：本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n0，圆的半径为R的扇形面积为S，则或，（其中l为扇形的弧长）
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 图，E是正方形内一点，是等边三角形，连接，，延长交于点F．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得，由等边三角形的性质可得，再证明，即可证明；
（2）证明，，，可得，再利用等腰三角形的性质与平行线的性质可得答案．
【小问1详解】
证明：在正方形中，，，
∵ 为等边三角形，
∴ ，，
∴ ，
即：，
在和中， ，
∴，
【小问2详解】
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是正方形
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】由题意先利用分式的运算法则进行计算化简，进而代入计算即可.
【详解】解：
当时，
原式=.
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则以及分母有理化的方法是解题的关键.
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
【答案】40元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元．
21. 如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，若是的切线．
（1）求证：；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据，得到，证明，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据正切的定义求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是切线的性质、正切的定义、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设的半径为，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
即的半径为6．
22. 幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；
（3）本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率
【答案】（1）50，图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据C项目的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数A、C、D项目的人数即可解决问题；
（2）用乘以 “D.志愿者宣传”的学生所占的比例即可；
（3）列出表格，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
本次调查的学生共有：（人），
喜欢B．电子屏宣传的人数有：（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50
【小问2详解】
“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
【小问3详解】
列表得：
共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有2种，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23. 在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点．当点在如图所示的位置时：
（1）观察填空：与全等的三角形是 ；
（2）利用（1）中的结论，求的度数；
（3）判断线段之间的数量关系
【答案】（1）△BCE
（2）60° （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，四点共圆等，构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得，，可知，再说明是等边三角形，可得，，进而得出，即可得出答案；
（2）先说明点，，，四点共圆，可得，再根据，可得答案；
（3）先证明三角形是等边三角形，再根据证明，得出，进而得出答案．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
，，
．
由旋转可知，，，
是等边三角形，，
，，
∴
故答案为：
【小问2详解】
由（1）知
．
，
，
点，，，四点共圆，
．
，
；
【小问3详解】
解：由（1）知是等边三角形，
．
由（2）得，点，，，四点共圆，
．
在上取一点，使，
是等边三角形，
，，
．
：点，，，四点共圆，
，
∴，
，
24. 已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法可得；
（2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；
（3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得．
【小问1详解】
解：把，代入得：
，
解得：，
；
【小问2详解】
解：由，可得直线解析式为，
设，则，
，
，要使四边形恰好是平行四边形，只需，
，
解得，
；
【小问3详解】
解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下：
是的中点，点，
点，
由（2）知，
直线表达式为，
，
直线上，，，
过点作轴于点，过作轴于，如图：
，故，
，
，
直线和直线关于直线对称，
，，
，
由点，可得直线的表达式为，
联立，
解得或，
点的坐标为，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
与相似，点与点是对应点，
设点的坐标为，则，
当时，有，
，
解得或（在右侧，舍去），
；
当时，，
，
解得（舍去）或，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）