广东省茂名市2021-2022学年九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省茂名市九年级（下）开学数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的立方根为

A.  B.  C.  D.

2. 已知某种细菌的直径约为米，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，几何体的主正视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

6. 某学习小组位同学，为湖北捐款，捐款金额分别为：元，元，元，元，元，元，元，则这组数据的中位数为

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是

A. 且 B. 且 C. 且 D.

8. 如图，中，弦、相交于点，若，，则等于

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在热气球处测得地面、两点的俯角分别为、，热气球的高度为米，点、、在同一直线上，则两点的距离是

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

10. 如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 一种商品原价元，按八折即原价的出售，则售价降了______元．
12. 一个边形的每个外角都等于，则______．
13. 分式方程的解是______．
14. 在中，，、、的对边分别为、、，且，则的值为______．
15. 已知，那么可化简为______．
16. 把二次函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后是______．
17. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，则第个图中小正方形的个数是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18. 解方程组．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，直线，直线分别与，相交于点，．
    利用尺规作的平分线与交于点；
    若，求的度数．
    
     

21. 我市某校在推进体育学科新课改的过程中，开设的选修课有：篮球，：排球，：羽毛球，：乒乓球，：足球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图如图．
    
    求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
    求出，所在扇形的圆心角的度数和；
    如果该校共有学生名，那么选修乒乓球的学生大约有多少名？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，直角梯形纸片中，，，，折叠纸片使经过点，点落在点处，是折痕，且．
    求的度数；
    求的长．
    
     

23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    直接写出当时，的解集．
    点是轴上的一动点，试确定点并求出它的坐标，使最小．

24. 如图，在中，，以为直径的圆交于点，交于点，以点为顶点作，使得，交延长线于点连接、，延长交于点，
    
    求证：为的切线；
    求证：；
    若，：：，求的半径．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，已知在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线的顶点为，与轴的交点为，过点作轴交抛物线于点，在延长线上取点，使，连接，，和．
    若点的坐标是．
    求，的值；
    试判断四边形的形状，并说明理由；
    是否存在这样的点，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
的立方根为：．
故选：．
首先根据立方根平方根的定义求出的立方，然后就可以解决问题．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方是解决问题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由图可得，主视图应该是三列，正方体的数目分别是：、、．
故选：．
根据三视图画法规则：
高平齐：正视图和侧视图的高保持平齐；
宽相等：侧视图的宽和俯视图的宽相等；
长对正：正视图和俯视图的长对正．
本题考查的是三视图中主视图的确定，注意三视图的规律．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，不是同类项，，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，正确；
D、，故选项错误．
故选：．
A、利用合并同类项的法则即可判定；、利用去括号的法则即可判定；、利用平方差公式即可判定；、利用完全平方公式判定．
此题主要考查了整式的运算法则，其中对于平方差公式和完全平方公式的公式结构一定要熟练．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为元，元，元，元，元，元，元，
则中位数为元；
故选：．
首先把所给数据按从小到大的顺序重新排序，找出最中间的数即可得出中位数．
此题考查了众数和中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．众数只要找次数最多的即可．
 

7.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：是的外角，
；
，，
；
；
故选：．
欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．
此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：在热气球处测得地面点的俯角分别为，
米，
在热气球处测得地面点的俯角分别为，
米，
米，
米，
故选：．
在热气球处测得地面点的俯角分别为，米，再在中求出的长，据此即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接、，
是的直径，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，

，
，
故选：．
连接和弦，根据直径所对的圆周角是直角得：，可得和的长，所以图中弓形的面积为扇形的面积与面积的差，因为，所以的面积是面积的一半，可得结论．
本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含度角的直角三角形等知识点，能求出扇形的面积和的面积是解此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：设售价降了元，依题意有：
，
解得．
故售价降了元．
故答案为：．
可设售价降了元，根据等量关系：原价降价原价，列出方程计算即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，要注意题中分析关键点是按八折即原价的出售．
 

12.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
正边形有个外角，外角和为，那么边数一个外角的度数．
本题考查的是多边形内角与外角，用到的知识点为：正多边形的边数等于正多边形的一个外角度数．
 

13.【答案】
 

【解析】解：
去分母，可得
，
解得，
经检验：是原方程的解．
解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为，所以应检验．
 

14.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
，
故答案为：．
利用勾股定理先求出的长，然后再利用锐角三角函数进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当时，；当时，解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．
【解答】解：，
．
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】解：，
把二次函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的抛物线表达式为：，即．
故答案为：．
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：第个图中正方形的个数为；
第个图中正方形的个数为；
第个图中正方形的个数为；
第个图中正方形的个数为；

发现规律：
第个图中正方形的个数为；
：第个图中正方形的个数为．
故答案为．
根据图形的变化发现规律即可求解．
本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
 

18.【答案】解：由，得即，
把代入，得即，
所以这个方程组的解是
 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式．
 

【解析】根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
 

20.【答案】解：以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；
分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；
作射线交于点如图所示：

，
，
平分，
，
，
．
 

【解析】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据利用尺规作角平分线的方法解答即可；
由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，再由三角形的外角性质即可得出结果．
 

21.【答案】解：该班的总人数是：人，
科目的人数：人．
科目的人数是：人．
补全频数分布直方图：

，所在扇形的圆心角的度数和是：；
选修乒乓球的学生大约有：人．
 

【解析】根据选修科目的人数是人，所占的百分比是，即可求得总人数，由样本总人数乘以科目所占百分比求得选修科目人数，然后利用总人数减去其他科目的人数求得选修科目的人数，即可补全直方图；
利用乘以对应的百分比即可求解；
利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】解：，
，
折叠纸片使经过点，点落在点处，是折痕，
，
，
；


，
．

在中，
．
 

【解析】利用等边对等角可以得到，再利用折叠的性质可以得到，从而可以求得所求角的度数．
利用上题得到的结论可以求得线段，然后在直角三角形中求得即可．
本题考查梯形，直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．
 

23.【答案】解：把代入，得：，
反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
，
把、代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；

根据图象得当或，一次函数的图象在反比例函数的下方；
当时，的解集为或；

如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于，此时最小，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
令，得，
解得，
点的坐标为．
 

【解析】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、轴对称最短路线问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
将点代入可得的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点坐标，再由、两点的坐标可得一次函数的解析式；
根据图象得出不等式的解集即可；
作关于轴的对称点，连接，交轴于，此时最小，根据的坐标求得的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得与轴的交点即可．
 

24.【答案】证明：是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
证明：，，
，
，
∽，
，
，
，
；
解：由得：，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，，
，
，
∽，
，即，
解得：，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
的半径．
 

【解析】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由圆周角定理得出，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，证出，得出，即可得出结论；
证出，证明∽，得出，即可得出结论；
由得：，由角平分线性质得出，设，则，由勾股定理得：，证明∽，得出，求出，，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程得，得出，即可得出的半径．
 

25.【答案】解：轴，点坐标为．
点的坐标是
把、两点的坐标代入得，
，
解得；
四边形是平行四边形；
理由如下：
由得抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
过点作于点，
则，，
，
，
．
轴，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形．

存在，点的坐标可以是或
要使四边形是矩形；
则需，
，
∽，
，
又，
，
在中，根据勾股定理可得：，，
点是抛物线与轴交点，
，
点坐标为，
顶点横坐标，，
顶点纵坐标是点纵坐标的倍，为，
顶点的坐标为
将点代入可得，
解得：或者，
当为时四边形不是矩形，舍去，故；
点坐标可以为或者．
 

【解析】将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出、的值；
求证和即可判定四边形为平行四边形；
根据矩形的各角为可以求得∽即，再根据勾股定理可得，，可求得横坐标为，纵坐标为．
本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．