初中数学苏科版七年级下册第12章 证明12.3 互逆命题教案

12.3  互逆命题

【教学目标】

通过具体实例的观察与思考，引导学生发现命题间互逆的特征，进而了解互逆命题的概念．运用互逆命题的概念让学生会判断两个命题是否互逆，理解每一个命题都有其逆命题，同时归纳出“原命题成立其逆命题不一定成立”的结论．在说明一个命题为假的过程中，学生举例了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．通过“费马猜想”著名反例文化的鉴赏与学习，理解数学史就是智慧史，进一步感受举反例的不易及数学的理性美，积累学生的人文素养．

［设计意图］依据课程标准的要求，结合学生已有的诸如平行线性质与判定命题的实际经验，以及七年级学生初步具有归纳与推理的能力，通过实例观察与思考，进而归纳出互逆命题概念，识别、构造互逆命题，运用反例证明假命题，体会互逆命题之间真假无必然关系．本节课的学习，既是对前面所学命题的归纳，也为后续学习推理及提出问题打开新的思维．

【教学重难点】

重点：1.通过具体实例，了解互逆命题的概念．

      2.会识别、构造两个互逆命题．

3.能用反例判断一个命题是假命题．

难点：1.一个命题的逆命题的构造．

      2.举适当的反例判断一个命题是假命题．

［设计意图］了解互逆命题是课标的基本要求，识别、构造互逆命题能有效地促进学生思维训练．又因学生知识积累不足及逻辑思维能力较弱，构造逆命题及举反例就显得困难．

【教学过程】

一、教学情境

观察思考：

如图，直线a、b被直线c所截．你能根据图中

信息任说一个命题吗？试试看．

（学生说过之后再在PPT中呈现4个命题．在这过程中，要引导学生从“直线a、b被直线c所截”全面的视角进行命题．）

（1）若a∥b，则∠1=∠4.

（2）若a∥b，则∠2=∠4.

（3）若∠1=∠4，则a∥b .

（4）若∠2=∠4，则a∥b .

师：观察以上4个命题，你有什么发现？

［设计意图］基于学生已有的平行线的性质与判定知识经验设置问题情境，引发学生回顾与思考，经过观察、对比、发现，引入课题．这样的设置既回顾平行线的性质与判定，又渗透了分类思想，促进学生发现问题能力的提升．

学生：命题（1）与（3）相反．

教师：怎么相反？

……

学生：第一个命题的条件是第二个命题的结论．

教师：还能不能进一步完善？

……

教师：给这样的两个命题起个名称吧！

学生：互逆命题．

归纳定义：

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．

其中一个命题是原命题，另一个是它的逆命题．

（对定义中的“第一个命题的条件”等词要用红色等显眼的颜色予以强调．）

［设计意图］互逆命题的结构特征比较明显，但概念表述比较复杂．为此，设置归纳、总结、命名、定义的过程，引导学生有条理地准确地表述概念的内涵，揭示概念的本质．

二、探索活动

【活动1】

互逆命题识别：

下列各组命题是否为互逆命题？说说你的理由．

（1）同位角相等，两直线平行．

     两直线平行，同位角相等．        

（2）正方形的4个角都是直角．

     4个角都是直角的四边形是正方形．

（3）对顶角相等．

     如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．

（4）两个异号的有理数的和是正数．

     和为正数的两个有理数异号．

（5）等于同一个角的两个角相等．

     如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等．      

师：第（5）个命题有逆命题吗？是不是每一个命题都有其逆命题？

［设计意图］设置这些命题基于三个考虑．一是互逆命题的识别，关键在于明白两个命题的条件与结论是什么，是否符合互逆命题的定义；二是通过第（2）题的辨析，明白“假命题”也有逆命题，强化互逆命题的概念，为构造一个命题的逆命题做出铺垫；三是“埋伏”了命题的逆命题有真有假的经验积累，为后面两个命题真假关系的探讨作了准备．

【活动2】

互逆命题构造：

下列命题是否有逆命题，如果有，请说出它的逆命题．

（1）如果 a=b ，那么 a2=b2．

（2）锐角与钝角互为补角．

（3）能被 5 整除的数，末位数字是 5．

（4）直角都相等．

师：猜想：每一个命题都有其逆命题．

［设计意图］通过学生独立思考，构造规定命题的逆命题，学生会发现“每一个命题都有命题”的事实，进而引导学生从互逆命题的概念思考并总结出“每个命题都有逆命题”．

【活动3】

交流合作：

同桌的两位学生按下列要求进行合作：

⑴每人任写一个数学命题；

⑵写出它的逆命题；

⑶判断所得的两个命题的真假性；

⑷然后同桌两人交流．

⑸展示结果． 

师：你是怎么说明一个命题是假命题的？      

［设计意图］学生的知识积累不同，思维层次也不尽相同，教师一味地设置问题控制学生，不利于“让不同学生得到不同的发展”．为此，运用更为自由的方式命题，更易于展示学生对知识理解的深度，也易于发现问题．由于命题涉及内容比较多且复杂，如生活中的判断 “明天会下雨”等命题，在判断条件与结论上有困难，从而限制为“数学命题”．同时，高水平的学生也会发现“多个条件的命题得到一个结论或多个结论”这样命题如何确定其逆命题的问题，这样的问题虽然超出了本节课的要求，但学生能提出来，就是意外的收获．

由于不同的人写出的命题不同，其逆命题也不相同，但他们在判断这些命题的真假上却有相同的方法，即举反例法．通过展示每个人所写命题及其逆命题的真假，由学生思考归纳出互逆命题真假之间无必然联系．

三、尝试解决

【活动4】

举反例研究：

举反例说明下列命题是假命题：

（1）任何数的平方大于0．

（2）两个锐角的和是钝角．

（3）一个角的补角大于这个角．

（4）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点．

（可以借助于学生所熟悉的等腰直角三角板来说明．）

［设计意图］如何举恰当的反例有效地说明命题为假是学生学习的难点，依据学生已有的知识经验，找特例是一种有效方法，如第（1）题找数0，第（2）题找角45°，第（3）题找90°；但有时还要跳出思维定势思考，通过画图观察，如第（4）题点在线外时的等腰三角形，这一点不易想到．说明举反例是不易的，为了说明举反例的重要性，以及举反例的不易，从而引出数学方面关于反例文化的介绍与传播．

【活动6】

文化鉴赏：

公元1640年，法国著名数学家费马发现：

（利用PPT呈现以上内容，让学生思考“你有什么发现或猜想”，之后，呈现下面内容．）

而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n,              都是质数．

（师：费马是一位世界级的大数学家，你相信他的结论吗？学生思考后再呈现下面内容．）

可是，到了1732年，25岁的瑞士数学家欧拉发现：

．

（师：你有什么发现或有什么话说？）

这说明了是一个合数，从而否定了费马的猜想．

师：数学史给人智慧，人们为了纪念费马，把称作为费马数．

［设计意图］反例文化鉴赏，既是对数学文化的传播与欣赏，也是强调反例的重要作用及获得反例得不易．但在数学史文化传播中，更要给人以智慧，让学生深入其中体会其真正的内涵．

四、小结思考

小结：

通过学习，你一定对互逆命题有很多收获与感想．请你与大家分享一下吧！

（尽可能地让学生对互逆命题进行总结，之后，用PPT呈现下面的问题．）

思考：

已知命题：若a∥b，则∠1=∠4.

由条件与结论互换，可得其逆命题，即

“若∠1=∠4，则a∥b．”

若对命题“如果 a∥b，那么 ∠1=∠4．”

的条件或结论进行否定，同样也可以得到一个新的命题，试试看．

（让学生思考并说出它的否命题或逆否命题等，之后呈现教师的预设．）

如果直线 a 不平行直线 b，那么∠1≠∠4．

如果∠1≠∠4 ，那么直线 a 不平行直线 b．

［设计意图］互逆命题的小结与思考，既要有知识层面的总结，即互逆命题的相关内容回顾，又要有思考方面的提升，即互逆命题的学习为学生提供了提问的新视角，既可以是逆向提问，也可以否定探究，还可以逆否探究，等等．在方法上引领学生学会思考．

【教学感悟】

互逆命题教学基于“四能”教育理念，创设了易于学生说出命题的情境，在观察与思考中发现命题结构间互逆关系，从而提出研究互逆命题的相关问题，通过系列探究活动，在识别、构造、举反例说明等过程中分析并解决互逆命题的相关问题．在这过程中，立足于学生已有的知识经验，以开放性的问题为引领，关注因材施教，促进学生在互逆命题学习中巩固以前的知识，在互逆命题探究中通过构造、举反例说明等活动提升学生运用知识的能力．整个教学过程追求自然、和谐、流畅，达到预期的效果．

现把本节课教学感悟总结如下：

一、情境创设，追求问题发现和提出的自然

为了让学生发现命题中存在互逆现象，教学之初就以“平行线的判定与性质”的知识再现为着力点，引发学生思考，并发现命题之间互逆现象，从而关注这类命题的特征，引入课题．

这样的设计是自然的，在学生已学的知识中发现新特征，提炼新问题，既是对原有知识的温故知新，也是对学生发现问题、提出问题能力的培养．然而，事实上，当我给出“三线八角”问题后，学生只是说出诸如对顶角相等、同位角相等、同旁内角互补、两直线平行等命题，并没有我预设的“两直线平行，内错角相等”之类的命题．为此，我及时地引导学生再一次看“直线 a、b 被直线 c 所截”题目表述，要求学生全面思考后，学生才生成较为复杂的命题．

情境创设，仅有学生已有的知识经验是不够的，教师的适时引导是必要的．基于学生最近发展区创设教学情境，这是追求问题提出自然的前提，教师适度的引领就能促进学生发现并提出更有价值的问题，这才是自然生成的价值取向．

二、活动安排，追求教学环节过渡的自然

互逆命题的提出源自于学生已经熟悉的知识再现，在再现中发现一些命题之间的互逆关系，从而自然地引入新概念的学习．围绕互逆命题概念，进行系列探究，即识别、构造、编题，进而发现并总结出互逆命题之间的真假关系，最后过渡到举反例说明命题为假．整个过程，环节过渡与思维认知暗合，流畅自然．

每一个环节的引出均是由上一个环节中隐含的预设自然生成．如在识别活动中设置的五个命题及其逆命题，这些命题有真也有假，学生自然就能判断，潜意识中明白两个命题的真假关系无必然联系，为后面学生自编命题及举反例埋下伏笔．

三、教学调控，追求学生问题暴露和解决的自然

互逆命题在形式上强化了两个命题之间的关系，但命题所涉及的内容却是杂乱无章的，学生因对概念理解的缺失或对知识认识的不足，在教学过程中会遇到这样或那样的问题与困惑，而这些困惑却是学生中普遍存在的问题，基于全员教育的理念，必须设置易于暴露学生问题或易于揭示知识内涵的问题，针对学生出现的问题，适时调控教学节奏，使教学过程自然、有效．

在识别探究中，设置了“正方形的4个角都是直角”与“4个角都是直角的四边形是正方形”两个命题，让学生暴露“后面的命题是假命题，所以它们不是互逆命题”的问题，事实上，有这样的认识的学生占了大多数，这时候就有必要引导学生相互交流讨论，明白判断是否为互逆命题的依据是定义，而学生出现的假命题的认识，也为后面进一步研究互逆命题真假作了很好的铺垫．

又如学生在合作编题命制了“和为0的两个数互为相反数”时，普遍认为“0没有相反数”，认为这是一个错误的命题．教师只有快速弥补学生存在的知识欠缺，而这种教学控制是自然的，是基于学生的实际．

四、知识延伸，追求数学教学思维特性的自然

问题是数学的心脏，思维是数学教学的品质．教学的数学味就体现在思维层面，即由知识层面要上升到思考方法上．本节课的安排关注思想方法的渗透与提炼．

在著名的反例文化介绍上，既关注到人文教育，更注重学生思维引导，引发学生的思考，让学生真正体会到数学史就是智慧史．在本节课的小结中，我没有仅停留在知识回顾的层面上，而是由互逆命题的方法上提炼出发现问题的新视角．