初中数学苏科版七年级下册第12章 证明12.3 互逆命题教案

这是一份初中数学苏科版七年级下册第12章 证明12.3 互逆命题教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教学感悟等内容，欢迎下载使用。
12.3  互逆命题【教学目标】通过具体实例的观察与思考，引导学生发现命题间互逆的特征，进而了解互逆命题的概念．运用互逆命题的概念让学生会判断两个命题是否互逆，理解每一个命题都有其逆命题，同时归纳出“原命题成立其逆命题不一定成立”的结论．在说明一个命题为假的过程中，学生举例了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．通过“费马猜想”著名反例文化的鉴赏与学习，理解数学史就是智慧史，进一步感受举反例的不易及数学的理性美，积累学生的人文素养．［设计意图］依据课程标准的要求，结合学生已有的诸如平行线性质与判定命题的实际经验，以及七年级学生初步具有归纳与推理的能力，通过实例观察与思考，进而归纳出互逆命题概念，识别、构造互逆命题，运用反例证明假命题，体会互逆命题之间真假无必然关系．本节课的学习，既是对前面所学命题的归纳，也为后续学习推理及提出问题打开新的思维．【教学重难点】重点：1.通过具体实例，了解互逆命题的概念．      2.会识别、构造两个互逆命题．3.能用反例判断一个命题是假命题．难点：1.一个命题的逆命题的构造．      2.举适当的反例判断一个命题是假命题．［设计意图］了解互逆命题是课标的基本要求，识别、构造互逆命题能有效地促进学生思维训练．又因学生知识积累不足及逻辑思维能力较弱，构造逆命题及举反例就显得困难．【教学过程】一、教学情境观察思考：如图，直线a、b被直线c所截．你能根据图中信息任说一个命题吗？试试看．（学生说过之后再在PPT中呈现4个命题．在这过程中，要引导学生从“直线a、b被直线c所截”全面的视角进行命题．）（1）若a∥b，则∠1=∠4.（2）若a∥b，则∠2=∠4.（3）若∠1=∠4，则a∥b . （4）若∠2=∠4，则a∥b . 师：观察以上4个命题，你有什么发现？［设计意图］基于学生已有的平行线的性质与判定知识经验设置问题情境，引发学生回顾与思考，经过观察、对比、发现，引入课题．这样的设置既回顾平行线的性质与判定，又渗透了分类思想，促进学生发现问题能力的提升．学生：命题（1）与（3）相反．教师：怎么相反？……学生：第一个命题的条件是第二个命题的结论．教师：还能不能进一步完善？……教师：给这样的两个命题起个名称吧！学生：互逆命题．归纳定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题是原命题，另一个是它的逆命题．（对定义中的“第一个命题的条件”等词要用红色等显眼的颜色予以强调．）［设计意图］互逆命题的结构特征比较明显，但概念表述比较复杂．为此，设置归纳、总结、命名、定义的过程，引导学生有条理地准确地表述概念的内涵，揭示概念的本质．二、探索活动【活动1】互逆命题识别：下列各组命题是否为互逆命题？说说你的理由．（1）同位角相等，两直线平行．     两直线平行，同位角相等．         （2）正方形的4个角都是直角．     4个角都是直角的四边形是正方形．（3）对顶角相等．     如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．（4）两个异号的有理数的和是正数．     和为正数的两个有理数异号．（5）等于同一个角的两个角相等．     如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等．       师：第（5）个命题有逆命题吗？是不是每一个命题都有其逆命题？［设计意图］设置这些命题基于三个考虑．一是互逆命题的识别，关键在于明白两个命题的条件与结论是什么，是否符合互逆命题的定义；二是通过第（2）题的辨析，明白“假命题”也有逆命题，强化互逆命题的概念，为构造一个命题的逆命题做出铺垫；三是“埋伏”了命题的逆命题有真有假的经验积累，为后面两个命题真假关系的探讨作了准备．【活动2】互逆命题构造：下列命题是否有逆命题，如果有，请说出它的逆命题．（1）如果 a=b ，那么 a2=b2．（2）锐角与钝角互为补角．（3）能被 5 整除的数，末位数字是 5．（4）直角都相等．师：猜想：每一个命题都有其逆命题．［设计意图］通过学生独立思考，构造规定命题的逆命题，学生会发现“每一个命题都有命题”的事实，进而引导学生从互逆命题的概念思考并总结出“每个命题都有逆命题”．【活动3】交流合作：同桌的两位学生按下列要求进行合作： ⑴每人任写一个数学命题；⑵写出它的逆命题；⑶判断所得的两个命题的真假性；⑷然后同桌两人交流．⑸展示结果．  师：你是怎么说明一个命题是假命题的？       ［设计意图］学生的知识积累不同，思维层次也不尽相同，教师一味地设置问题控制学生，不利于“让不同学生得到不同的发展”．为此，运用更为自由的方式命题，更易于展示学生对知识理解的深度，也易于发现问题．由于命题涉及内容比较多且复杂，如生活中的判断 “明天会下雨”等命题，在判断条件与结论上有困难，从而限制为“数学命题”．同时，高水平的学生也会发现“多个条件的命题得到一个结论或多个结论”这样命题如何确定其逆命题的问题，这样的问题虽然超出了本节课的要求，但学生能提出来，就是意外的收获．由于不同的人写出的命题不同，其逆命题也不相同，但他们在判断这些命题的真假上却有相同的方法，即举反例法．通过展示每个人所写命题及其逆命题的真假，由学生思考归纳出互逆命题真假之间无必然联系．三、尝试解决【活动4】举反例研究：举反例说明下列命题是假命题：（1）任何数的平方大于0．（2）两个锐角的和是钝角．（3）一个角的补角大于这个角．（4）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点．（可以借助于学生所熟悉的等腰直角三角板来说明．）［设计意图］如何举恰当的反例有效地说明命题为假是学生学习的难点，依据学生已有的知识经验，找特例是一种有效方法，如第（1）题找数0，第（2）题找角45°，第（3）题找90°；但有时还要跳出思维定势思考，通过画图观察，如第（4）题点在线外时的等腰三角形，这一点不易想到．说明举反例是不易的，为了说明举反例的重要性，以及举反例的不易，从而引出数学方面关于反例文化的介绍与传播．【活动6】文化鉴赏：公元1640年，法国著名数学家费马发现：（利用PPT呈现以上内容，让学生思考“你有什么发现或猜想”，之后，呈现下面内容．）而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n,              都是质数．（师：费马是一位世界级的大数学家，你相信他的结论吗？学生思考后再呈现下面内容．）可是，到了1732年，25岁的瑞士数学家欧拉发现：．（师：你有什么发现或有什么话说？）这说明了是一个合数，从而否定了费马的猜想．师：数学史给人智慧，人们为了纪念费马，把称作为费马数．［设计意图］反例文化鉴赏，既是对数学文化的传播与欣赏，也是强调反例的重要作用及获得反例得不易．但在数学史文化传播中，更要给人以智慧，让学生深入其中体会其真正的内涵．四、小结思考小结：通过学习，你一定对互逆命题有很多收获与感想．请你与大家分享一下吧！ （尽可能地让学生对互逆命题进行总结，之后，用PPT呈现下面的问题．）思考：已知命题：若a∥b，则∠1=∠4.由条件与结论互换，可得其逆命题，即 “若∠1=∠4，则a∥b．” 若对命题“如果 a∥b，那么 ∠1=∠4．”的条件或结论进行否定，同样也可以得到一个新的命题，试试看．（让学生思考并说出它的否命题或逆否命题等，之后呈现教师的预设．）如果直线 a 不平行直线 b，那么∠1≠∠4．如果∠1≠∠4 ，那么直线 a 不平行直线 b．［设计意图］互逆命题的小结与思考，既要有知识层面的总结，即互逆命题的相关内容回顾，又要有思考方面的提升，即互逆命题的学习为学生提供了提问的新视角，既可以是逆向提问，也可以否定探究，还可以逆否探究，等等．在方法上引领学生学会思考．【教学感悟】互逆命题教学基于“四能”教育理念，创设了易于学生说出命题的情境，在观察与思考中发现命题结构间互逆关系，从而提出研究互逆命题的相关问题，通过系列探究活动，在识别、构造、举反例说明等过程中分析并解决互逆命题的相关问题．在这过程中，立足于学生已有的知识经验，以开放性的问题为引领，关注因材施教，促进学生在互逆命题学习中巩固以前的知识，在互逆命题探究中通过构造、举反例说明等活动提升学生运用知识的能力．整个教学过程追求自然、和谐、流畅，达到预期的效果．现把本节课教学感悟总结如下：一、情境创设，追求问题发现和提出的自然为了让学生发现命题中存在互逆现象，教学之初就以“平行线的判定与性质”的知识再现为着力点，引发学生思考，并发现命题之间互逆现象，从而关注这类命题的特征，引入课题．这样的设计是自然的，在学生已学的知识中发现新特征，提炼新问题，既是对原有知识的温故知新，也是对学生发现问题、提出问题能力的培养．然而，事实上，当我给出“三线八角”问题后，学生只是说出诸如对顶角相等、同位角相等、同旁内角互补、两直线平行等命题，并没有我预设的“两直线平行，内错角相等”之类的命题．为此，我及时地引导学生再一次看“直线 a、b 被直线 c 所截”题目表述，要求学生全面思考后，学生才生成较为复杂的命题．情境创设，仅有学生已有的知识经验是不够的，教师的适时引导是必要的．基于学生最近发展区创设教学情境，这是追求问题提出自然的前提，教师适度的引领就能促进学生发现并提出更有价值的问题，这才是自然生成的价值取向．二、活动安排，追求教学环节过渡的自然互逆命题的提出源自于学生已经熟悉的知识再现，在再现中发现一些命题之间的互逆关系，从而自然地引入新概念的学习．围绕互逆命题概念，进行系列探究，即识别、构造、编题，进而发现并总结出互逆命题之间的真假关系，最后过渡到举反例说明命题为假．整个过程，环节过渡与思维认知暗合，流畅自然．每一个环节的引出均是由上一个环节中隐含的预设自然生成．如在识别活动中设置的五个命题及其逆命题，这些命题有真也有假，学生自然就能判断，潜意识中明白两个命题的真假关系无必然联系，为后面学生自编命题及举反例埋下伏笔．三、教学调控，追求学生问题暴露和解决的自然互逆命题在形式上强化了两个命题之间的关系，但命题所涉及的内容却是杂乱无章的，学生因对概念理解的缺失或对知识认识的不足，在教学过程中会遇到这样或那样的问题与困惑，而这些困惑却是学生中普遍存在的问题，基于全员教育的理念，必须设置易于暴露学生问题或易于揭示知识内涵的问题，针对学生出现的问题，适时调控教学节奏，使教学过程自然、有效．在识别探究中，设置了“正方形的4个角都是直角”与“4个角都是直角的四边形是正方形”两个命题，让学生暴露“后面的命题是假命题，所以它们不是互逆命题”的问题，事实上，有这样的认识的学生占了大多数，这时候就有必要引导学生相互交流讨论，明白判断是否为互逆命题的依据是定义，而学生出现的假命题的认识，也为后面进一步研究互逆命题真假作了很好的铺垫．又如学生在合作编题命制了“和为0的两个数互为相反数”时，普遍认为“0没有相反数”，认为这是一个错误的命题．教师只有快速弥补学生存在的知识欠缺，而这种教学控制是自然的，是基于学生的实际．四、知识延伸，追求数学教学思维特性的自然问题是数学的心脏，思维是数学教学的品质．教学的数学味就体现在思维层面，即由知识层面要上升到思考方法上．本节课的安排关注思想方法的渗透与提炼．在著名的反例文化介绍上，既关注到人文教育，更注重学生思维引导，引发学生的思考，让学生真正体会到数学史就是智慧史．在本节课的小结中，我没有仅停留在知识回顾的层面上，而是由互逆命题的方法上提炼出发现问题的新视角．