高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性一课一练

10.2  事件的相互独立性(精讲)

考法一 相互独立事件的判断

【例1】(多选)(2021·全国专题练习)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(    )

A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”

B．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”

C．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”

D．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”

【答案】ACD

【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A､B不独立,故选：ACD

【举一反三】

1．(多选)(2020·全国高一单元测试)下列各对事件中,为相互独立事件的是(    )

A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”

【答案】ABD

【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，

∴，，，

即，故事件M与N相互独立，A正确.

在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；

在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；

在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.

故选：ABD.

2．(2021·河南)从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是(    )

A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数

C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数

【答案】D

【解析】从1,2,3,4,5中任取两个数

对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误;

对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误;

对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误.

对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确.

综上可知,D为正确选项

故选:D

考法二 利用概率判断互斥对立事件

【例2】(2021·山东泰安市)在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是(    )

A．与是互斥事件，也是对立事件

B．与是互斥事件，也是对立事件

C．与是互斥事件，但不是对立事件

D．与是互斥事件，也是对立事件

【答案】D

【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，

所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；

与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；

与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；

与是互斥事件，且，

所以也是对立事件，故D正确.

故选：D.

【举一反三】

1．(2020·陕西省商丹高新学校)在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是(    )

A．与是互斥事件，也是对立事件

B．与是互斥事件，也是对立事件

C．与是互斥事件，但不是对立事件

D．与是互斥事件，也是对立事件

【答案】D

【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，

所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；

与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；

与是互斥事件，且，

所以与也是对立事件，故C错；

与是互斥事件，且，

所以与也是对立事件，故D正确.

故选：D.

2．(2020·江苏淮安市·马坝高中高一期中)已知随机事件和互斥，且，，则(  )

A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8

【答案】A

【解析】因为事件和互斥，所以,

则，故.故答案为A.

考法三 相互独立事件概率计算

【例3】(2021·山东菏泽市)甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】用事件A,B,C分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则,,,且.

∴此密码能被译出的概率为.故选：C

【举一反三】

1．(2021·辽宁营口市·高一期末)甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.

(1)求甲、乙二人都破译密码的概率；

(2)求恰有一人破译密码的概率.

【答案】(1)0.42；(2)0.46.

【解析】(1)事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，

由题意可知，

所以；

(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥

所以

.

2．(2021·山东威海市·高一期末)习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分(满分分)从低到高将心理健康状况分为四个等级:

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

(1)求的值及频率分布直方图中的值；

(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

(3)心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)

【答案】(1)2000，；(2)；(3)只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.

【解析】(1)由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，

所以，解得.

(2)由(1)知，

所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，

若按分层抽样抽取人，

则调查评分在有人，有人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，

所以选出的人经过心理疏导后，

心理等级均达不到良好的概率为，

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.

(3)由频率分布直方图可得，

，

估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，

所以市民心理健康指数平均值为，

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.

3．(2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末)甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：

(Ⅰ)两人都投中；

(Ⅱ)恰好有一人投中；

(Ⅲ)至少有一人投中.

【答案】(Ⅰ)0.72；(Ⅱ)0.26；(Ⅲ)0.98.

【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，

由于两个人投篮的结果互不影响，

所以与相互独立，与，与，与都相互独立，

由己知可得，，则，；

(Ⅰ)“两人都投中”，则；

(Ⅱ)“恰好有一人投中”，且与互斥，

则

；

(Ⅲ)“至少有一人投中”，且、、两两互斥，

所以

.