压轴专题15最短路径问题答案解析

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专题15最短路径问题
模型一. 两点之间，线段最短

模型二. “将军饮马”

模型三. 双动点

模型四. 垂线段最短


1.如图，已知一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9.
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ；
（2）已知点Q在反比例函数y=的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周长最小，求出点M的坐标.

【分析】（1）根据一次函数的解析式求得A、C坐标，由S△ABP=·AB·BP=9，设P点坐标为（m，m+2），代入得到点P坐标；（2）先根据反比例函数解析式求得Q点坐标，作Q点（或P点）关于x轴的对称点Q’（P’），连接PQ’（QP’）与x轴的交点即为点M，用待定系数法求出直线PQ’（QP’的解析式）.
【解析】解：（1）在y=x+2中，当x=0时，y=2；y=0时，x=－4，
∴A点坐标为（－4,0），C点坐标为（0,2），
设P点坐标为（m，m+2），m>0，
则AB=m+4，BP=m+2,
∵S△ABP=·AB·BP=9，
即×（m+4）（m+2）=9，
解得：m=2或m=－10（舍），
∴点P的坐标为（2,3）；
（2）如图，作点Q关于x轴的对称点Q’，连接PQ’交x轴于点M，此时，△PQM的周长最小，

由（1）知，P(2,3)在反比例函数图象上，
∴k=6，
点Q的坐标为（6,1），点Q’的坐标为（6，－1），
设直线PQ’的解析式为：y=mx+b，
得：，
解得：，
即直线PQ’的解析式为：y=－x+5，
当y=0时，x=5，即M点坐标为（5,0），
∴当△PQM的周长最小时，M点坐标为（5,0）.
2.已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；
（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴，
解得a=﹣1，b=1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．
（2）直线y=mx+交抛物线与A、Q两点，
将A（﹣1，0）代入得：m=，
∴直线AQ的解析式为y=x+．
设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，n+），F（n，0），
∴PN=﹣n2+n+2﹣（n+）
=﹣n2+n+，
NF=n+，
∵PN=2NF，即﹣n2+n+=2×（n+），
解得：n=﹣1或．
当n=﹣1时，点P与点A重合，舍去．
故点P的坐标为（，）．
（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣）2+，
∴M（，）．
∵A、C关于直线DE对称，
∴连接AM交直线DE与点G，连接CG、CM，此时，△CMG的周长最小，

设直线AM的函数解析式为y=kx+b，
将A（﹣1，0），M（，）代入并解得：
k=，b=，
∴直线AM的函数解析式为y=x+，
∵D为AC的中点，
∴D（﹣，1）．
可得直线AC的解析式为：y=2x+2，直线DE的解析式为y=﹣x+．
将y=﹣x+与y=x+联立，
解得：x=﹣，y=．
∴在直线DE上存在点G，使△CMG的周长最小，G（﹣，）．
3.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．
（1）问题发现
如图1，△CDE的形状是 三角形．
（2）探究证明
如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

图1 图2
【答案】见解析．
【解析】解：（1）证明：
由旋转性质，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE
＝AB+DE
＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝2，
∴△BDE的周长最小值为：2+4.

4.如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．
（1）填空：抛物线的解析式为 ，点C的坐标 ；
（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．

图1 图2
【答案】（1）y=﹣x2+3x+4，（﹣1，0）；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），
∴-16a+4b+c=0，c=4，
解得:b=3，c=4，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4，
当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得x=﹣1，x=4，
即C（﹣1，0）；
答案为：y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；
（2）∵△AQP∽△AOC，
∴=4，
即AQ=4PQ，
设P（m，﹣m2+3m+4），则PQ=|4﹣（﹣m2+3m+4|=|m2﹣3m|，
∴4|m2﹣3m|=m，
解得：m1=0（舍去），m2=，m3=，
∴P点坐标为（，）或（，）.
（3）设P（m，﹣m2+3m+4），
∵抛物线对称轴为：x=，
∴m＞，
①当点Q′落在x轴上时，延长QP交x轴于H，

则PQ=m2﹣3m，
由折叠性质知：∠AQ′P=∠AQP=90°，AQ′=AQ=m，PQ′=PQ=m2﹣3m，
∵∠AQ′O=∠Q′PH，
∴△AOQ′∽△Q′HP，
∴，
即，得：Q′B=4m﹣12，
∴OQ′=12﹣3m，
在Rt△AOQ′中，由勾股定理得：42+（12﹣3m）2=m2，
解得：m1=4，m2=5，
即P点坐标为（4，0），（5，﹣6）；
②当点Q′落在y轴上，
此时以点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，
∴PQ=PQ′，
即|m2﹣3m|=m，
得m1=0（舍去），m2=4，m3=2， P点坐标为（4，0），（2，6），
综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）.
5.如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0， y＝5，当y＝0， x＝5，
点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），
将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5
即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.
（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时， x＝﹣1或5，
∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2，
∴∠OCB＝45°；
过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，

∵∠OCB＝45°，
∴CD″∥x轴，点D″（2，5），
连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，
设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n
将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，
直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，
∴N(，0).
联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=，y=，
即M(，).
6.已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．
（1）求m的值；
（2）求当AO′最短和最长时A′点的坐标．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数图象上一点，
∴m=2；
（2）当AO′最短时A′点的坐标（2+，），当AO′最长时A′点的坐标（2﹣，﹣）．
①当点O′在线段AB上时，AO′最短，
过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，

∵O′N∥OA，
∴，
即
∴BN=，O′N=．
由∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，得：∠MA′O′=∠NO′B，
∴△A′MO′∽△O′NB，
∴，
∴A′M=，O′M=，
即A’（2+，）；
②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，
同理可得：（2－，－）．
7.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）

A． B． C．2 D．3
【答案】A．
【解析】解：由垂线段最短知，当OP⊥l时，OP取最小值，
而由PQ=可知，此时，PQ取最小值，
过点O作OP⊥l于P，过P作⊙O的切线PQ，切点为Q，连接OQ，

则OP=3，OQ=2，
∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
由勾股定理得：PQ=，
即PQ的最小值为，
故答案为：A．
8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．

【答案】2﹣2.
【解析】解：（1）BC为腰，且∠PCB为顶角时，以C为圆心，以BC为半径画弧，点P在弧上，由题意知，点P在菱形外或与A、D重合，不符合题意；
（2）以BC为腰，且∠PBC为顶角时，
点P在以B为圆心，以AB为半径的圆上，
则PD的最小值为：BD－BC= BC－BC=2﹣2；
（3）BC为底时，则点P在线段BC的垂直平分线上，
由垂线段最短知，PD最小为：1+1=2；
∵2﹣2<2，
∴PD的最小值为：2﹣2.
9.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1,0)，C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A(-1,0)，C(0,3)代入y=-x2+bx+c得：
，解得：，
即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）首先构造出MB，将AB绕点B顺时针旋转30°，交y轴于H，过M作MG⊥BH于G，则MG=MB，

CN+MN+MB的最小值即CN+MN+MG的最小值，
由图可知，当C、N、M、G共线，且CG⊥BH时，取得最小值，
即∠HCG=30°，
∵OB=3，∠ABH=30°，
∴AH=，即H（0，），
∴CH=3+，
∴CG=CH·cos30°=，
即CN+MN+MB的最小值为.
10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝kx+n，得：
k+n=0，-2k+n=3，解得：k=-1，n=1，
即直线AC的解析式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PF∥y轴交直线AC于点F，

设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点F（x，﹣x+1），（﹣2＜x＜1）
∴PF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∴S△APC＝(xA－xC)•PF
＝﹣x2﹣x+3
＝﹣（x+）2+．
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
得：抛物线的对称轴为x＝﹣1．
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称，
设直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，

∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
此时△ANM周长有最小值．
由勾股定理得：AC＝，AN＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝+．
∴△ANM周长的最小值为+．
11.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；
（3）设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴C (0，3)，E (2，3)．
将C (0，3)，E (2，3)代入y＝－x2＋bx＋c得：
b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；
(2)在y＝－x2＋2x＋3中，当y＝0时，x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，
∵AO＝1，CO＝3，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=，
∵CO＝BO＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴FM＝BF＝1，
∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，
∴△ARO∽△AMF，
∴，得RO＝，
∴CR＝OC－OR＝3－＝，AR＝，
∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝；
（3）取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P′，连接AP′，

当P在P′处时，AP＋PH＋HG最小，A′(1，0)，
设直线A′G的解析式为：y＝kx＋m，
将G(4，－5)，A′(1，0)代入得：
k=，b=，
∴直线A′G的解析式为：y＝x＋.
当x＝2时，y＝，
即点H的坐标为(2，)，
∴符合题意的点P的坐标为(0，)．
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；
（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝中，当y＝0，解得：x1＝，x2＝，
∴A（，0），C（，0）
当x＝1时，y＝2
即B（1，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b
得：，解得，
直线BC的解析式为y＝x+.
（2）设点D（m，），则点H（m，m+）
过点D作DH⊥x轴交BC于点H，

HD＝m+﹣（）
＝，
S△BCD=×DH×（xC－xB）
=DH，
∴当m＝时，HD取最大值，此时S△BCD的面积取最大值．
此时D（，﹣）.
作D关于x轴的对称点D′
则D′（，），
连接D′H交x轴于一点E，此时|D′E﹣FE|最大，最大值为D′F的长度，
∵F（，）
∴D′F＝，
即|FE﹣DE|的最大值为．
13.反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象经过点A(1，3)，B(3，m)．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）将点A(1，3)代入得：k=3，
即反比例函数解析式为：，
将点B(3，m)代入得：m=1，
即B(3，1).
（2）作点A关于x轴的对称点A’(1，－3)，连接A’B交x轴于点P，此时PA+PB最小，如图所示，

设直线A’B的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
即直线A’B的解析式为：y=2x－5，
当y=0时，x=，即P(，0).