压轴专题14用函数的思想看图形的最值问题答案解析

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专题14 用函数的思想看图形的最值问题


1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－与抛物线y=ax2+bx+交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.
（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；
（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.

【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过D作DF⊥x轴交AC于F，利用三角函数知识将DE长度转化为DF的长度，借助二次函数最值问题求解；（3）设出平移后的点的坐标，分两种情况（O、B在竖直线上，平移后不可能同时在函数图象上）讨论，将坐标代入解析式中求解.
【解析】解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：
0＝2k﹣，
解得：k＝，
故一次函数表达式为：y＝x﹣，则点C坐标为（﹣8，﹣），
将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：
函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+；
（2）作DF⊥x轴交直线AB于点F，
∴∠DFE＝∠OBA，

点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2﹣m+），点F（m，m﹣），
DF＝﹣m2﹣m+﹣(m﹣）
＝﹣m2﹣m+4，
由勾股定理得：AB＝，
∵sin∠DFE＝sin∠OBA＝，
∴DE＝DF•sin∠DFE
＝（﹣m2﹣m+4）
＝﹣（m+3）2+5，
∴当m=－3时，DE的最大值为5；
（3）设三角形向左平移t个、向上平移n个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，
则平移后点A、O、B的坐标分别为（﹣t+2，n）、（﹣t，n）、（﹣t，﹣+n），
∵O、B在竖直线上，
∴这两点平移后的点不可能都在抛物线上，
①当点O、A平移后的点在抛物线上时，
，
解得：t＝，
即点A′（﹣，）．
②当点B、A平移后的点在抛物线上时，
，
解得：t＝4，
即点A′（﹣2，3）．
综上所述，点A’的坐标为（﹣，）或（﹣2，3）.
2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.

图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，
∴OB＝1，
由AB＝4，得OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，
∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，
解得：a=，b=，
∴抛物线解析式为y＝x2x+2；
（2）在y＝x2x+2中，
当y＝2时，x＝0或x＝﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，
∵P（m，m2m+2），PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∴PG＝m2m+2﹣（﹣m）
＝+，
∵∠PGH＝∠COE＝45°，
∴l＝PG
＝+，
∴当m＝时，l有最大值，最大值为.
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（0，﹣3），C（1，0），
∴c=-3，1+b+c=0，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）在y＝x2+2x﹣3中，y＝0时，x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，-3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF＝45°，
可得△PDE是等腰直角三角形，
由A（﹣3，0），B（0，3）得直线AB的解析式为：y=-x-3，
C△PDE=PE+PD+DP
=PE+PE+PE
=（+1）PE，
设P（m，m2+2m﹣3），则E(m，－m－3)，PE=－m2－3m
C△PDE=（+1）（－m2－3m）
=－（+1）（m+）2+（+1），
∴当m=－时，△PDE的周长越大，此时P点坐标为（－，－）.
4.在平面直角坐标系中，抛物线y=，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=过点A（1，3）、B（0，1），
∴，解得：，
即抛物线的表达式为：y=，
y=
=，
∴顶点坐标为：；
（2）∵A（1，3），由对称轴可知C（4，3）
由B（0，1）、C（4，3），
得直线BC的解析式为：，BC=，

由题意知，∠ACB=∠FGH，
延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）
∴BI=2，CI=4，
由△BCI∽△FGH，得：,
即，
∴，，
即△GFH的周长为：C=FH+GH+FG=，
设G(m, )，则F(m, )，
∴C=
=
=
∴当m=2时，△GFH的周长有最大值，最大值为：.
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(-2，0)，B(4，0)，与直线交于点C(0，-3)，直线与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

【答案】见解析．
【解析】解：
（1）∵C(0,-3)，
∴c=-3，
将A、B坐标代入y=ax2+bx-3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2x－3.
（2）中，当y=0时，x=2，即D(2,0)，
连接OP，

设P(m，m2m－3)，其中：0 S△PCD=S△ODP+S△OCP－S△OCD
=
=，
∵<0，
∴当m=3时，△PCD的面积取最大值，最大值为，此时P点坐标为（3，）.
6.如图，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为x=–1，P为抛物线上第二象限的一个动点．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；
（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意得：
，解得：a=－1，b=－2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=－x2－2x+3；
（2）在y=－x2－2x+3中 ，y=2时，得：
2=－x2－2x+3，
解得：x=－1+或x=－1－，
∵点P在第二象限，
∴x=－1－，
即点P的横坐标为：－1－；
（3）连接AC，过P作PE⊥x轴交AC于E，

设直线AC的解析式为：y=kx+n，
得：n=3，－3k+n=0，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，
S四边形PABC=S△ABC+S△APC
=×4×3+×PE×OA
=PE，
设P（m，－m2－2m+3）,则E点坐标为（m，m+3）,
∴PE=－m2－2m+3－（m+3）=－m2－3m，
∴S四边形PAOC=PE
=（－m2－3m）
=－（m+）2+,
∵－<0，
∴点P在运动过程中，当m=－时，四边形PABC面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（－，）.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与抛物线y＝x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；
（1）求抛物线解析式；
（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；
①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；
②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）在y＝x﹣4中，
当x＝0， y＝﹣4，即C（0，﹣4）；
当y＝0， x＝3，即A（3，0）；
把点A、C坐标代入y＝x2+bx+c，
并解得：b=，c=－4，
∴抛物线解析式为：y＝x2x－4；
（2）设D（m，m2m－4），其中：0＜m＜3，
①连接OD，
由A（3，0），B（﹣1，0），D（m，m2m－4），知OB=1，OA＝3，OC＝4，
tan∠ABD＝，tan∠ABD＝，
∴OF＝（m﹣3），
∴S△ADE﹣S△CEF＝S四边形AOFD﹣S△AOC
＝AO•|yD|+OF•|xD|﹣OA•OC
＝，
∴当m＝时，S△ADE﹣S△CEF的最大值为，此时点D坐标为（，）.
8.如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（ ）

A．4 B．2 C．7 D．8
【答案】D.
【解析】解：由题意知，若MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，

在Rt△PNE中，PN=4，NE=MN=3，
由勾股定理得：PE=5，
∴AE=MN=3，
AP的最大值为：AE+EP=5+3=8．
故答案为：D．
9.在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3）
∴-1-b+c=0，c=3，
解得：b=2，c=3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，
当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴3k+m=0，m=3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）
＝﹣a2+3a，
∴S△BDC＝PD·OB
＝PD
＝﹣（a﹣）2+，
∵﹣<0，
∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P点坐标为：（，）；
10.如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为：y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得：a＝，
抛物线解析式为：y＝x2﹣x；
（2）设M（t，0），过点N作ND⊥x轴于D，过A作AC⊥x轴于C，

∴ND∥AC，
∴，
由（1）知，AC=4，BC=2，OC=8，
∴，即ND=OD，
∵MN∥AB，
∴∠NMD=∠ABC，
∴tan∠NMD=tan∠ABC，
即，DN=2DM，
∴OD=2DN=4DM，即OD=OM，
∵M（t，0），
∴OM=t，OD=t，ND=t，
S△AMN=S△OAM－S△OMN
=t×4－t×t
=，
∴当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
∵∠OPQ＝∠ACO，
（1）当时，△PQO∽△COA，
即，
∴PQ＝2PO，
即|m2﹣m|＝2m，
解得：m1＝0（舍去），m2＝14，m3＝-2，
P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）；
（2）∴当时，△PQO∽△CAO，
∴PQ＝PO，
即|m2﹣m|＝m，
解得：m1＝0（舍去），m2＝8（舍去），m3＝4，
P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；
（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝中，当y＝0，解得：x1＝，x2＝，
∴A（，0），C（，0）
当x＝1时，y＝2
即B（1，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b
得：，
解得，
直线BC的解析式为y＝x+.
（2）设点D（m，），则点H（m，m+）
过点D作DH⊥x轴交BC于点H，

HD＝m+﹣（）
＝，
S△BCD=×DH×（xC－xB）
=DH，
∴当m＝时，HD取最大值，此时S△BCD的面积取最大值．
此时D（，﹣）.
作D关于x轴的对称点D′
则D′（，），
连接D′H交x轴于一点E，此时|D′E﹣FE|最大，最大值为D′F的长度，
∵F（，）
∴D′F＝，
即|FE﹣DE|的最大值为．
12.如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC=4，
∴OA＝OB＝2，
即A（﹣2，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4中，得
，解得，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）过P作PF∥y轴，交BC于F，

在Rt△OBC中，∵OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，
∴∠PFD=45°，
∴PD=PF，
由P(m，﹣m2+m+4)，F(m，－m+4)，得：PF=﹣m2+2m，
∴PD=（﹣m2+2m）
=﹣（m﹣2）2+，其中，0＜m＜4，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，PD有最大值，最大值为．
13.在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 ．

【答案】见解析.
【解析】解：过A作AH⊥CD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，∠D+∠BAD＝180°，∠D＝60°，
∵AD＝AB＝2，
∴AH＝AD•sin60°
=，
由折叠性质知：BE＝EB′，
当BE的值最小时，AE的值最大，
由垂线段最短可知，当EB’⊥CD，即EB’=AH=时，BE的值最小，
AE的最大值为：2－，
故答案为：2－．
14.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由.

【答案】见解析．
【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．
∴A（﹣3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，解得：
抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；
（2）设点E的坐标为（m，m+3），则F（m，m 2+m﹣1）
∴EF＝（m+3）﹣（ m 2+m﹣1）
＝（m﹣） 2+，
∴当m=时，EF的长度有最大值，最大值为，此时点E的坐标为（，）.
15.如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH 周长的最大值.

【答案】见解析．
【解析】解：（1）将 (-1，0)， (0，3)代入y＝﹣x2+bx+c ，得：
－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，
即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.
（2）∵y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线 x＝1，点 D 和点 C 关于直线x＝1对称，
∴D（2，3），
设直线 AD 的解析式为 y＝kx+b，
把 A（﹣1，0），D（2，3）代入得：
，解得，
∴直线AD的解析式为：y＝x+1；
∴E（0，1），
∵OA＝OE，
∴△OAE 为等腰直角三角形，
∴∠EAO＝45°，
∵FH∥OA，△FGH 为等腰直角三角形，
过点 F 作 FM⊥x 轴交 AD 于 M，如图，

可得FM=FH，
∵FG＝GH＝FH=FM，
∴C△FGH＝（1+）FM，
设F(m，﹣m2+2m+3)，则M(m，m+1)，FM=﹣m2+m+2
∴C△FGH＝（1+）FM，
=（1+）（﹣m2+m+2）
=﹣（1+）
∴当 x＝时，△FGH周长由最大值，最大值为：.
16.如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）.
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0 （3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A’O’B’，点A、O、B的对应点分别是点A’、O’、B’. 若△A’O’B’的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A’的横坐标.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将B（0，-1）代入得：m=－1，
在中，当y=0时，x=，即A(，0)，
∵过点C（4，n），得：n=2，即C(4，2)，
将B（0，-1）、C（4，n），代入得：
，解得：，
即抛物线的解析式为：.
（2）由（1）知，OA=，OB=1，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB=，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
∴sin∠DEF= sin∠ABO=，cos∠DEF=cos∠ABO=，
∴EF=DE·cos∠DEF=DE，DF=DE·cos∠DEF=DE，
∴p=2（DE+DF）=DE，
∵点D的横坐标为t，
∴D(t，)，E(t，)，
∴DE=－（）=，
p=（）
=，
∴当t=2时，p有最大值.
（3）由题意知，A’、O’横坐标相等，此二点不会同时在抛物线上，
①当点O’、B’在抛物线上时，由O’B’=OB=1，
抛物线的对称轴：x=得，O’横坐标为－=，
即A’横坐标为：；
②当点A’、B’在抛物线上时，由A’B’=AB=，
设点A’(n，y)，则B’(n+1，y－)，
∴，解得：n=
即A’横坐标为：；
综上所述，点A’的横坐标为：或.