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2021中考数学压轴题题型：专题15纯函数的计算推理综合问题（含原卷及解析卷）
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这是一份2021中考数学压轴题题型：专题15纯函数的计算推理综合问题（含原卷及解析卷），文件包含纯函数的计算推理综合问题原卷版docx、纯函数的计算推理综合问题解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共76页， 欢迎下载使用。
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题15纯函数的计算推理综合问题
【例1】（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+32．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标：
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由三角形面积关系，可得BE＝CE+1，由对称轴为x＝3，可求BC中点M的坐标（3，3），由线段的数量关系，可求EM=12，可求解；
（3）先求出点F坐标，点D坐标可求直线DF解析式，可得点E坐标，可求DE解析式，可得c＝9a，由二次函数的性质可求解．
【解析】（1）∵抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），
∴c﹣5a＝a+b+c，
∴b＝﹣6a；
（2）如图1，当点B在点C的左边时，设BC的中点为M，
∵B（x1，3），C（x2，3），线段BC上有一点E，
∴S1=12×BE×3=32BE，S2=12×CE×3=32CE，
∵S1＝S2+32．
∴32CE+32=32BE，
∴BE＝CE+1，
∵b＝﹣6a，
∴抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c，
∴对称轴为x=−6a−2a=3，
∴BC的中点M坐标为（3，3），
∵BE＝BM+EM，CE＝CM﹣EM，BM＝CM，BE＝CE+1，
∴EM=12，
∴点E（72，3）
当点B在点C的右边时，设BC的中点为M，
同理可求点E（52，3），
综上所述：点E（72，3）或（52，3）；
（3）∵直线DE与抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c的另一个交点F的横坐标为6a+3，
∴y＝a（6a+3）2﹣6a×（6a+3）+c=36a−9a+c，
∴点F（6a+3，36a−9a+c），
∵点D是抛物线的顶点，
∴点D（3，﹣9a+c），
∴直线DF的解析式为：y＝6x﹣18+c﹣9a，
∴点E坐标为（72，3），
又∵点D（3，﹣9a+c），
∴直线DE解析式为：y＝（6+18a﹣2c）x+7c﹣63a﹣18，
∵直线DE与直线DF是同一直线，
∴6＝6+18a﹣2c，
∴c＝9a，
∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣6ax+9a，
∵1＜x＜6，
∴当x＝3时，ymin＝0，当x＝6时，ymax＝9a，
∴0≤y＜9a．
【例2】（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）利用反证法可得结论；
（3）通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE=（CEBE）2，BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，可求S△ABE=12×t×10＝5t，S△CEF=5(4−t)2t，利用二次函数的性质可求解．
【解析】（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A（0，10），点B（5，0），
∵BC＝4，
∴点C（9，0）或点C（1，0），
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
∴当x≥5时，y随x的增大而增大，
当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，
当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），
∴10＝5a，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；
（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），
∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，
假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP），
∴yP=−2xP+nyP=−2xP+10
解得：n＝10，
∵n＝10与已知n≠10矛盾，
∴l1与l2不相交，
∴l2∥l1；
（3）如图，
、
∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，
∴0＝﹣2×1+q，
∴q＝2，
∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，
∴l3∥l1，
∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴△CEF∽△BEA，
∴S△CEFS△ABE=（CEBE）2，
设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，
∴S△ABE=12×t×10＝5t，
∴S△CEF＝（CEBE）2×S△ABE＝（4−tt）2×5t=5(4−t)2t，
∴S△ABE+S△CEF＝5t+5(4−t)2t=10t+80t−40＝10（t−22t）2+402−40，
∴当t＝22时，S△ABE+S△CEF的最小值为402−40．
【例3】（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．
【解析】（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x=32，
∴满足条件的值为：t≤32．
【例4】（2020•湘西州）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM=12S△ACE时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+12，当2AM+2DM的最小值为2724时，求b的值．
【分析】（1）将A点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得k的值和b与c的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得b、c的值，进而求得E点的坐标；
（2）先根据抛物线的解析式求得C、Q点坐标，用m表示△EQM的面积，再根据S△EQM=12S△ACE列出m的方程进行解答；
（3）取点N（0，1），则∠OAN＝45°，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，此时2AM+2DM＝2DG的值最小，由2DG=2724列出关于b的方程求解便可．
【解析】（1）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），
∴﹣k﹣2＝0，1+b+c＝0，
∴k＝﹣2，c＝﹣b﹣1，
∴直线y＝kx﹣2的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵抛物线y＝x2﹣bx+c的顶点坐标为E（b2，4c−b24），
∴E（b2，−4b−4−b24），
∵直线y＝﹣2x﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴−4b−4−b24=−2×b2−2，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
当b＝2时，c＝﹣3，
∴E（1，﹣4），
故k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E（1，﹣4）；
（2）由（1）知，直线的解析式为y＝﹣2x﹣2，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），Q（2，﹣3），
如图1，设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交点为N，则N（0，﹣2），
∴CN＝1，
∴S△ACE=S△ACN+S△ECN=12×1×1+12×1×1=1，
∴S△EQM=12，
设直线EQ与x轴的交点为D，显然点M不能与点D重合，
设直线EQ的解析式为y＝dx+n（d≠0），
则2d+n=−3d+n=−4，
解得，d=1n=−5，
∴直线EQ的解析式为y＝x﹣5，
∴D（5，0），
∴S△EQM＝S△EDM﹣S△QDM=12DM×|−4|−12DM×|−3|=12DM=12|5−m|=12，
解得，m＝4，或m＝6；
（3）∵点D（b+12，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD=(b+12)2−b(b+12)−b−1=−b2−34，
可知点D（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵2AM+2DM=2(22AM+DM)，
∴可取点N（0，1），则∠OAN＝45°，
如图2，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∵∠GAM＝90°﹣∠OAN＝45°，得22AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过D作DH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），
在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45°，
∴DH＝MH，DM=2MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（−b2−34）＝（b+12）﹣m，
解得，m=b2−14，
∵2AM+2DM=2724，
∴2[(b2−14)−(−1)]+22[(b+12)−(b2−14)]=2724，
解得，b＝3，
此时，m=32−14=54＞0，符合题意，
∴b＝3．
【例5】（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．
【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；
（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P在FG边上时，求出PP′＝2a2+a，则﹣2a＝4a2+a，即可得出结果．
【解析】（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），
当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：
∵x≤0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，
∴2a﹣（﹣1）＝2，
解得：a=12；
当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，
如图3所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，
整理得：（a+1）2＝2，
解得：a1＝﹣1−2，a2＝﹣1+2（不合题意舍去）；
综上所述，a的值为12或﹣1−2；
（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），
∴直角边为EF与FG，
∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），
∴AA′＝﹣2a，
当点P在EF边上时，如图4所示：
则xp＝﹣1，
∵EA＝OA＝1，
∴点P在对称轴x＝a的左侧，
∴PP′＝2（a+1），
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝2×2（a+1），
解得：a=−23；
当点P在FG边上时，如图5所示：
则yp＝a﹣1，
∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，
解得：x1＝a+a2+a，x2＝a−a2+a，
∴PP′＝a+a2+a−（a−a2+a）＝2a2+a，
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝4a2+a，
解得：a1=−43，a2＝0（不合题意舍去）；
综上所述，a的值为−23或−43．
【例6】（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出b、c的方程组，解得b、c便可；
（2）连接BC与对称轴交于点F，此时△ACF的周长最小，求得BC的解析式，再求得BC与对称轴的交点坐标便可；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出m的方程解答便可．
【解析】（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
1−b+c=0c=−3，
解得，b=−2c=−3；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0），
令x＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
3k+b=0b=−3，
解得，k=1b=−3，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3），
∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴PEDE=PHDG=5，
∴m2−3mm−3=5，
∵m＝3（舍），或m＝5，
∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
【题组一】
1．（2020•思明区校级模拟）已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．
（1）判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；
（2）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（3）①当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围；
②当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
【分析】（1）抛物线C的对称轴为x＝h，当h＝0时，抛物线C的对称轴即为y轴，即可求解；
（2）由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，﹣1），然后证明点（h，﹣1）在直线y2＝kx﹣kh﹣1的解析式上即可；
（3）①令y3＝x﹣3，依据抛物线的解析式可得到抛物线的顶点在直线y＝﹣1上，由m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立可得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），然后找出抛物线y1＝a（x﹣2）2﹣1位于直线y3＝x﹣3上方时自变量x的取值范围，即可求解；
②由（2）可知抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）．当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立，然后由y2＞y1可得到关于k的不等式，进而求解．
【解析】（1）抛物线C的对称轴为x＝h，
当h＝0时，抛物线C的对称轴即为y轴，
故命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”为假命题；
（2）抛物线C的顶点坐标为（h，﹣1），
当x＝h 时，y2＝kh﹣kh﹣1＝﹣1，
所以直线l恒过抛物线C的顶点；
（3）①当a＝﹣1时，抛物线C解析式为y1＝﹣（x﹣h）2﹣1，
不妨令y3＝x﹣3，
如图1所示，抛物线C的顶点在直线y＝﹣1上移动，
当m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，
则可知抛物线C的顶点为（2，﹣1），
设抛物线C与直线y3＝x﹣3 除顶点外的另一交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最小值，
由y=−(x−2)2−1y=x−3，
解得：x=1y=−2或x=2y=−1，
所以m的最小值为1，
m的取值范围为：2≥m≥1；
②如图2所示，由（2）可知：抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）．
当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立．
所以k（h+2）﹣kh﹣1＞a（h+2﹣h）2﹣1，整理得：k＞2a．
又因为0＜a≤2，
所以0＜2a≤4，
所以k＞4．
2．（2020•长春一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y=−12x2+2x−1(x≥m)x2−2mx+2m+2(x＜m)（m为常数）．
（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．
（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．
（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据矩形的性质结合平面直角坐标系先确定点D的坐标，再判断出经过点D的函数，代入点D的坐标求出m的值即可；
（2）当﹣2≤x≤2时分﹣2≤x＜−12和−12≤x≤2两种情况，结合函数图象进一步确定函数的取值范围；
（3）首先确定当x＜m时，y有最小值为﹣（x﹣m）2+3，再根据m的不同取值，结合图象与矩形的边的交点个数确定m的取值范围；
（4）根据x的不同取值，分别得到关于m的不等式（组），求解不等式（组）即可．
【解析】（1）由题意得，点D的坐标为（﹣1，1），
当x＝﹣1时，y=−12−2−1=−312≠1，
∴函数y=−12x2+2x−1(x≥m)的图象不经过点D，
∴函数y＝x2﹣2mx+2m+2（x＜m）的图象经过点D，
∴（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+2m+2＝1，
解得，m=−12，
∴y=−12x2+2x−1(x≥−12)x2+x+1(x＜−12)；
（2）由（1）可知y=−12x2+2x−1(x≥−12)x2+x+1(x＜−12)，
当﹣2≤x≤2时，分段讨论：
①当﹣2≤x＜−12时，y＝x2+x+1，
该二次函数的对称轴为直线x=−12，且开口向上，如图，
∴当﹣2≤x＜−12时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y取最大值，最大值＝4﹣2+1＝3；
当x=−12时（取不到），y最小值=34；
所以，34＜y≤3；
②当−12≤x≤2时，y=−12x2+2x−1，
二次函数的对称轴为x＝2，开口向下，如图所示，
∴−12≤x≤2时，y随x的增大而增大，
当x=−12时，y最小值=−178，
当x＝2时，y最大值是1，
∴−178≤x≤1．
综上，当﹣2≤x＜−12时，34＜y≤3；
当−12≤x≤2时，−178≤x≤1；
∴y的取值范围是：−178≤x≤3；
（3）y1=−12x2+2x−1过点E（0，﹣1），F（2，1），B（4，﹣1）三点，
y2=x2−2mx+2m+2=（x﹣m）2﹣（m﹣1）+3恒过（1，3），对称轴为直线x＝m，
在x＜m时，y随x的增大而减小，y有最小值，最小值＝m2﹣2m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3．
①若m≤0，x≥0时，则y1与矩形的边有3个交点，不符合题意；
②若0＜m≤2时，y1与矩形的边有F、B两个交点，即y2与矩形的边无交点，
∴y最小值≥1，
∴﹣（m﹣1）2+3≥1，解得，−2+1≤m≤2+1，
即：0＜m≤2；
③若2＜m≤4，x≥m时，y1与矩形的边的交点只有B，
∴y2有且只有一个交点，
∴﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得，﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得：−1≤m＜1−2或1+2＜m≤3，
∴1+2＜m≤3，
④若m＞4，y1与矩形的边无交点，则y2与矩形的边有两个交点，
即：当x＝4时，y2＜1，有两个交点，即16﹣8m+2m+2＜1，
∴m＞176，
∴m＞4，
综上，m的取值范围是：0＜m≤2或1+2＜m≤3或m＞4；
（4）①当m≤x≤m+1时，y0=y1=−12(x−2)2+1≤1，
若存在1≤y0≤2，仅有y0＝1，即x＝2时，y1＝1，
∴m≤2≤m+1，
∴1≤m≤2；
②当m﹣1≤x＜m时，y0=y2=x2−2mx+2m+2，
若存在1≤y0≤2，则−(m−1)2+3＜y2≤−(m−1)2+4，
即满足最小值小于2，最大值大于等于1即可，
∴−(m−1)2+3＜2−(m−1)2+4≥1，
∴−3+1≤m＜0或1＜m≤3+1；
综合①、②得：−3+1≤m＜0或1≤m≤3+1．
3．（2020•宁德二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（m+3a，n），交y轴于点A．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点（P在Q的左边）关于原点对称．
①求a的取值范围；
②若点A，P，Q三点到直线l：y=−94x+32的距离相等，求线段PQ长．
【分析】（1）点M、N的纵坐标相同，故抛物线的对称轴为直线x=12（1﹣m+m+3a）=−b2a，即可求解；
（2）设点P（x，y），则点Q（﹣x，﹣y），将点P、Q的坐标代入抛物线表达式得y=ax2+bx+3−y=a(−x)2−bx+3，即可求解；
（3）分点P、Q在直线l的两侧、点P、Q在直线l的同侧两种情况进行讨论求解，最终确定直线PQ的表达式，进而求解．
【解析】（1）∵点M、N的纵坐标相同，故抛物线的对称轴为直线x=12（1﹣m+m+3a）=−b2a，
解得：a+b＝﹣3；
（2）设点P（x，y），则点Q（﹣x，﹣y），
将点P、Q的坐标代入抛物线表达式得y=ax2+bx+3−y=a(−x)2−bx+3，
解得ax2＝﹣3，
故a＜0；
（3）由（1）知，抛物线的表达式为y＝ax2﹣（a+3）x+3＝0①，
①当点P、Q在直线l的两侧时，如图1，
过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为G、H，设两直线的交点为R，
由题意得：PG＝QH，
而∠PGR＝∠QHR＝90°，∠GRP＝∠QRH，
∴△PGR≌△QHR（AAS），
∴PR＝QR，即点R是PQ的中点，即点R与点O重合，
而直线l不过原点，故这种情况不存在；
②点P、Q在直线l的同侧时，如图2，
设直线l交y轴于点H，则点H（0，32），
而点A（0，3），故点H是OA的中点，
过点A、O分别作直线l的垂线，垂足分别为M、N，
同理可得：△AMH≌△ONH（AAS），
即点A、O到直线l的距离相等，
而A，P，Q三点到直线l距离相等，
过直线PQ与直线l平行，
则直线PQ的表达式为y=−94x②，
联立①②并整理得：ax2﹣（a+34）x+3＝0，
则xP+xQ=a+34a=0，解得a=−34，
故抛物线的表达式为y=−34x2−94x+3③，
联立②③并解得：x=−2y=4.5或x=2y=−4.5，
故点P、Q的坐标分别为（﹣2，4.5）、（2，﹣4.5），
由点PQ的坐标得，PQ=(2+2)2+(4.5+4.5)2=97．
4．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．
（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；
（2）若点A在第一象限，且OA=2，求抛物线的解析式；
（3）已知点B（m−12，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将m＝1代入抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴；
（2）根据抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．点A在第一象限，且OA=2，即可求抛物线的解析式；
（3）将点B（m−12，m+1），C（2，2）．分别代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，根据二次函数的性质即可求出m的取值范围．
【解析】（1）当m＝1时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m＝x2﹣2x+2．
∴抛物线的对称轴为x＝1；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，
∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．
∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），
∴过点A作AM垂直于x轴于点M，连接OA，
∵m＞0，
∴OM＝AM＝m，
∴OA=2m，
∵OA=2，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2．
（3）∵点B（m−12，m+1），C（2，2）．
∴把点B（m−12，m+1），代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m时，
方程无解；
把点C（2，2）代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，
得m2﹣3m+2＝0，
解得m＝1或m＝2，
根据函数图象性质：
当m≤1或m≥2时，
抛物线与线段BC有公共点，
∴m的取值范围是：m≤1或m≥2．
【题组二】
5．（2020•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a（a＞34），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝3时，求此时抛物线的最大值；
（2）若当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；
（3）若直线CD交x轴于点G，求AG⋅BGOG的值．
【分析】（1）将a＝3代入抛物线的解析式，配方成顶点式，可得最大值；
（2）利用配方法得：y＝﹣（x﹣2a）2+3a，得抛物线的对称轴是：x＝2a，分两种情况：①当对称轴在0与2之间时，最大值就是顶点坐标的纵坐标，②当对称轴在点（2，0）的右侧时，在0≤x≤2时，y随x的增大而增大，x＝2时有最大值，列式可得a的值；
（3）根据（2）可得D的坐标，令y＝0和x＝0可得A、B、C的坐标，从而利用待定系数法可得CD的解析式，可得G的坐标，根据两点的距离可得AG、BG和OG的长，代入所求的式子化简可得结论．
【解析】（1）当a＝3时，y＝﹣x2+12x﹣36+9＝﹣x2+12x﹣27＝﹣（x﹣6）2+9，
∵﹣1＜0，
∴当x＝6时，y有最大值是9；
（2）y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a＝﹣（x﹣2a）2+3a，
∴抛物线的对称轴是：x＝2a，
∵a＞34，
∴2a＞32，
分两种情况：
①当32＜2a≤2时，即34＜a≤1，
∴当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值是3a，即3a＝3，
∴a＝1；
②当2a＞2时，即a＞1，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，x＝2时有最大值3，
∴y＝﹣（2﹣2a）2+3a＝3，
解得：a1=74，a2＝1（舍），
综上，a的值是1或74；
（3）如图，∵y＝﹣（x﹣2a）2+3a，
∴D（2a，3a），C（0，﹣4a2+3a），
当y＝0时，﹣（x﹣2a）2+3a＝0，
解得：x1＝2a−3a，x2＝2a+3a，
∴A（2a−3a，0），B（2a+3a，0），
设DC的解析式为：y＝kx+b，
则2ak+b=3ab=−4a2+3a，解得：k=2ab=−4a2+3a，
∴设DC的解析式为：y＝2ax﹣4a2+3a，
当y＝0时，2ax﹣4a2+3a＝0，
∴x＝2a−32，
∴OG＝2a−32，
∴AG⋅BGOG=[(2a−32)−(2a−3a)][(2a+3a)−(2a−32)]2a−32=(3a−32)(3a+32)2a−32=3a−942a−32=12a−98a−6=32．
6．（2020•日照）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC＝90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；
（III）（1）确定抛物线的对称轴是x＝1，根据增减性可知：x＝1时，y有最大值，当x＝3时，y有最小值；
（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当t+1＝1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t＝1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【解析】（I）解：∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，−1−b+c=0c=3，解得b=2c=3，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴对称轴为x=−1+32=1，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴BC=32+32=32，BD=12+12=2，DC=42+22=25，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，AOBD=12=22，OBBC=332=22，
∴AOBD=OBBC，
∴△BCD∽△OBA；
（ III）解：抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+3（舍），t2＝1−3（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即t=±3（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
7．（2020•兴化市一模）已知，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，顶点为P．
（1）当a＝1，m＝2时，求线段AB的长度；
（2）当a＝2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；
（3）若a=−15，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
【分析】（1）将a＝1，m＝2直接代入抛物线的解析式中得：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，解方程可得结论；
（2）将a＝2代入代入抛物线的解析式中，配方成顶点式，可得P（m，2m﹣5），分情况讨论并根据点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等列方程可得m的值，即可得抛物线的解析式；
（3）先把a=−15代入抛物线的解析式为y=−15（x﹣m）2+2m﹣5，分三种情况考虑：符合条件的x值在对称轴的左侧，在对称轴的两侧，在对称轴的右侧，根据增减性和y的最大值为2列方程可得m的值．
【解析】（1）当a＝1，m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2；
（2）当a＝2时，y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5＝2（x﹣m）2+2m﹣5，
∵顶点为P，
∴P（m，2m﹣5），
∴点P在直线 y＝2x﹣5上，
∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，
∴当点P在第一象限时，m＝2m﹣5，m＝5，该抛物线的解析式为y＝2（x﹣5）2+5，
当解析式为y＝2（x﹣5）2+5时，该抛物线与x轴无交点与题意有两个交点矛盾，故这种情况舍去，
当点P在第四象限时，m＝﹣（2m﹣5），m=53，该抛物线的解析式为y=2(x−53)2−53；
（3）当a=−15时，抛物线的解析式为y=−15（x﹣m）2+2m﹣5，
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有−15（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7−10（舍去），m2＝7+10（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
解得：m=72；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有−15（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣210（舍去），m4＝10+210．
综上所述：m的值为72或10+210．
8．（2020•长春一模）函数y=12x2−mx−m+1(x≥1)−x2+2mx+2m−2(x＜1)（m为常数）
（1）若点（﹣2，3）在函数y上，求m的值．
（2）当点（m，﹣1）在函数y上时，求m的值．
（3）若m＝1，当﹣1≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
（4）已知正方形ABCD的中心点为原点O，点A的坐标为（1，1），当函数y与正方形ABCD有3个交点时，直接写出实数m的取值范围．
【分析】（1）把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中，列方程可解答；
（2）分两种情况：①当m≥1时，把（m，﹣1）代入y=12x2−mx﹣m+1中，②当m＜1时，（m，﹣1）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中，计算可解答；
（3）先将m＝1代入函数y中，画出图象，分别代入x＝﹣1，x＝2计算对应的函数y的值，再将x＝1代入y＝﹣x2+2x中根据图象可得结论；
（4）画出相关函数的图象，根据图象即可求得．
【解析】（1）把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中得，
﹣4﹣4m+2m﹣2＝3，
∴m=−92；
（2）分两种情况：
①当m≥1时，把（m，﹣1）代入y=12x2−mx﹣m+1中得：
12m2−m2﹣m+1＝﹣1，
m2+2m﹣4＝0，
∴m＝﹣1+5或﹣1−5（舍）；
②当m＜1时，把（m，﹣1）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中得：
﹣m2+2m2+2m﹣2＝﹣1，
∴m＝﹣1+2或﹣1−2；
综上，m取值为−1+5或−1±2；
（3）当m＝1时，y=12x2−x(x≥1)−x2+2x(x＜1)，如图1所示，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3，
当x＝2时，y＝2﹣2＝0，
把x＝1代入y＝﹣x2+2x中得：y＝﹣1+2＝1
∴当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣3≤y＜1；
（4）如图2，当y＝﹣x2+2mx+2m﹣2的顶点落在线段BC上时，顶点的纵坐标为﹣1，有：
m2+2m﹣2＝﹣1，
解得：m1＝﹣1−2（舍），m2＝﹣1+2．
如图3，当y＝﹣x2+2mx+2m﹣2经过点B（1，﹣1）时，有：
﹣1+2m+2m﹣2＝﹣1，
解得：m=12．
∴﹣1+2＜m＜12．
如图4，当函数图象经过点A（1，1）时，有：
﹣1+4m﹣2＝1，
∴m＝1．
如图5，当y=12x2﹣mx﹣m+1经过点B（1，﹣1）时，有：
12−m﹣m+1＝﹣1，
解得：m=54．
∴1＜m≤54．
综上，当﹣1+2＜m＜12或1＜m≤54时相关函数图象与正方形ABCD的边有3个交点．
【题组三】
9．（2020•东明县模拟）已知，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数y＝﹣ax（a＞0）．
（1）试说明点C在一次函数的图象上；
（2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足1y1+1y2=16a？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且﹣1≤n≤1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0＜a≤2时，求线段EF的最大值．
【分析】（1）先求出二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a顶点C（1，﹣a），当x＝1时，一次函数值y＝﹣a所以点C在一次函数y＝﹣ax的图象上；
（2）存在．将点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）代入二次函数解析式，y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2），因为满足1y1+1y2=16a，1ak2−2ak+1a(k+2)2−2a(k+2)=16a，整理，得 1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a，2k2−4=16，解得k＝±4，经检验：k＝±4是原方程的根，所以整数k的值为±4；
（3）分两种情况讨论：①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝a（n−12）2−14a，②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝﹣a（n−12）2+14a．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴顶点C（1，﹣a），
∵当x＝1时，一次函数值y＝﹣a
∴点C在一次函数y＝﹣ax的图象上；
（2）存在．
∵点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，
∴y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2），
∵满足1y1+1y2=16a，
∴1ak2−2ak+1a(k+2)2−2a(k+2)=16a，
整理，得 1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a，
∴1k(k−2)+1k(k+2)=16，
∴2k2−4=16，
解得k＝±4，
经检验：k＝±4是原方程的根，
∴整数k的值为±4．
（3）∵点E是二次函数图象上一动点，
∴E（n，an2﹣2an），
∵EF∥y轴，F在一次函数图象上，∴F（n，﹣an）．
①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝a（n−12）2−14a，
∵a＞0，
∴当n＝﹣1时，EF有最大值，且最大值是2a，
又∵0＜a≤2，
∴0＜2a≤4，即EF的最大值是4；
②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝﹣a（n−12）2+14a，
此时EF的最大值是14a，
又∵0＜a≤2，
∴0＜14a≤12，即EF的最大值是12；
综上所述，EF的最大值是4．
10．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+12，yQ）在抛物线上，当2AM+2QM的最小值为3324时，求b的值．
【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）将点D（b，yD）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；
（Ⅲ）将点Q（b+12，yQ）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为−b2−34，可知点Q（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为2AM+2QM=3324，所以2[（b2−14）﹣（﹣1）]+22[（b+12）﹣（b2−14）]=3324，解方程即可．
【解析】（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
当b＝2时，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点D（b，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，
由b＞0，得b＞b2＞0，﹣b﹣1＜0，
∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），
∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，
∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴AD=2AE，
由已知AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）=2（b+1），
∴b＝32−1；
（Ⅲ）∵点Q（b+12，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yQ＝（b+12）2﹣b（b+12）﹣b﹣1=−b2−34，
可知点Q（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵2AM+2QM＝2（22AM+QM），
∴可取点N（0，1），
如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，
由∠GAM＝45°，得22AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM=2MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（−b2−34）＝（b+12）﹣m，
解得，m=b2−14，
∵2AM+2QM=3324，
∴2[（b2−14）﹣（﹣1）]+22[（b+12）﹣（b2−14）]=3324，
∴b＝4．
11．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．
【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：y=−x−2y=mx2−2mx−3
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立
∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m=1−xx(x−2)＞0
∵x＞1
∴1﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜0
∴x﹣2＜0
∴x＜2即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣2
∴﹣4＜yP＜﹣3
12．（2019•呼和浩特）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S=259S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式即求得k的值；把点A坐标代入二次函数解析式，且把a＝b代入，求得c＝﹣2a，所有二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，令y＝0即求得与x轴交点的坐标．
（2）由（1）得直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，两方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，求得其△＝（3a+2）2．由于a＞c，c＝﹣2a，求得a＞0，故△＝（3a+2）2＞0，方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有另一个交点．
（3）由c＜a≤c+3和c＝﹣2a求得0＜a≤1，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大致图象．联立直线与抛物线解方程即求得点B坐标（用a表示）．将抛物线解析式配方求得顶点M和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N的坐标，点N纵坐标减去点M纵坐标得MN的长，进而能用含a的式子表示S△AMN与S△BMN，代入即写出S关于a的函数关系式．由0＜a≤1得到当a＝1时，S能有最大值，并能求出最大值．
【解析】（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b
∴4a﹣2a+c＝0
解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0）
当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．
（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a
y=−2x+4y=ax2−ax−2a
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2
∵a＞c，c＝﹣2a
∴a＞﹣2a
∴a＞0
∴3a+2＞0
∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点
（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a
∴﹣2a＜a≤﹣2a+3
∴0＜a≤1，抛物线开口向上
∵y=−2x+4y=ax2−ax−2a 整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x=−(2−a)±(3a+2)22a=−(2−a)±(3a+2)2a
∴x1＝2（即点A横坐标），x2＝﹣1−2a
∴y2＝﹣2（﹣1−2a）+4=4a+6
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1−2a，4a+6）
∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x−12）2−94a
∴顶点M（12，−94a），对称轴为直线x=12
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（12，3）
∴如图，MN＝3﹣（−94a）＝3+94a
∴S=259S△AMN﹣S△BMN=259×12MN（xA−12）−12MN（12−xB）=2518（3+94a）（2−12）−12（3+94a）（12+1+2a）＝（3+94a）（7536−34−1a）＝3a−3a+74
∵0＜a≤1
∴0＜3a≤3，−3a≤−3
∴当a＝1时，3a＝3，−3a=−3均取得最大值
∴S＝3a−3a+74有最大值，最大值为74．
【题组四】
13．（2019•长春）已知函数y=−x2+nx+n，(x≥n)，−12x2+n2x+n2，(x＜n)（n为常数）
（1）当n＝5，
①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．
【分析】（1）①将P（4，b）代入y=−12x2+52x+52；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x=52时有最大值为458；故函数的最大值为458；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n=185，所以185＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y=−12x2+n2x+n2中，得到n＝2，n=83，所以2≤n＜83时图象与线段AB只有一个交点；
（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n＞0时，n＞n2，①如图1中，当点A的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．
②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．构建方程即可解决问题．
④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
【解析】（1）当n＝5时，
y=−x2+5x+5(x≥5)−12x2+52x+52(x＜5)，
①将P（4，b）代入y=−12x2+52x+52，
∴b=92；
②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；
当x＜5时，当x=52时有最大值为458；
∴函数的最大值为458；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n=185，
∴185＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；
将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝2，
将点（2，2）代入y=−12x2+n2x+n2中，
∴n=83，
∴2≤n＜83时图象与线段AB只有一个交点；
综上所述：185＜n＜4，2≤n＜83时，图象与线段AB只有一个交点；
（3）n＞0时，n＞n2，函数图象如图实线所示．
①如图1中，当点A的纵坐标为4时，
则有−n28+n24+n2=n28+n2=4时，解得n＝4或n＝﹣8（舍去），
观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．
②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
n＜0时，n＜n2，函数图象如图中实线．
③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
则有：−n24+n22+n＝4时，
解得n＝﹣2﹣25或n＝﹣2+25（舍弃）
④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣25或n＝4或n≥8．
14．（2020•宿州模拟）对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥−6726时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
【分析】①根据二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m，可进行变形，得到y═（x2+5x+4）m+3x，只要令x2+5x+4＝0，则所得的x的值就与m无关，从而可以解答本题；
②将m＝﹣1代入函数解析式，然后分别令x＝0和y＝0求出相应的y值和x的值，即可解答本题；
③根据抛物线的解析式可以求得对称轴，然后根据m＜0，可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，然后令对称轴的值等于−6726，求得m的值然后看m的值是否小于0，即可解答本题．
【解析】①是真命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x，
∴当x2+5x+4＝0时，得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝﹣4时，y＝﹣12；
∴二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m＝﹣1时，则函数为y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∵当y＝0时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当x＝0时，y＝﹣4；
∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m，
∴对称轴x=−b2a=−5m+32m=−52−32m，
∵m＜0，x≥−6726时，函数y随x的增大而减小，
∴−52−32m≤−6726，得m≥392，
∵m＜0与m≥392矛盾，
故③为假命题．
15．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ √ ）；
②y=mx（m≠0）（ √ ）；
③y＝3x﹣1（ × ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
【分析】（1）根据“H函数”的定义判断即可．
（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
（3）设“H“点为（p，q）和（﹣p，﹣q），代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp＝q，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入（2c+b﹣a）（2x+b+3a）＜0，求出ca的取值，设函数与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），t=ca，利用根与系数的关系得到|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2=2(t−12)2+34，再利用二次函数的性质即可求解．
【解析】（1）①y＝2x是“H函数”．②y=mx（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．
故答案为：√，√，×．
（2）∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得a+b+c=4a−b+c=−4，
∴b=4a+c=0，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴−b2a＞2，
∴−42a＞2，
∴﹣1＜a＜0，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，
综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．
（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），
代入得到ap2+2bp+3c=qap2−2bp+3c=−q，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2＞0，
∴a，c异号，
∴ac＜0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，
∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，
∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，
∴c2a2＜4，
∴﹣2＜ca＜2，
设t=ca，则﹣2＜t＜0，
设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2
=(−2ba)2−4⋅3ca
=4(a+c)2a2−12ca
=4[1+2ca+(ca)2−3ca]
＝21+2t+t2−3t
＝2(t−12)2+34，
∵﹣2＜t＜0，
∴2＜|x1﹣x2|＜27．
16．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 4 ；
（2）函数F1为y=3x，当PQ＝6时，t的值为 1 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t=bb时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
【分析】（1）根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，求出P、Q两点坐标，即可得到PQ；
（2）根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，求出P、Q两点坐标，根据PQ＝6得出方程，解出t值即可；
（3）①根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，将x=bb代入解析式，求出P、Q两点坐标，从而得出△OPQ的面积；
②根据题意得出两个函数的解析式，再分当0＜c＜1时，当1≤c≤2时，当c＞2时，三种情况，分析两个函数的增减性，得出最值，相减即可．
【解析】（1）∵F1：y＝x+1，
F1和F2关于y轴对称，
∴F2：y＝﹣x+1，
分别令x＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，
∴P（2，3），Q（2，﹣1），
∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4；
（2）∵F1：y=3x，
可得：F2：y=−3x，
∵x＝t，可得：P（t，3t），Q（t，−3t），
∴PQ=3t−−3t=6t=6，
解得：t＝1，
经检验：t＝1是原方程的解，
故答案为：1；
（3）①∵F1：y＝ax2+bx+c，
∴F2：y＝ax2﹣bx+c，
∵t=bb，分别代入F1，F2，
可得：P（bb，ab+b+c），Q（bb，ab−b+c），
∴PQ＝|ab+b+c−(ab−b+c)|=2b，
∴S△OPQ=12×2b×bb=1；
②∵函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），
而函数F1和F2的图象关于y轴对称，
∴函数F1的图象经过A（5，0）和（﹣1，0），
∴设F1：y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
则F2：y＝ax2+4ax﹣5a，
∴F1的图象的对称轴是直线x＝2，且c＝﹣5a，
∴a=−c5，
∵c＞0，则a＜0，c+1＞1，
而F2的图象在x＞0时，y随x的增大而减小，
当0＜c＜1时，
F1的图象y随x的增大而增大，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣8ac﹣8a，
又∵a=−c5，
∴h=85c2+85c；
当1≤c≤2时，
F1的最大值为4a×(−5a)−(−4a)24a=−9a，F2的图象y随x的增大而减小，
∴F2的最小值为：a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝﹣9a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣4a＝﹣ac2﹣6ac﹣9a，
又∵a=−c5，
∴h=15c3+65c2+95c，
当c＞2时，
F1的图象y随x的增大而减小，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为ac2﹣4ac﹣5a，
当x＝c+1时，y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝ac2+4ac﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]，
又∵a=−c5，
∴h＝2c2+c；
综上：h关于x的解析式为：h=85c2+85c(0＜c＜1)15c3+65c2+95c(1≤c≤2)2c2+c(c＞2)．
【题组五】
17．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出y＝2时，x的值即可判断．
（3）由题意点B的坐标为（0，−12m2+4），求出几个特殊位置m的值即可判断．
【解析】（1）当m＝5时，y=−12（x﹣5）2+4，
当x＝1时，n=−12×42+4＝﹣4．
（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y=−12（x﹣m）2+4，得2=−12（1﹣m）2+4，
解得m＝3或﹣1（舍去），
∴此时抛物线的对称轴x＝3，
根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，
∴x的取值范围为1≤x≤5．
（3）∵点A与点C不重合，
∴m≠1，
∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），
∴抛物线的顶点在直线y＝4上，
当x＝0时，y=−12m2+4，
∴点B的坐标为（0，−12m2+4），
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，−12m2+4＝0，
解得m＝22或﹣22（不合题意舍去），
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
∴点B（0，4），
∴−12m2+4＝4，解得m＝0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜22．
18．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，−12m+5），则BC=52|m|，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．
【解析】（1）针对于直线y=−12x+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则−12x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB=52+102=55；
（2）设点C（m，−12m+5），
∵B（0，5），
∴BC=m2+(−12m+5−5)2=52|m|，
∵BC=5，
∴52|m|=5，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=−14b=52，
∴抛物线y=−14x2+52x；
（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入y=−12x+5中，得y=−12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴−110＜a＜0；
19．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【解析】（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．
②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=−12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（−34m，m），
∴P（−32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=−4ax，可得N（−a2，2），
∴P（8a−a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a−a2=±4，
解得，a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=−4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．
20．（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；
（2）m=−b2，n=4c−b24，得n＝2b﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2−b24+2b，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，得0≤b≤8，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值−b24+2b，当﹣5≤−b2＜−2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜−b2≤1时，函数有最大值25﹣3b；
当最大值1+3b时，1+3b+b24−2b＝16，b＝6；当最大值25﹣3b时，b＝2；
【解析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b；
（2）m=−b2，n=4c−b24，
∴n=8b−b24，
∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2−b24+2b，
对称轴为直线x=−b2，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤−b2＜0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值−b24+2b，
当﹣5≤−b2＜−2时，函数有最大值1+3b，
当﹣2＜−b2＜0时，函数有最大值25﹣3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b+b24−2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4＜b≤8，
∴b＝6；
当最大值25﹣3b时，25﹣3b+b24−2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵0＜b≤4，
∴b＝2；
综上所述b＝2或b＝6；
【题组六】
21．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜−52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2=c2−2c+6c，点P的坐标为（−x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．
【分析】（1）根据题意，把a＝c，b＝﹣3，点（1，﹣1），代入解析式，即可求出解析式；
（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质，得到b2﹣4ac＝4a，结合根与系数的关系，得到4a=c2−2c+6c，然后证明△OAP∽△OPB，得到OAOP=OPOB，然后得到x0=ca−1，利用二次函数的性质即可得到答案．
【解析】（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，
∵函数过点（1，﹣1），
∴a﹣3+a＝﹣1，
∴a＝c＝1，
∴y＝x2﹣3x+1；
（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．
∴△＝b2﹣4ac＝4，
∴4ac＝b2﹣4，
在函数y1=ax2+(b+1)x+c中，△1=(b+1)2−4ac=(b+1)2−(b2−4)=2b+5，
∵b＜−52，
∴2b+5＜0，
即函数图象与x轴没有交点；
（3）因为函数顶点在直线l上，则有4ac−b24a=−1，
即b2﹣4ac＝4a①，
∵AB2=c2−2c+6c，
∴(x2−x1)2=c2−2c+6c，
即(x1+x2)2−4x1x2=c2−2c+6c，
∴b2−4aca2=c2−2c+6c，
由①得：4a=c2−2c+6c②，
∵∠OAP＝∠DAB，∠OPB＝∠DAB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，
∴∠OBP＝∠OPA，
则△OAP∽△OPB．
∴OAOP=OPOB，
∴OA•OB＝OP2，
∴x1x2=(−x0)2+(−1)2．
∴ca=x0+1，
∴x0=ca−1．
由②得：x0=c2−2c+64−1，
∴x0=14(c−1)2+14，
∴当c＝1时，(x0)min=14．
22．（2020•泉州模拟）二次函数y＝x2+px+q的顶点M是直线y=−12x和直线y＝x+m的交点．
（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；
（2）①当x≥2时，y＝x2+px+q的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；
②若m＝6，且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围．
（3）试证明：无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．
【分析】（1）已知直线y=−12x和直线y＝x+m，列出方程求出x，y，即可求出点M的坐标；
（2）①根据题意得出−2m3≤2，解不等式求出m的取值；
②当t﹣1≤﹣4时，当﹣4≤t+3时，二次函数y最小值＝2，解不等式组即可求得t的取值范围；
（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断．
【解析】（1）由题意得y=−12x，y=x+m，解得x=−2m3，y=m3，
∴M(−2m3，m3)；
（2）①根据题意得−2m3≤2，解得m≥﹣3，
∴m的取值范围为m≥﹣3；
②当m＝6时，顶点为M（﹣4，2），
∴抛物线为y＝（x+4）2+2，函数的最小值为2，
∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，
∴t−1≤−4，t+3≥−4，
解得﹣7≤t≤﹣3；
（3）y=x2+px+qy=x+m，
得x2+（p﹣1）x+q﹣m＝0，
△＝（p﹣1）2﹣4（q﹣m）＝p2﹣2p+1﹣4q+4m，
∵抛物线的顶点坐标既可以表示为M(−2m3，m3)，又可以表示为M(−p2，4q−p24)．
∴p=43m，4q=43m+p2，
∴△=p2−2p+1−(43m+p2)+4m=−2p+1−43m+4m，
△=−2p+1−43m+4m=−2(43m)+1−43m+4m=1，
∴△＞0，
∴无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．
23．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数图象的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．
【解析】（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+4，
又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4，
把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2．
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴x=±4−m2，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝24−m2，
∴W＝OA2+BC2=m2+4×4−m2=m2−2m+8=(m−1)2+7
∴当m＝1时，W取得最小值7．
24．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：
y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．
【分析】（1）结合题意，利用配方法解决问题即可．
（2）求出两个抛物线的顶点坐标，根据A，C，D三点在同一条直线上，构建方程求解即可．
（3）求出两种特殊情形a的值，结合图象判断即可解决问题．
【解析】（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴y＝x2﹣6x+5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
（2）如图1中，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F．
由题意抛物线C1为y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x−m−12）2+m2+2m+14，
∴C（m−12，m2+2m+14），
抛物线C2为y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x−3+m2）2+m2−6m+94，
∴D（3+m2，m2−6m+94），
∵A，C，D共线，CE∥DF，
∴CEAE=DFAF，
∴m2+2m+14m−12+1=m2−6m+943+m2+1，
解得m=13，
经检验，m=13 是分式方程的解，
∴m=13．
（3）如图2﹣1，当a＞0时，
设抛物线的解析式为y＝a（（x+1）（x﹣3），
当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，
∴a=35，
观察图象可知当a≥35时，满足条件．
如图2﹣2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），
把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a=−34，
观察图象可知当a≤−34时，满足条件，
综上所述，满足条件的a的范围为：a≥35或a≤−34．
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题15纯函数的计算推理综合问题
【例1】（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+32．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标：
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由三角形面积关系，可得BE＝CE+1，由对称轴为x＝3，可求BC中点M的坐标（3，3），由线段的数量关系，可求EM=12，可求解；
（3）先求出点F坐标，点D坐标可求直线DF解析式，可得点E坐标，可求DE解析式，可得c＝9a，由二次函数的性质可求解．
【解析】（1）∵抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），
∴c﹣5a＝a+b+c，
∴b＝﹣6a；
（2）如图1，当点B在点C的左边时，设BC的中点为M，
∵B（x1，3），C（x2，3），线段BC上有一点E，
∴S1=12×BE×3=32BE，S2=12×CE×3=32CE，
∵S1＝S2+32．
∴32CE+32=32BE，
∴BE＝CE+1，
∵b＝﹣6a，
∴抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c，
∴对称轴为x=−6a−2a=3，
∴BC的中点M坐标为（3，3），
∵BE＝BM+EM，CE＝CM﹣EM，BM＝CM，BE＝CE+1，
∴EM=12，
∴点E（72，3）
当点B在点C的右边时，设BC的中点为M，
同理可求点E（52，3），
综上所述：点E（72，3）或（52，3）；
（3）∵直线DE与抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c的另一个交点F的横坐标为6a+3，
∴y＝a（6a+3）2﹣6a×（6a+3）+c=36a−9a+c，
∴点F（6a+3，36a−9a+c），
∵点D是抛物线的顶点，
∴点D（3，﹣9a+c），
∴直线DF的解析式为：y＝6x﹣18+c﹣9a，
∴点E坐标为（72，3），
又∵点D（3，﹣9a+c），
∴直线DE解析式为：y＝（6+18a﹣2c）x+7c﹣63a﹣18，
∵直线DE与直线DF是同一直线，
∴6＝6+18a﹣2c，
∴c＝9a，
∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣6ax+9a，
∵1＜x＜6，
∴当x＝3时，ymin＝0，当x＝6时，ymax＝9a，
∴0≤y＜9a．
【例2】（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）利用反证法可得结论；
（3）通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE=（CEBE）2，BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，可求S△ABE=12×t×10＝5t，S△CEF=5(4−t)2t，利用二次函数的性质可求解．
【解析】（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A（0，10），点B（5，0），
∵BC＝4，
∴点C（9，0）或点C（1，0），
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
∴当x≥5时，y随x的增大而增大，
当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，
当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），
∴10＝5a，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；
（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），
∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，
假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP），
∴yP=−2xP+nyP=−2xP+10
解得：n＝10，
∵n＝10与已知n≠10矛盾，
∴l1与l2不相交，
∴l2∥l1；
（3）如图，
、
∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，
∴0＝﹣2×1+q，
∴q＝2，
∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，
∴l3∥l1，
∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴△CEF∽△BEA，
∴S△CEFS△ABE=（CEBE）2，
设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，
∴S△ABE=12×t×10＝5t，
∴S△CEF＝（CEBE）2×S△ABE＝（4−tt）2×5t=5(4−t)2t，
∴S△ABE+S△CEF＝5t+5(4−t)2t=10t+80t−40＝10（t−22t）2+402−40，
∴当t＝22时，S△ABE+S△CEF的最小值为402−40．
【例3】（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．
【解析】（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x=32，
∴满足条件的值为：t≤32．
【例4】（2020•湘西州）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM=12S△ACE时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+12，当2AM+2DM的最小值为2724时，求b的值．
【分析】（1）将A点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得k的值和b与c的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得b、c的值，进而求得E点的坐标；
（2）先根据抛物线的解析式求得C、Q点坐标，用m表示△EQM的面积，再根据S△EQM=12S△ACE列出m的方程进行解答；
（3）取点N（0，1），则∠OAN＝45°，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，此时2AM+2DM＝2DG的值最小，由2DG=2724列出关于b的方程求解便可．
【解析】（1）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），
∴﹣k﹣2＝0，1+b+c＝0，
∴k＝﹣2，c＝﹣b﹣1，
∴直线y＝kx﹣2的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵抛物线y＝x2﹣bx+c的顶点坐标为E（b2，4c−b24），
∴E（b2，−4b−4−b24），
∵直线y＝﹣2x﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴−4b−4−b24=−2×b2−2，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
当b＝2时，c＝﹣3，
∴E（1，﹣4），
故k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E（1，﹣4）；
（2）由（1）知，直线的解析式为y＝﹣2x﹣2，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），Q（2，﹣3），
如图1，设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交点为N，则N（0，﹣2），
∴CN＝1，
∴S△ACE=S△ACN+S△ECN=12×1×1+12×1×1=1，
∴S△EQM=12，
设直线EQ与x轴的交点为D，显然点M不能与点D重合，
设直线EQ的解析式为y＝dx+n（d≠0），
则2d+n=−3d+n=−4，
解得，d=1n=−5，
∴直线EQ的解析式为y＝x﹣5，
∴D（5，0），
∴S△EQM＝S△EDM﹣S△QDM=12DM×|−4|−12DM×|−3|=12DM=12|5−m|=12，
解得，m＝4，或m＝6；
（3）∵点D（b+12，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD=(b+12)2−b(b+12)−b−1=−b2−34，
可知点D（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵2AM+2DM=2(22AM+DM)，
∴可取点N（0，1），则∠OAN＝45°，
如图2，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∵∠GAM＝90°﹣∠OAN＝45°，得22AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过D作DH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），
在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45°，
∴DH＝MH，DM=2MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（−b2−34）＝（b+12）﹣m，
解得，m=b2−14，
∵2AM+2DM=2724，
∴2[(b2−14)−(−1)]+22[(b+12)−(b2−14)]=2724，
解得，b＝3，
此时，m=32−14=54＞0，符合题意，
∴b＝3．
【例5】（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．
【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；
（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P在FG边上时，求出PP′＝2a2+a，则﹣2a＝4a2+a，即可得出结果．
【解析】（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），
当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：
∵x≤0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，
∴2a﹣（﹣1）＝2，
解得：a=12；
当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，
如图3所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，
整理得：（a+1）2＝2，
解得：a1＝﹣1−2，a2＝﹣1+2（不合题意舍去）；
综上所述，a的值为12或﹣1−2；
（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），
∴直角边为EF与FG，
∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），
∴AA′＝﹣2a，
当点P在EF边上时，如图4所示：
则xp＝﹣1，
∵EA＝OA＝1，
∴点P在对称轴x＝a的左侧，
∴PP′＝2（a+1），
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝2×2（a+1），
解得：a=−23；
当点P在FG边上时，如图5所示：
则yp＝a﹣1，
∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，
解得：x1＝a+a2+a，x2＝a−a2+a，
∴PP′＝a+a2+a−（a−a2+a）＝2a2+a，
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝4a2+a，
解得：a1=−43，a2＝0（不合题意舍去）；
综上所述，a的值为−23或−43．
【例6】（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出b、c的方程组，解得b、c便可；
（2）连接BC与对称轴交于点F，此时△ACF的周长最小，求得BC的解析式，再求得BC与对称轴的交点坐标便可；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出m的方程解答便可．
【解析】（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
1−b+c=0c=−3，
解得，b=−2c=−3；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0），
令x＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
3k+b=0b=−3，
解得，k=1b=−3，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3），
∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴PEDE=PHDG=5，
∴m2−3mm−3=5，
∵m＝3（舍），或m＝5，
∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
【题组一】
1．（2020•思明区校级模拟）已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．
（1）判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；
（2）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（3）①当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围；
②当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
【分析】（1）抛物线C的对称轴为x＝h，当h＝0时，抛物线C的对称轴即为y轴，即可求解；
（2）由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，﹣1），然后证明点（h，﹣1）在直线y2＝kx﹣kh﹣1的解析式上即可；
（3）①令y3＝x﹣3，依据抛物线的解析式可得到抛物线的顶点在直线y＝﹣1上，由m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立可得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），然后找出抛物线y1＝a（x﹣2）2﹣1位于直线y3＝x﹣3上方时自变量x的取值范围，即可求解；
②由（2）可知抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）．当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立，然后由y2＞y1可得到关于k的不等式，进而求解．
【解析】（1）抛物线C的对称轴为x＝h，
当h＝0时，抛物线C的对称轴即为y轴，
故命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”为假命题；
（2）抛物线C的顶点坐标为（h，﹣1），
当x＝h 时，y2＝kh﹣kh﹣1＝﹣1，
所以直线l恒过抛物线C的顶点；
（3）①当a＝﹣1时，抛物线C解析式为y1＝﹣（x﹣h）2﹣1，
不妨令y3＝x﹣3，
如图1所示，抛物线C的顶点在直线y＝﹣1上移动，
当m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，
则可知抛物线C的顶点为（2，﹣1），
设抛物线C与直线y3＝x﹣3 除顶点外的另一交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最小值，
由y=−(x−2)2−1y=x−3，
解得：x=1y=−2或x=2y=−1，
所以m的最小值为1，
m的取值范围为：2≥m≥1；
②如图2所示，由（2）可知：抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）．
当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立．
所以k（h+2）﹣kh﹣1＞a（h+2﹣h）2﹣1，整理得：k＞2a．
又因为0＜a≤2，
所以0＜2a≤4，
所以k＞4．
2．（2020•长春一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y=−12x2+2x−1(x≥m)x2−2mx+2m+2(x＜m)（m为常数）．
（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．
（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．
（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据矩形的性质结合平面直角坐标系先确定点D的坐标，再判断出经过点D的函数，代入点D的坐标求出m的值即可；
（2）当﹣2≤x≤2时分﹣2≤x＜−12和−12≤x≤2两种情况，结合函数图象进一步确定函数的取值范围；
（3）首先确定当x＜m时，y有最小值为﹣（x﹣m）2+3，再根据m的不同取值，结合图象与矩形的边的交点个数确定m的取值范围；
（4）根据x的不同取值，分别得到关于m的不等式（组），求解不等式（组）即可．
【解析】（1）由题意得，点D的坐标为（﹣1，1），
当x＝﹣1时，y=−12−2−1=−312≠1，
∴函数y=−12x2+2x−1(x≥m)的图象不经过点D，
∴函数y＝x2﹣2mx+2m+2（x＜m）的图象经过点D，
∴（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+2m+2＝1，
解得，m=−12，
∴y=−12x2+2x−1(x≥−12)x2+x+1(x＜−12)；
（2）由（1）可知y=−12x2+2x−1(x≥−12)x2+x+1(x＜−12)，
当﹣2≤x≤2时，分段讨论：
①当﹣2≤x＜−12时，y＝x2+x+1，
该二次函数的对称轴为直线x=−12，且开口向上，如图，
∴当﹣2≤x＜−12时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y取最大值，最大值＝4﹣2+1＝3；
当x=−12时（取不到），y最小值=34；
所以，34＜y≤3；
②当−12≤x≤2时，y=−12x2+2x−1，
二次函数的对称轴为x＝2，开口向下，如图所示，
∴−12≤x≤2时，y随x的增大而增大，
当x=−12时，y最小值=−178，
当x＝2时，y最大值是1，
∴−178≤x≤1．
综上，当﹣2≤x＜−12时，34＜y≤3；
当−12≤x≤2时，−178≤x≤1；
∴y的取值范围是：−178≤x≤3；
（3）y1=−12x2+2x−1过点E（0，﹣1），F（2，1），B（4，﹣1）三点，
y2=x2−2mx+2m+2=（x﹣m）2﹣（m﹣1）+3恒过（1，3），对称轴为直线x＝m，
在x＜m时，y随x的增大而减小，y有最小值，最小值＝m2﹣2m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3．
①若m≤0，x≥0时，则y1与矩形的边有3个交点，不符合题意；
②若0＜m≤2时，y1与矩形的边有F、B两个交点，即y2与矩形的边无交点，
∴y最小值≥1，
∴﹣（m﹣1）2+3≥1，解得，−2+1≤m≤2+1，
即：0＜m≤2；
③若2＜m≤4，x≥m时，y1与矩形的边的交点只有B，
∴y2有且只有一个交点，
∴﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得，﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得：−1≤m＜1−2或1+2＜m≤3，
∴1+2＜m≤3，
④若m＞4，y1与矩形的边无交点，则y2与矩形的边有两个交点，
即：当x＝4时，y2＜1，有两个交点，即16﹣8m+2m+2＜1，
∴m＞176，
∴m＞4，
综上，m的取值范围是：0＜m≤2或1+2＜m≤3或m＞4；
（4）①当m≤x≤m+1时，y0=y1=−12(x−2)2+1≤1，
若存在1≤y0≤2，仅有y0＝1，即x＝2时，y1＝1，
∴m≤2≤m+1，
∴1≤m≤2；
②当m﹣1≤x＜m时，y0=y2=x2−2mx+2m+2，
若存在1≤y0≤2，则−(m−1)2+3＜y2≤−(m−1)2+4，
即满足最小值小于2，最大值大于等于1即可，
∴−(m−1)2+3＜2−(m−1)2+4≥1，
∴−3+1≤m＜0或1＜m≤3+1；
综合①、②得：−3+1≤m＜0或1≤m≤3+1．
3．（2020•宁德二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（m+3a，n），交y轴于点A．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点（P在Q的左边）关于原点对称．
①求a的取值范围；
②若点A，P，Q三点到直线l：y=−94x+32的距离相等，求线段PQ长．
【分析】（1）点M、N的纵坐标相同，故抛物线的对称轴为直线x=12（1﹣m+m+3a）=−b2a，即可求解；
（2）设点P（x，y），则点Q（﹣x，﹣y），将点P、Q的坐标代入抛物线表达式得y=ax2+bx+3−y=a(−x)2−bx+3，即可求解；
（3）分点P、Q在直线l的两侧、点P、Q在直线l的同侧两种情况进行讨论求解，最终确定直线PQ的表达式，进而求解．
【解析】（1）∵点M、N的纵坐标相同，故抛物线的对称轴为直线x=12（1﹣m+m+3a）=−b2a，
解得：a+b＝﹣3；
（2）设点P（x，y），则点Q（﹣x，﹣y），
将点P、Q的坐标代入抛物线表达式得y=ax2+bx+3−y=a(−x)2−bx+3，
解得ax2＝﹣3，
故a＜0；
（3）由（1）知，抛物线的表达式为y＝ax2﹣（a+3）x+3＝0①，
①当点P、Q在直线l的两侧时，如图1，
过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为G、H，设两直线的交点为R，
由题意得：PG＝QH，
而∠PGR＝∠QHR＝90°，∠GRP＝∠QRH，
∴△PGR≌△QHR（AAS），
∴PR＝QR，即点R是PQ的中点，即点R与点O重合，
而直线l不过原点，故这种情况不存在；
②点P、Q在直线l的同侧时，如图2，
设直线l交y轴于点H，则点H（0，32），
而点A（0，3），故点H是OA的中点，
过点A、O分别作直线l的垂线，垂足分别为M、N，
同理可得：△AMH≌△ONH（AAS），
即点A、O到直线l的距离相等，
而A，P，Q三点到直线l距离相等，
过直线PQ与直线l平行，
则直线PQ的表达式为y=−94x②，
联立①②并整理得：ax2﹣（a+34）x+3＝0，
则xP+xQ=a+34a=0，解得a=−34，
故抛物线的表达式为y=−34x2−94x+3③，
联立②③并解得：x=−2y=4.5或x=2y=−4.5，
故点P、Q的坐标分别为（﹣2，4.5）、（2，﹣4.5），
由点PQ的坐标得，PQ=(2+2)2+(4.5+4.5)2=97．
4．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．
（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；
（2）若点A在第一象限，且OA=2，求抛物线的解析式；
（3）已知点B（m−12，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将m＝1代入抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴；
（2）根据抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．点A在第一象限，且OA=2，即可求抛物线的解析式；
（3）将点B（m−12，m+1），C（2，2）．分别代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，根据二次函数的性质即可求出m的取值范围．
【解析】（1）当m＝1时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m＝x2﹣2x+2．
∴抛物线的对称轴为x＝1；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，
∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．
∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），
∴过点A作AM垂直于x轴于点M，连接OA，
∵m＞0，
∴OM＝AM＝m，
∴OA=2m，
∵OA=2，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2．
（3）∵点B（m−12，m+1），C（2，2）．
∴把点B（m−12，m+1），代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m时，
方程无解；
把点C（2，2）代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，
得m2﹣3m+2＝0，
解得m＝1或m＝2，
根据函数图象性质：
当m≤1或m≥2时，
抛物线与线段BC有公共点，
∴m的取值范围是：m≤1或m≥2．
【题组二】
5．（2020•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a（a＞34），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝3时，求此时抛物线的最大值；
（2）若当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；
（3）若直线CD交x轴于点G，求AG⋅BGOG的值．
【分析】（1）将a＝3代入抛物线的解析式，配方成顶点式，可得最大值；
（2）利用配方法得：y＝﹣（x﹣2a）2+3a，得抛物线的对称轴是：x＝2a，分两种情况：①当对称轴在0与2之间时，最大值就是顶点坐标的纵坐标，②当对称轴在点（2，0）的右侧时，在0≤x≤2时，y随x的增大而增大，x＝2时有最大值，列式可得a的值；
（3）根据（2）可得D的坐标，令y＝0和x＝0可得A、B、C的坐标，从而利用待定系数法可得CD的解析式，可得G的坐标，根据两点的距离可得AG、BG和OG的长，代入所求的式子化简可得结论．
【解析】（1）当a＝3时，y＝﹣x2+12x﹣36+9＝﹣x2+12x﹣27＝﹣（x﹣6）2+9，
∵﹣1＜0，
∴当x＝6时，y有最大值是9；
（2）y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a＝﹣（x﹣2a）2+3a，
∴抛物线的对称轴是：x＝2a，
∵a＞34，
∴2a＞32，
分两种情况：
①当32＜2a≤2时，即34＜a≤1，
∴当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值是3a，即3a＝3，
∴a＝1；
②当2a＞2时，即a＞1，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，x＝2时有最大值3，
∴y＝﹣（2﹣2a）2+3a＝3，
解得：a1=74，a2＝1（舍），
综上，a的值是1或74；
（3）如图，∵y＝﹣（x﹣2a）2+3a，
∴D（2a，3a），C（0，﹣4a2+3a），
当y＝0时，﹣（x﹣2a）2+3a＝0，
解得：x1＝2a−3a，x2＝2a+3a，
∴A（2a−3a，0），B（2a+3a，0），
设DC的解析式为：y＝kx+b，
则2ak+b=3ab=−4a2+3a，解得：k=2ab=−4a2+3a，
∴设DC的解析式为：y＝2ax﹣4a2+3a，
当y＝0时，2ax﹣4a2+3a＝0，
∴x＝2a−32，
∴OG＝2a−32，
∴AG⋅BGOG=[(2a−32)−(2a−3a)][(2a+3a)−(2a−32)]2a−32=(3a−32)(3a+32)2a−32=3a−942a−32=12a−98a−6=32．
6．（2020•日照）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC＝90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；
（III）（1）确定抛物线的对称轴是x＝1，根据增减性可知：x＝1时，y有最大值，当x＝3时，y有最小值；
（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当t+1＝1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t＝1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【解析】（I）解：∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，−1−b+c=0c=3，解得b=2c=3，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴对称轴为x=−1+32=1，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴BC=32+32=32，BD=12+12=2，DC=42+22=25，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，AOBD=12=22，OBBC=332=22，
∴AOBD=OBBC，
∴△BCD∽△OBA；
（ III）解：抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+3（舍），t2＝1−3（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即t=±3（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
7．（2020•兴化市一模）已知，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，顶点为P．
（1）当a＝1，m＝2时，求线段AB的长度；
（2）当a＝2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；
（3）若a=−15，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
【分析】（1）将a＝1，m＝2直接代入抛物线的解析式中得：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，解方程可得结论；
（2）将a＝2代入代入抛物线的解析式中，配方成顶点式，可得P（m，2m﹣5），分情况讨论并根据点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等列方程可得m的值，即可得抛物线的解析式；
（3）先把a=−15代入抛物线的解析式为y=−15（x﹣m）2+2m﹣5，分三种情况考虑：符合条件的x值在对称轴的左侧，在对称轴的两侧，在对称轴的右侧，根据增减性和y的最大值为2列方程可得m的值．
【解析】（1）当a＝1，m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2；
（2）当a＝2时，y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5＝2（x﹣m）2+2m﹣5，
∵顶点为P，
∴P（m，2m﹣5），
∴点P在直线 y＝2x﹣5上，
∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，
∴当点P在第一象限时，m＝2m﹣5，m＝5，该抛物线的解析式为y＝2（x﹣5）2+5，
当解析式为y＝2（x﹣5）2+5时，该抛物线与x轴无交点与题意有两个交点矛盾，故这种情况舍去，
当点P在第四象限时，m＝﹣（2m﹣5），m=53，该抛物线的解析式为y=2(x−53)2−53；
（3）当a=−15时，抛物线的解析式为y=−15（x﹣m）2+2m﹣5，
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有−15（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7−10（舍去），m2＝7+10（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
解得：m=72；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有−15（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣210（舍去），m4＝10+210．
综上所述：m的值为72或10+210．
8．（2020•长春一模）函数y=12x2−mx−m+1(x≥1)−x2+2mx+2m−2(x＜1)（m为常数）
（1）若点（﹣2，3）在函数y上，求m的值．
（2）当点（m，﹣1）在函数y上时，求m的值．
（3）若m＝1，当﹣1≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
（4）已知正方形ABCD的中心点为原点O，点A的坐标为（1，1），当函数y与正方形ABCD有3个交点时，直接写出实数m的取值范围．
【分析】（1）把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中，列方程可解答；
（2）分两种情况：①当m≥1时，把（m，﹣1）代入y=12x2−mx﹣m+1中，②当m＜1时，（m，﹣1）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中，计算可解答；
（3）先将m＝1代入函数y中，画出图象，分别代入x＝﹣1，x＝2计算对应的函数y的值，再将x＝1代入y＝﹣x2+2x中根据图象可得结论；
（4）画出相关函数的图象，根据图象即可求得．
【解析】（1）把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中得，
﹣4﹣4m+2m﹣2＝3，
∴m=−92；
（2）分两种情况：
①当m≥1时，把（m，﹣1）代入y=12x2−mx﹣m+1中得：
12m2−m2﹣m+1＝﹣1，
m2+2m﹣4＝0，
∴m＝﹣1+5或﹣1−5（舍）；
②当m＜1时，把（m，﹣1）代入y＝﹣x2+2mx+2m﹣2中得：
﹣m2+2m2+2m﹣2＝﹣1，
∴m＝﹣1+2或﹣1−2；
综上，m取值为−1+5或−1±2；
（3）当m＝1时，y=12x2−x(x≥1)−x2+2x(x＜1)，如图1所示，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3，
当x＝2时，y＝2﹣2＝0，
把x＝1代入y＝﹣x2+2x中得：y＝﹣1+2＝1
∴当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣3≤y＜1；
（4）如图2，当y＝﹣x2+2mx+2m﹣2的顶点落在线段BC上时，顶点的纵坐标为﹣1，有：
m2+2m﹣2＝﹣1，
解得：m1＝﹣1−2（舍），m2＝﹣1+2．
如图3，当y＝﹣x2+2mx+2m﹣2经过点B（1，﹣1）时，有：
﹣1+2m+2m﹣2＝﹣1，
解得：m=12．
∴﹣1+2＜m＜12．
如图4，当函数图象经过点A（1，1）时，有：
﹣1+4m﹣2＝1，
∴m＝1．
如图5，当y=12x2﹣mx﹣m+1经过点B（1，﹣1）时，有：
12−m﹣m+1＝﹣1，
解得：m=54．
∴1＜m≤54．
综上，当﹣1+2＜m＜12或1＜m≤54时相关函数图象与正方形ABCD的边有3个交点．
【题组三】
9．（2020•东明县模拟）已知，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数y＝﹣ax（a＞0）．
（1）试说明点C在一次函数的图象上；
（2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足1y1+1y2=16a？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且﹣1≤n≤1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0＜a≤2时，求线段EF的最大值．
【分析】（1）先求出二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a顶点C（1，﹣a），当x＝1时，一次函数值y＝﹣a所以点C在一次函数y＝﹣ax的图象上；
（2）存在．将点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）代入二次函数解析式，y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2），因为满足1y1+1y2=16a，1ak2−2ak+1a(k+2)2−2a(k+2)=16a，整理，得 1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a，2k2−4=16，解得k＝±4，经检验：k＝±4是原方程的根，所以整数k的值为±4；
（3）分两种情况讨论：①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝a（n−12）2−14a，②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝﹣a（n−12）2+14a．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴顶点C（1，﹣a），
∵当x＝1时，一次函数值y＝﹣a
∴点C在一次函数y＝﹣ax的图象上；
（2）存在．
∵点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，
∴y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2），
∵满足1y1+1y2=16a，
∴1ak2−2ak+1a(k+2)2−2a(k+2)=16a，
整理，得 1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a，
∴1k(k−2)+1k(k+2)=16，
∴2k2−4=16，
解得k＝±4，
经检验：k＝±4是原方程的根，
∴整数k的值为±4．
（3）∵点E是二次函数图象上一动点，
∴E（n，an2﹣2an），
∵EF∥y轴，F在一次函数图象上，∴F（n，﹣an）．
①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝a（n−12）2−14a，
∵a＞0，
∴当n＝﹣1时，EF有最大值，且最大值是2a，
又∵0＜a≤2，
∴0＜2a≤4，即EF的最大值是4；
②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝﹣a（n−12）2+14a，
此时EF的最大值是14a，
又∵0＜a≤2，
∴0＜14a≤12，即EF的最大值是12；
综上所述，EF的最大值是4．
10．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+12，yQ）在抛物线上，当2AM+2QM的最小值为3324时，求b的值．
【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）将点D（b，yD）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；
（Ⅲ）将点Q（b+12，yQ）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为−b2−34，可知点Q（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为2AM+2QM=3324，所以2[（b2−14）﹣（﹣1）]+22[（b+12）﹣（b2−14）]=3324，解方程即可．
【解析】（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
当b＝2时，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点D（b，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，
由b＞0，得b＞b2＞0，﹣b﹣1＜0，
∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），
∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，
∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴AD=2AE，
由已知AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）=2（b+1），
∴b＝32−1；
（Ⅲ）∵点Q（b+12，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yQ＝（b+12）2﹣b（b+12）﹣b﹣1=−b2−34，
可知点Q（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵2AM+2QM＝2（22AM+QM），
∴可取点N（0，1），
如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，
由∠GAM＝45°，得22AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM=2MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（−b2−34）＝（b+12）﹣m，
解得，m=b2−14，
∵2AM+2QM=3324，
∴2[（b2−14）﹣（﹣1）]+22[（b+12）﹣（b2−14）]=3324，
∴b＝4．
11．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．
【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：y=−x−2y=mx2−2mx−3
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立
∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m=1−xx(x−2)＞0
∵x＞1
∴1﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜0
∴x﹣2＜0
∴x＜2即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣2
∴﹣4＜yP＜﹣3
12．（2019•呼和浩特）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S=259S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式即求得k的值；把点A坐标代入二次函数解析式，且把a＝b代入，求得c＝﹣2a，所有二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，令y＝0即求得与x轴交点的坐标．
（2）由（1）得直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，两方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，求得其△＝（3a+2）2．由于a＞c，c＝﹣2a，求得a＞0，故△＝（3a+2）2＞0，方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有另一个交点．
（3）由c＜a≤c+3和c＝﹣2a求得0＜a≤1，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大致图象．联立直线与抛物线解方程即求得点B坐标（用a表示）．将抛物线解析式配方求得顶点M和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N的坐标，点N纵坐标减去点M纵坐标得MN的长，进而能用含a的式子表示S△AMN与S△BMN，代入即写出S关于a的函数关系式．由0＜a≤1得到当a＝1时，S能有最大值，并能求出最大值．
【解析】（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b
∴4a﹣2a+c＝0
解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0）
当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．
（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a
y=−2x+4y=ax2−ax−2a
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2
∵a＞c，c＝﹣2a
∴a＞﹣2a
∴a＞0
∴3a+2＞0
∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点
（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a
∴﹣2a＜a≤﹣2a+3
∴0＜a≤1，抛物线开口向上
∵y=−2x+4y=ax2−ax−2a 整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x=−(2−a)±(3a+2)22a=−(2−a)±(3a+2)2a
∴x1＝2（即点A横坐标），x2＝﹣1−2a
∴y2＝﹣2（﹣1−2a）+4=4a+6
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1−2a，4a+6）
∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x−12）2−94a
∴顶点M（12，−94a），对称轴为直线x=12
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（12，3）
∴如图，MN＝3﹣（−94a）＝3+94a
∴S=259S△AMN﹣S△BMN=259×12MN（xA−12）−12MN（12−xB）=2518（3+94a）（2−12）−12（3+94a）（12+1+2a）＝（3+94a）（7536−34−1a）＝3a−3a+74
∵0＜a≤1
∴0＜3a≤3，−3a≤−3
∴当a＝1时，3a＝3，−3a=−3均取得最大值
∴S＝3a−3a+74有最大值，最大值为74．
【题组四】
13．（2019•长春）已知函数y=−x2+nx+n，(x≥n)，−12x2+n2x+n2，(x＜n)（n为常数）
（1）当n＝5，
①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．
【分析】（1）①将P（4，b）代入y=−12x2+52x+52；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x=52时有最大值为458；故函数的最大值为458；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n=185，所以185＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y=−12x2+n2x+n2中，得到n＝2，n=83，所以2≤n＜83时图象与线段AB只有一个交点；
（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n＞0时，n＞n2，①如图1中，当点A的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．
②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．构建方程即可解决问题．
④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
【解析】（1）当n＝5时，
y=−x2+5x+5(x≥5)−12x2+52x+52(x＜5)，
①将P（4，b）代入y=−12x2+52x+52，
∴b=92；
②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；
当x＜5时，当x=52时有最大值为458；
∴函数的最大值为458；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n=185，
∴185＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；
将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝2，
将点（2，2）代入y=−12x2+n2x+n2中，
∴n=83，
∴2≤n＜83时图象与线段AB只有一个交点；
综上所述：185＜n＜4，2≤n＜83时，图象与线段AB只有一个交点；
（3）n＞0时，n＞n2，函数图象如图实线所示．
①如图1中，当点A的纵坐标为4时，
则有−n28+n24+n2=n28+n2=4时，解得n＝4或n＝﹣8（舍去），
观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．
②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
n＜0时，n＜n2，函数图象如图中实线．
③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
则有：−n24+n22+n＝4时，
解得n＝﹣2﹣25或n＝﹣2+25（舍弃）
④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．
综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣25或n＝4或n≥8．
14．（2020•宿州模拟）对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥−6726时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
【分析】①根据二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m，可进行变形，得到y═（x2+5x+4）m+3x，只要令x2+5x+4＝0，则所得的x的值就与m无关，从而可以解答本题；
②将m＝﹣1代入函数解析式，然后分别令x＝0和y＝0求出相应的y值和x的值，即可解答本题；
③根据抛物线的解析式可以求得对称轴，然后根据m＜0，可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，然后令对称轴的值等于−6726，求得m的值然后看m的值是否小于0，即可解答本题．
【解析】①是真命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x，
∴当x2+5x+4＝0时，得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝﹣4时，y＝﹣12；
∴二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m＝﹣1时，则函数为y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∵当y＝0时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当x＝0时，y＝﹣4；
∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m，
∴对称轴x=−b2a=−5m+32m=−52−32m，
∵m＜0，x≥−6726时，函数y随x的增大而减小，
∴−52−32m≤−6726，得m≥392，
∵m＜0与m≥392矛盾，
故③为假命题．
15．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ √ ）；
②y=mx（m≠0）（ √ ）；
③y＝3x﹣1（ × ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
【分析】（1）根据“H函数”的定义判断即可．
（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
（3）设“H“点为（p，q）和（﹣p，﹣q），代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp＝q，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入（2c+b﹣a）（2x+b+3a）＜0，求出ca的取值，设函数与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），t=ca，利用根与系数的关系得到|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2=2(t−12)2+34，再利用二次函数的性质即可求解．
【解析】（1）①y＝2x是“H函数”．②y=mx（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．
故答案为：√，√，×．
（2）∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得a+b+c=4a−b+c=−4，
∴b=4a+c=0，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴−b2a＞2，
∴−42a＞2，
∴﹣1＜a＜0，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，
综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．
（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），
代入得到ap2+2bp+3c=qap2−2bp+3c=−q，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2＞0，
∴a，c异号，
∴ac＜0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，
∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，
∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，
∴c2a2＜4，
∴﹣2＜ca＜2，
设t=ca，则﹣2＜t＜0，
设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2
=(−2ba)2−4⋅3ca
=4(a+c)2a2−12ca
=4[1+2ca+(ca)2−3ca]
＝21+2t+t2−3t
＝2(t−12)2+34，
∵﹣2＜t＜0，
∴2＜|x1﹣x2|＜27．
16．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 4 ；
（2）函数F1为y=3x，当PQ＝6时，t的值为 1 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t=bb时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
【分析】（1）根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，求出P、Q两点坐标，即可得到PQ；
（2）根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，求出P、Q两点坐标，根据PQ＝6得出方程，解出t值即可；
（3）①根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，将x=bb代入解析式，求出P、Q两点坐标，从而得出△OPQ的面积；
②根据题意得出两个函数的解析式，再分当0＜c＜1时，当1≤c≤2时，当c＞2时，三种情况，分析两个函数的增减性，得出最值，相减即可．
【解析】（1）∵F1：y＝x+1，
F1和F2关于y轴对称，
∴F2：y＝﹣x+1，
分别令x＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，
∴P（2，3），Q（2，﹣1），
∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4；
（2）∵F1：y=3x，
可得：F2：y=−3x，
∵x＝t，可得：P（t，3t），Q（t，−3t），
∴PQ=3t−−3t=6t=6，
解得：t＝1，
经检验：t＝1是原方程的解，
故答案为：1；
（3）①∵F1：y＝ax2+bx+c，
∴F2：y＝ax2﹣bx+c，
∵t=bb，分别代入F1，F2，
可得：P（bb，ab+b+c），Q（bb，ab−b+c），
∴PQ＝|ab+b+c−(ab−b+c)|=2b，
∴S△OPQ=12×2b×bb=1；
②∵函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），
而函数F1和F2的图象关于y轴对称，
∴函数F1的图象经过A（5，0）和（﹣1，0），
∴设F1：y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
则F2：y＝ax2+4ax﹣5a，
∴F1的图象的对称轴是直线x＝2，且c＝﹣5a，
∴a=−c5，
∵c＞0，则a＜0，c+1＞1，
而F2的图象在x＞0时，y随x的增大而减小，
当0＜c＜1时，
F1的图象y随x的增大而增大，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣8ac﹣8a，
又∵a=−c5，
∴h=85c2+85c；
当1≤c≤2时，
F1的最大值为4a×(−5a)−(−4a)24a=−9a，F2的图象y随x的增大而减小，
∴F2的最小值为：a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝﹣9a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣4a＝﹣ac2﹣6ac﹣9a，
又∵a=−c5，
∴h=15c3+65c2+95c，
当c＞2时，
F1的图象y随x的增大而减小，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为ac2﹣4ac﹣5a，
当x＝c+1时，y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝ac2+4ac﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]，
又∵a=−c5，
∴h＝2c2+c；
综上：h关于x的解析式为：h=85c2+85c(0＜c＜1)15c3+65c2+95c(1≤c≤2)2c2+c(c＞2)．
【题组五】
17．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出y＝2时，x的值即可判断．
（3）由题意点B的坐标为（0，−12m2+4），求出几个特殊位置m的值即可判断．
【解析】（1）当m＝5时，y=−12（x﹣5）2+4，
当x＝1时，n=−12×42+4＝﹣4．
（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y=−12（x﹣m）2+4，得2=−12（1﹣m）2+4，
解得m＝3或﹣1（舍去），
∴此时抛物线的对称轴x＝3，
根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，
∴x的取值范围为1≤x≤5．
（3）∵点A与点C不重合，
∴m≠1，
∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），
∴抛物线的顶点在直线y＝4上，
当x＝0时，y=−12m2+4，
∴点B的坐标为（0，−12m2+4），
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，−12m2+4＝0，
解得m＝22或﹣22（不合题意舍去），
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
∴点B（0，4），
∴−12m2+4＝4，解得m＝0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜22．
18．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，−12m+5），则BC=52|m|，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．
【解析】（1）针对于直线y=−12x+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则−12x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB=52+102=55；
（2）设点C（m，−12m+5），
∵B（0，5），
∴BC=m2+(−12m+5−5)2=52|m|，
∵BC=5，
∴52|m|=5，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=−14b=52，
∴抛物线y=−14x2+52x；
（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入y=−12x+5中，得y=−12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴−110＜a＜0；
19．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【解析】（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．
②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=−12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（−34m，m），
∴P（−32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=−4ax，可得N（−a2，2），
∴P（8a−a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a−a2=±4，
解得，a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=−4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．
20．（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；
（2）m=−b2，n=4c−b24，得n＝2b﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2−b24+2b，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，得0≤b≤8，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值−b24+2b，当﹣5≤−b2＜−2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜−b2≤1时，函数有最大值25﹣3b；
当最大值1+3b时，1+3b+b24−2b＝16，b＝6；当最大值25﹣3b时，b＝2；
【解析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b；
（2）m=−b2，n=4c−b24，
∴n=8b−b24，
∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2−b24+2b，
对称轴为直线x=−b2，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤−b2＜0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值−b24+2b，
当﹣5≤−b2＜−2时，函数有最大值1+3b，
当﹣2＜−b2＜0时，函数有最大值25﹣3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b+b24−2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4＜b≤8，
∴b＝6；
当最大值25﹣3b时，25﹣3b+b24−2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵0＜b≤4，
∴b＝2；
综上所述b＝2或b＝6；
【题组六】
21．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜−52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2=c2−2c+6c，点P的坐标为（−x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．
【分析】（1）根据题意，把a＝c，b＝﹣3，点（1，﹣1），代入解析式，即可求出解析式；
（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质，得到b2﹣4ac＝4a，结合根与系数的关系，得到4a=c2−2c+6c，然后证明△OAP∽△OPB，得到OAOP=OPOB，然后得到x0=ca−1，利用二次函数的性质即可得到答案．
【解析】（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，
∵函数过点（1，﹣1），
∴a﹣3+a＝﹣1，
∴a＝c＝1，
∴y＝x2﹣3x+1；
（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．
∴△＝b2﹣4ac＝4，
∴4ac＝b2﹣4，
在函数y1=ax2+(b+1)x+c中，△1=(b+1)2−4ac=(b+1)2−(b2−4)=2b+5，
∵b＜−52，
∴2b+5＜0，
即函数图象与x轴没有交点；
（3）因为函数顶点在直线l上，则有4ac−b24a=−1，
即b2﹣4ac＝4a①，
∵AB2=c2−2c+6c，
∴(x2−x1)2=c2−2c+6c，
即(x1+x2)2−4x1x2=c2−2c+6c，
∴b2−4aca2=c2−2c+6c，
由①得：4a=c2−2c+6c②，
∵∠OAP＝∠DAB，∠OPB＝∠DAB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，
∴∠OBP＝∠OPA，
则△OAP∽△OPB．
∴OAOP=OPOB，
∴OA•OB＝OP2，
∴x1x2=(−x0)2+(−1)2．
∴ca=x0+1，
∴x0=ca−1．
由②得：x0=c2−2c+64−1，
∴x0=14(c−1)2+14，
∴当c＝1时，(x0)min=14．
22．（2020•泉州模拟）二次函数y＝x2+px+q的顶点M是直线y=−12x和直线y＝x+m的交点．
（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；
（2）①当x≥2时，y＝x2+px+q的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；
②若m＝6，且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围．
（3）试证明：无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．
【分析】（1）已知直线y=−12x和直线y＝x+m，列出方程求出x，y，即可求出点M的坐标；
（2）①根据题意得出−2m3≤2，解不等式求出m的取值；
②当t﹣1≤﹣4时，当﹣4≤t+3时，二次函数y最小值＝2，解不等式组即可求得t的取值范围；
（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断．
【解析】（1）由题意得y=−12x，y=x+m，解得x=−2m3，y=m3，
∴M(−2m3，m3)；
（2）①根据题意得−2m3≤2，解得m≥﹣3，
∴m的取值范围为m≥﹣3；
②当m＝6时，顶点为M（﹣4，2），
∴抛物线为y＝（x+4）2+2，函数的最小值为2，
∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，
∴t−1≤−4，t+3≥−4，
解得﹣7≤t≤﹣3；
（3）y=x2+px+qy=x+m，
得x2+（p﹣1）x+q﹣m＝0，
△＝（p﹣1）2﹣4（q﹣m）＝p2﹣2p+1﹣4q+4m，
∵抛物线的顶点坐标既可以表示为M(−2m3，m3)，又可以表示为M(−p2，4q−p24)．
∴p=43m，4q=43m+p2，
∴△=p2−2p+1−(43m+p2)+4m=−2p+1−43m+4m，
△=−2p+1−43m+4m=−2(43m)+1−43m+4m=1，
∴△＞0，
∴无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．
23．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数图象的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．
【解析】（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+4，
又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4，
把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2．
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴x=±4−m2，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝24−m2，
∴W＝OA2+BC2=m2+4×4−m2=m2−2m+8=(m−1)2+7
∴当m＝1时，W取得最小值7．
24．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：
y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．
【分析】（1）结合题意，利用配方法解决问题即可．
（2）求出两个抛物线的顶点坐标，根据A，C，D三点在同一条直线上，构建方程求解即可．
（3）求出两种特殊情形a的值，结合图象判断即可解决问题．
【解析】（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴y＝x2﹣6x+5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
（2）如图1中，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F．
由题意抛物线C1为y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x−m−12）2+m2+2m+14，
∴C（m−12，m2+2m+14），
抛物线C2为y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x−3+m2）2+m2−6m+94，
∴D（3+m2，m2−6m+94），
∵A，C，D共线，CE∥DF，
∴CEAE=DFAF，
∴m2+2m+14m−12+1=m2−6m+943+m2+1，
解得m=13，
经检验，m=13 是分式方程的解，
∴m=13．
（3）如图2﹣1，当a＞0时，
设抛物线的解析式为y＝a（（x+1）（x﹣3），
当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，
∴a=35，
观察图象可知当a≥35时，满足条件．
如图2﹣2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），
把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a=−34，
观察图象可知当a≤−34时，满足条件，
综上所述，满足条件的a的范围为：a≥35或a≤−34．
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