压轴专题16函数动点问题中三角形存在性答案解析

这是一份压轴专题16函数动点问题中三角形存在性答案解析，共38页。试卷主要包含了等腰三角形存在性问题，直角三角形存在性问题等内容，欢迎下载使用。

专题16 函数动点问题中三角形存在性
模型一、等腰三角形存在性问题
以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.
模型二、直角三角形存在性问题
以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”.

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－x+c经过点A(－1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4），
将点（0，－2）代入上式，得：a=，
即抛物线的解析式为：y=x2－x－2；
（2）由y=x2－x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC=2,
由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=x－2，
设P（m，m2－m－2），则Q(m，m－2)，
过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，
∴,即，
∴CQ=,
PQ=－m2+2m, PC==m，
①当CQ=PQ时，
=－m2+2m，解得：m=0（舍）或m=4－；
②当CQ=PC时，
= m，解得：m=0（舍）或m=2或m=4（舍）；
③当PQ=PC时，
－m2+2m= m，解得：m=0（舍）或m=；
综上所述，存在点P，使△CPQ是等腰三角形，点P的横坐标为：4－或2或.
2.如图，抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点B(3,0)，抛物线的对称轴为x=1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：由题意得：，解得：，
即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+3.
（2）在y=－x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即C(0,3),
由B(3,0)，C(0,3)得直线BC的解析式为：y=－x+3,
在y=－x2+2x+3中，当x=1时，y=4，
在y=－x+3中，当x=1时，y=2，
若将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），则2≤h≤4.
（3）①当P在x轴上方时，
过点P作PD⊥l于M，PN⊥x轴于N，由△PBQ为等腰直角三角形可知，△PBN≌△PQM，

则PN=MQ，
设P（m，y），则PN=PM=y，而PM=m+3，
∴y=m+3，
－m2+2m+3= m+3，解得：m=0或m=1，
即P(0,3)或（1,4）；
②当P点在x轴下方时，同理可得：
－m2+2m+3=－m－3，解得：m=或m=，
即P(，)或(，)，
综上所述，△PBQ能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：(0,3)或（1,4）或(，)或(，).
3.如图，已知抛物线经过点A(－1,0)，B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x－4），
将点C(0,2)代入上式得：a=，
即抛物线的解析式为：y=（x+1）（x－4）=x2+x+2.
（2）存在；由题意知，∠QMB≠90°，分两种情况讨论：
①当∠MQB=90°时，此时点Q与点P重合于点A，即Q(－1,0)；
②当∠QBM=90°时，△BPQ∽△MPB，
∴BP2=PM·PQ，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(－2,0)，
由B(4,0)，D(0, －2)得直线BD的解析式为:y=x－2，
设P（m，0），则M(m，m－2)，Q(m，m2+m+2)，
∴BP=4－m，PM=2－m，PQ=m2+m+2，
∴（4－m）2=（2－m）（m2+m+2），
解得：m=3或m=4（舍），
即Q(3，2);
综上所述，点Q的坐标为：(－1,0)，(3，2).
4.如图,顶点为(2,－1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交y轴于点C(0,3),交x轴于A,B两点,直线l过AC两点,点P是位于直线l下方抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴,交直线l于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，－1），
即抛物线解析式可表示为：，
将C(0,3)代入上式得：a=1，
即抛物线的解析式为：=.
（2）由，得当y=0时，x=1或x=3，
即B(1,0)，A(3,0),
由A(3,0), C(0,3)可得直线AC的解析式为：y=－x+3，
设Q（m，－m+3），则P(m，), 0 ∴PQ=－m+3－（）
=－
=，
当m=时，PQ的长取最大值，此时点P(，).
（3）存在，设G（2，n），
由B(1,0)，C(0,3)得：
，BG2=1+n2，CG2=4+（n－3）2，
①当点C为直角顶点时，由勾股定理得：
1+n2=4+（n－3）2+10，解得：n=，即G(2, )；
②当点B为直角顶点时，由勾股定理得：
1+n2=4+（n－3）2－10，解得：n=，即G(2, )；
③当点G为直角顶点时，由勾股定理得：
1+n2=10－4－（n－3）2，解得：n=1或n=2，即G(2, 1)或（2,2）；
综上所述，点G的坐标为：(2, )，(2, )，(2, 1)，（2,2）.

5.已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）将（0，4），（4,0）代入y=ax2﹣2ax+c，得：
，解得：
∴抛物线的解析式为：y=x2+x+4．
（2）过点E作EG⊥x轴于点G，设点Q的坐标为（m，0），

在y=x2+x+4中，当y=0时，得x1=﹣2，x2=4
∴点B（﹣2，0），
∴AB=6，BQ=m+2
∵QE∥AC
∴,
∵EG∥OC，
∴
∴
即，
∴EG=，
∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ
=BQ•CO﹣BQ•EG
=（m+2）（4﹣）
=﹣（m﹣1）2+3
∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）．
（3）存在．分三种情况讨论：
①若DO=DF
由A（4，0），D（2，0）得：AD=OD=DF=2
在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，∠DFA=∠OAC=45°
∴∠ADF=90°，
∴点F的坐标为（2，2），
由x2+x+4=2，得x1=1+，x2=1﹣，
即点P的坐标为：P（1+，2），P（1﹣，2）．
②若FO=FD，
则F在线段OD的垂直平分线上，即F点横坐标为1，
∴F（1，3），
由x2+x+4=3，得x1=1+，x2=1﹣，
即点P的坐标为：P（1+，3），P（1﹣，3）．
③若OD=OF，
由勾股定理得：AC=，
∴点O到AC的距离为，
由垂线段最短可知，OF≥>OD，故此种情况不存在；
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，点P的坐标为：（1+，2），P（1﹣，2），P（1+，3），（1﹣，3）．
6.如图所示，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A(,0)，在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B、O、C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2所示，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y=x过点B（2，t），
∴t=2，即B（2,2），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得：
，
解得：a=2，b=－3，
∴抛物线的解析式为：y=2x2－3x；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于F，如图所示，

设C（t，2t2－3t），则E(t，0)，D（t，t），点C在第四象限，
∴OE=t，BF=2－t，CD=t－（2t2－3t）=－2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB
=·CD（OE+BF）
=（－2t2+4t）（t+2－t）
=－2t2+4t，
∴－2t2+4t=2，解得：t=1，
∴C(1，－1).
（3）存在. 如图，连接AB、OM，设BM与y轴交于点N，

由B(2,2)，知∠AOB=∠NOB=45°，
∵OB=OB，∠ABO=∠MBO,
∴△AOB≌△NOB，
∴ON=OA=，即N（0，），
设直线BM的解析式为：y=kx+，
将B（2,2）代入得：k=，
即直线BM的解析式为：y=x+，
联立y=x+，y=2x2－3x，解得：
x=2，y=2（点B）或x=，y=，
即M（，），
∵△POC∽△MOB，
∴==2，∠POC=∠BOM，
①当点P在第一象限时，过M作MG⊥y轴于G，过P作PH⊥x轴于H，如图，

∵∠CAO=∠BOG=45°，∠BOM=∠BOC，
∴∠GOM=∠POH，
∵∠PHO=∠MGO=90°，
∴△MOG∽△POH，
∴=2，
由M（，）得：MG=，OG=，
∴PH=，OH=，
即P（，）；
②当点P在第三象限时，过M作MG⊥y轴于G，过P作PH⊥y轴于H，

同理得：PH=，OH=，
即P(－，－)，
综上所述，满足条件的点P的坐标为：(－，－)，（，）.
7.如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；
②在S最大的情况下，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）在Rt△AOC中，由勾股定理可得，OC=6，
∴C（6，0），
将A（0，8）、C（6，0）两点坐标代入y=x2+bx+c，得：
c=8，×36+6b+c=0，
解得：b=，c=8，
∴抛物线的解析式为：y=x2+x+8；
（2）①过点Q作QE⊥BC于点E，

可得：AQ∥AB，
∴，
即，
∴QE=（10﹣m）=6－m，
∴S=·CP·QE
=m（6－m）
=（m－5）2+，
当m=5时，S取最大值；
②抛物线y=x2+x+8的对称轴为x=，
可得：D（3，8），Q（3，4），
由图可知，
（i）当∠FDQ=90°时，F1（，8），
（ii）当∠FQD=90°时，F2（，4），
（iii）当∠DFQ=90°时，设F（，n），
由勾股定理得：FD2+FQ2=DQ2，
即，
解得，n=或n=，
∴F3（，），F4（，），
综上所述，点F坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，），F4（，）.
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴1－b+c=0， 16+4b+c=5，
解得：b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+m，
∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，EF的最大值为，
此时点E的坐标为（，）；
（3）①由y＝x2－2x－3=（x－1）2－4，得：D(1,4),

由（2）知点F的坐标（，），
S四边形EBFD＝S△BEF+S△DEF
＝××（4﹣1）
＝；
②ⅰ）当E为直角顶点时，
设点P（m，m2﹣2m﹣3）
则：m2﹣2m﹣3＝，
解得：m1＝1+，m2＝1﹣，
∴P1（1﹣，），P2（1+，），
ⅱ）当F为直角顶点时，
设P（n，n2﹣2n﹣3）
则：n2﹣2n﹣3＝，
解得：n1＝，n2＝（与点F重合，舍去），
∴P3（，），
综上所述：所有点P的坐标为：（1﹣，），（1+，），（，）．
9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
∴A（5，0），B（0，10），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)，
∴c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，
∴a=，b=，c=0
抛物线解析式为：y=x2x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）存在，
由y=x2x，得抛物线的对称轴为x=，
由（1）知：AB2=125，
设点M（，m），
①若BM=BA时，
则（）2+（m﹣10）2=125，
∴m1=，m2=，
即M1（，），M2（，）；
②若AM=AB时，
∴（）2+m2=125，
∴m3=，m4=﹣，
∴M3（，），M4（，）；
③若MA=MB时，
∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，
∴m=5，
∴M（，5），此时点M是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
综上所述，点M的坐标为：（，），M2（，），（，），M4（，）.
10.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

图1 图2
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，若点G与点B关于抛物线对称轴对称，直线BG与y轴交于点M，点N是线段BG上的一动点，连接NF，MF，当∠NFO＝3∠BNF时，连接CN，将直线BO绕点O旋转，记旋转中的直线BO为B′O，直线B′O与直线CN交于点Q，当△OCQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝中，当y＝0，解得：x1＝，x2＝，
∴A（，0），C（，0）
当x＝1时，y＝2
即B（1，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b
得：，
解得，
直线BC的解析式为y＝x+.
（2）由题意知：M（0，2）
∵∠NFO＝3∠BNF
∴∠FBN＝2∠BNF
作∠FBN的角平分线交x轴于点E，则∠OBE＝∠EBG＝∠OEB＝∠BNF
过点B作BJ⊥x轴于J，过点F作FD⊥MN，

则J（1，0），
由勾股定理得：OB＝3，
∴OE＝3，EJ＝2，BJ＝OM=2，
∴tan∠BEJ＝tan∠BNF=，
由FD＝，得ND＝1，
∴N（，2），tan∠NCO＝，

①当OQ1=CQ1时，此时Q在OC的垂直平分线上，
∵OC＝
∴点Q1的横坐标为：，
由tan∠NCO＝，得纵坐标为：，
∴Q1（，）；
②当OQ2＝OC时，过点Q2作Q2P⊥OC于P，
OQ2＝,
设PC＝x，则Q2P＝x，OP＝﹣x,
由勾股定理解得：
解得：x=或x=0（舍），
∴Q2（，）；
③当OC＝CQ3时，过点Q3作Q3K⊥OC于K，
CQ3＝，CK＝，Q3K＝，
∴Q3（﹣，）
同理，得当Q在NC延长线上时，得Q点坐标为（+，﹣）；
综上所述：点Q的坐标为（，），（，），（﹣，），（+，﹣）．
11.在平面直角坐标系中，抛物线y=，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当△BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=过点A（1，3）、B（0，1），
∴，解得：，
即抛物线的表达式为：y=，
y=
=，
∴顶点坐标为：；
（2）设N（1，n）
∵B（0，1）、C（4，3）
∴BN2＝12+（n﹣1）2＝n2﹣2n+2，
CN2＝32+（n﹣3）2＝n2﹣6n+18，
BC2＝42+22＝20
①当∠BNC＝90°时，BN2+CN2＝BC2，
即（n2﹣2n+2）+（n2﹣6n+18）＝20
解得：n1＝0，n2＝4，即N(1,0)，（1,4）；
②当∠CBN＝90°时，BN2+BC2＝CN2，
即（n2﹣2n+2）+20＝n2﹣6n+18
解得：n＝﹣1，即N(1,－1);
③当∠BCN＝90°时，BC2+CN2＝BN2，
即20+n2﹣6n+18＝n2﹣2n+2
解得：n＝9，即N(1,9);
综上所述，N点的坐标为：（1，0），（1，4），（1，﹣1），（1，9）.
12.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：∵直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），
∴m=6，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．
（2）设点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）
=﹣2（n﹣）2+，
∴当n=时，线段PC有最大值，为．
（3）若△PAC为直角三角形，
①当∠APC=90°时，
由题意知，PC∥y轴，∠APC=45°，这种情况不存在；
②当∠PAC=90°时，
由题意知，∠APC=45°，即△APC为等腰直角三角形，
∴设P(m，m+2)，则C（m，2m2﹣8m+6），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：
m+2－= [m+2－（2m2﹣8m+6）]，
解得：m=（舍）或m=3，
此时P(3,5)；
③当∠ACP=90°时，
则C点纵坐标为，由对称性，知C(,),
∴P（，）．
综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
13.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=，
∴CE=BE•tan∠ABO
=6×
=3，
∴C（﹣2，3），
∴m=﹣2×3=﹣6，
即反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0），
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，
∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2，
∵S△BAF=AF•OB
=（2+）×4
=4+．
S△DFO=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+=4×3，
解得：n=，
经验证，n=是分式方程的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
14.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝−x＋2的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝对称，且经过B, C两点，与x轴交于另一点为A.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线BC上方的抛物线上的一点,过点P作PQ⊥x轴于M，交BC于Q，求PQ的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上找出使△BDC为直角三角形的点D,直接写出点D的坐标.
【答案】见解析．
【解析】解：（1）在y＝−x＋2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=4，
即C(0,2)，B(4,0)，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝对称，
∴A(－1,0),
将A(－1,0), C(0,2)，B(4,0)代入y＝ax2＋bx＋c得：
，解得：
即抛物线的解析式为：；
（2）设点P(x, )，则Q(x, −x＋2)，（0 ∴PQ=－（−x＋2）
=
=，
∴当x=2时，PQ有最大值，最大值为2；
（3）存在，
设D(，m)，由C(0,2)，B(4,0)得：
BC2=20，CD2=+（m－2）2，BD2=+m2，
①当点C为直角顶点时，
BD2= CD2+ BC2
+m2=+（m－2）2+20，解得：m=5，
即D(，5)，
②当点B为直角顶点时，
同理可得：+（m－2）2=+m2+20，解得：m=－5，
即D(，－5)，
③当点D为直角顶点时，
同理可得：+m2++（m－2）2=20，解得：m=或m=，
即D(，)，D(，)，
综上所述，点D的坐标为：(，5)，(，－5)，(，)，(，).
15.在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(－1,0)，C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线与点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A(－1,0)，C(0,3)代入y=－x2+bx+c得：
，解得：，
即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+3；
（2）在y=－x2+2x+3中，当y=0时，x=－1或x=3，
即B(3,0),
设直线BC的解析式为：y=kx+n，
有：，解得：，
直线BC的解析式为：y=－x+3，
设D(m，－m2+2m+3)，则P(m，－m+3)，DP=－m2+3m，0 ①当CD=CP时，即C在线段DP的垂直平分线上，
则3=，解得：m=0（舍）或m=1，
即P（1,2）；
②当CD=DP时，－m2+2m+3=3,
解得：m=0（舍）或m=2
即P（2,1）；
③当DP=CP时，
=，解得：m=0（舍）m=，
即P(，);
综上所述，点P的坐标为：（1,2），（2,1），(，).
16.如图，抛物线y=x2－2mx（m>0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，－m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m>1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值.
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以点P为顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）若m=2，则抛物线解析式为：y=x2－4x，
抛物线的对称轴为：x=2，
令y=0，得x=0或x=4，即A(4,0)，
∵点P(1,－2)，且BP⊥x轴，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，
∴B(1,－3)，C(3,－3).
（2）抛物线y=x2－2mx的对称轴为：x=m，A(2m，0),
则P(1,－m)，B(1,1－2m)，
由点B关于抛物线对称轴的对称点为C，得：C(2m－1,1－2m)，
由勾股定理得：
PA2=(2m－1)2+m2=5m2－4m+1，PC2=(2m－2)2+(m－1)2=5m2－10m+5，
AC2=1+(2m－1)2=4m2－4m+2，
①当点C为直角顶点时，5m2－4m+1=5m2－10m+5+4m2－4m+2，解得：m=或m=1（舍）
②当点P为直角顶点时，4m2－4m+2=5m2－10m+5+5m2－4m+1，解得：m=（舍）或m=1（舍）；
③当点A为直角顶点时，5m2－10m+5=4m2－4m+2+5m2－4m+1，解得：m=（舍）或m=－1（舍）；
综上所述，m=.
（3）存在；
由点P（1，－m），m>0，知点P在x轴下方，连接BC，如图所示，

则BC=|2m－2|，PM=m，PB=|m－1|，
①当点E在x轴上时，可证得：△PME≌△CBP，
即MP=BC，ME=PB，
∴m=|2m－2|，解得：m=2或m=，
∴ME=1或，OE=2或，即E(2,0)或（，0）；
②当点E在y轴上时，过P作PN⊥y轴于N，
同理可得：|m－1|=1，NE=BC=|2m－2|，
解得：m=2或m=0（舍），
∴NE=2，OE=4，即E(0，－4),
综上所述，点E的坐标为：(2,0)或（，0）或(0，－4).
17.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4），矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD，AB分别在x轴，y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②当t=1时，射线AB上存在点Q，使△QME为直角三角形，请直接写出点Q的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+4，
把（0，0）代入解析式得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+4，即：y=﹣x2+4x．
（2）存在．
①由题意得：点P的坐标为（t，t），点N的坐标为（t，﹣t2+4t），
∴PN=﹣t2+3t，
当PN=0，即t=0或t=3时， P、N、C、D所构成的多边形为三角形，
此时S=3，
当PN≠0时，

∵PN∥CD，AD⊥DC，
∴S=（CD+PN）•AD
= [3+（﹣t2+3t）]×2，
=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，S最大=＞3，
∴以点P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值，这个最大值为：；
②过点M作MG⊥AB于点G，作MH⊥x轴于点H，

由M（2，4），E（4，0）得：EH=2，MH=4，MG=1，
设点Q的坐标为（1，m），
（i）若∠Q1ME=90°，则△MGQ1∽△MHE，
∴MG：GQ1=MH：EH，
即1：GQ1=4：2，
解得：GQ1=，
∴m=，
∴点Q1的坐标为（1，）；
（ii）若∠MQE=90°，则△MGQ2∽△Q2AE，
∴MG：GQ2=AQ2：AE，
∴1：（4﹣m）=m：3，
解得：m=1或m=3，
∴点Q2的坐标为（1，1）或（1，3）；
（iii）若∠QEM=90°，则点Q在BA的延长线上，不符合题意．
综上所述，点Q的坐标为：（1，），（1，1），（1，3）．