专题05 中考图形旋转问题-2022年中考数学专题拓展提高讲练

1.考点解析

旋转问题在近几年中考、竞赛试题中频频出现,这使得数学试题解题方法和技巧更加灵活多变。旋转变换是几何变换中基本变换，由于旋转变换只改变图形的位置,而不改变其形状大小, 这使得原来分散的已知条件和结论，通过旋转变换几何图形重新组合,产生新图形, 进而揭示条件与结论之间内在的联系,找出解题的途径。

2.考点分类：考点分类见下表

1.旋转变换三要素有①___旋转中心______②____旋转角_________③_____旋转方向________ 

 2.旋转的性质：① 旋转前后的图形__形状大小不变_____；② 对应点到旋转中心的距离 __相等____；③ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于___旋转角____；  

3.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__对称中心____,而且被___平分_________；关于中心对称的两个图形是___全等的___ 

4.中心对称图形：一个图形绕着定点___旋转180°_____后与__原图形__重合，这个图形成为中心对 称图形。这个定点叫做该图形的___对称中心_________。过该点的直线__平分_____该图形的面积。

一、中考题型解析

中考图形旋转问题在近几年的中考中出现的频率还是非常高的，一般以填空题或者解答题的形式出现，一般以角度的计算，或者求线段长度的问题为主，占4-6分左右，此类题目难度简单，在后面的解答题目的小问中也有可能出现，一般与中心对称图形一起出现的比较多，占分8分左右，难度中等，需要学生对旋转图形前后的变化有充分的认识与理解。       学￥#科网

二、典例精析

★考点一：旋转后求角的度数

◆典例一：如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【    】

A．110°     B．80°     C．40°      D．30°

【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。

【总结】抓住旋转以后的旋转角相等，再根据三角形内角和180得出相应的数量关系

◆典例二：如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若

∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是【    】

A.25°              B.30°                 C.35°                  D. 40°

【考点】旋转的性质。

【解析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案：

∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，

∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，

∴∠AOB′=∠A′OA－∠A′OB=45°－15°=30°。故选B。

◆典例三：如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达

A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是【    】

A．60° 　　B．72°　　 C．108°　　 D．120°

【考点】旋转的性质，多边形内角和定理。

★考点二：旋转与坐标转换

◆典例一：平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为【    】

  A.(1，)             B.( －1，)          C.(0，2)          D.(2，0)

【考点】坐标与图形的旋转变换，勾股定理，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。

【解析】如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，

∵点A的坐标为（，1），∴AC=1，OC=。

∴OA=。∴∠AOC=30°。

∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，

∴∠AOB=30°，OA=OB。∴∠BOD=30°。

∴Rt△OAC≌Rt△OBD（AAS）。

∴DB=AC=1，OD=OC=。∴B点坐标为（1，）。故选A。

【总结】解决旋转坐标问题，第一先在平面直角坐标系中画出旋转前后的图形，然后抓住特殊的旋转角度构造出直角三角形，利用直角三角形的定理，或者勾股定理来求出相关的线段长度，最终得出点坐标。

◆典例二：如图，A(，1)，B(1，)．将△AOB绕点O旋转l500得到△A′OB′，，则此时点A的对应点A′的坐标为【    】．

A．(－，－l)    B．(－2，0)   C．(－l，－)或（－2，0)   D．(－，－1)或(－2，0)

【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。

[来源:Z.xx.k.Com]

★考点三：网格中的图形旋转问题

◆典例一：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．

（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1；

（2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留π）

（3）求∠BCC1的正切值．

【考点】网格问题，旋转变换作图，勾股定理，扇形面积，锐角三角函数的定义。

【答案】解：（1）画图如下：

（2）由勾股定理得，，

                 线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，为圆心角的扇形，

　　　　　　     ∴。

                 答：线段OA在旋转过程中扫过的图形面积为．

　         （3）在Rt中，。      

 答：∠BCC1的正切值是。

◆典例二：如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为【    】

[来源:学科网]

（A） （B） （C）7 （D）6

【考点】旋转的性质，弧长的计算。

【解析】根据图示知，∠BAB′=45°，∴的长为：。故选A。  学@#科网

★考点四：旋转与等边三角形

◆典例一：如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【    】

A．①②③⑤    B．①②③④    C．①②③④⑤    D．①②③

【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。

点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的

直角三角形。

则。

故结论⑤正确。

综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。

[来源:Zxxk.Com]

◆典例二：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　 ▲ 　．

【考点】等边三角形的性质，旋转的性质。

【解析】由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC= AB =2。由旋转的性质，即可求得CE=BD=2。

★考点五：旋转过程中的路径问题

◆典例一：如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为

　 ▲ 　（结果用含有π的式子表示）

◆典例二：如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是　 ▲ 　cm．（结果保留π）

【考点】正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算。  学#2科网[来源:学#科#网Z#X#X#K]

★考点六：旋转过程中的面积问题

◆典例一：如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积为    ▲   

【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质可知AD=AD′，设AD=AD′=BE=x，则DE=10-2x，根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面积：

 在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，由勾股定理求AB=。

由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10-2x。

∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°。

∴△A′DE∽△ACB，∴，即，解得x=3。

∴S△A′DE=DE×A′D=×（10-2×3）×3=6。

◆典例二：如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【    】

 A．π        B．      C．     D．

【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。

【解析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：

1. 如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是【    】

A．B．C．D．

【考点】旋转问题的函数图象，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。

2. 正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为   ▲   度 ．

【考点】旋转对称图形，正方形的性质。

【解析】∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，

∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4=90°。

∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合。

∴这个角度至少是90°。

3. 把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为

    ▲    ．

【考点】二次函数图象与几何变换，旋转的性质。

【解析】∵二次函数y=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），

∴绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）。

∴旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2。  学#@科网

4. 两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，△CDE旋转了    ▲    度，线段CE旋转过程中扫过的面积为    ▲    ．

【考点】旋转的性质，含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

5. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=

     ▲     .

【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定，三角形中位线的判定和性质。

【解析】∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5。

∴△BCC′是等边三角形。∴CC′=5。

∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC。∴DC′是△ABC的中位线。

∴DC′=BC=。

6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩形OEFG[来源:学科网ZXXK]

绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A．若经过点A的反比例

函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为     ▲     .

7. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　  ▲  　．

【考点】坐标与图形的旋转变化。

8.如图，在平面直角坐标系中，点A 在x上，△ABO是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，则过A1, B两点的直线解析式为    ▲    。

【考点】勾股定理，旋转的性质， 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。  学￥%科网

【解析】设A（a，0），

∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5。

∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5。即A（－5，0）。

∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）。