中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第32讲 图形的旋转（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第32讲 图形的旋转（解析版）学案，共21页。学案主要包含了旋转，中心对称，中心对称与轴对称的区别与联系等内容，欢迎下载使用。

 中考数学一轮复习讲义
考点三十二：图形的旋转
聚焦考点☆温习理解
一、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。学科%网
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
三、中心对称与轴对称的区别与联系：
1.中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
2.中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
四、中心对称与中心对称图形区别与联系.
1.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
2.中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．

名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别中心对称图形
【例1】(2019•黑龙江)下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、是中心对称图形，本选项正确；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选C．
【名师点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
【举一反三】
1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
详解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D既不是轴对称图形又不是中心对称图形．
故选B．
点睛：本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(   )
A. B. C. D.
【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：轴对称图形：沿着一条线折叠能够完全重合的图形；中心对称图形：绕着某一点旋转180°能够与自身重合的图形；根据定义逐个判断即可。
详解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D
点睛：本题考查了中心对称图形的定义：一个图形若绕某一点旋转180度后仍然和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形．也考查了轴对称图形的定义．
考点典例二、旋转的性质应用
【例2】(2019•海南省•4分)如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°＜β＜90°)得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　　．

【分析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．
【解答】解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，
∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，
∴∠BAC+α+β＝90°
∴∠EAF＝90°
∴EF＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
【举一反三】
1. 小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 无数个
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】C

【点睛】本题考查了图形的平移、轴对称图形等知识，熟练掌握正方形的结构特征是解本题的关键.
2. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是(　　)

A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】C

点睛：此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
考点典例三、与旋转有关的作图
【例3】(2019•黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O(0，0)、A(4，1)、B(4，4)均在格点上．
(1)画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；
(2)画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积(结果保留π)．

【解析】(1)如下图所示，点A1的坐标是(–4，1)；
(2)如下图所示，点A2的坐标是(1，–4)；
(3)∵点A(4，1)，∴OA=，
∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：=．

【名师点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【举一反三】
(2018黑龙江齐齐哈尔中考模拟)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于轴的对称图形；
(2)画出将绕原点逆时针方向旋转得到的；
(3)求(2)中线段扫过的图形面积．
【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)线段OA扫过的图形面积为π．
【解析】

考点：1.作图﹣旋转变换；2.扇形面积的计算；3.作图﹣轴对称变换．
课时作业☆能力提升
1. 观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题
【答案】D

【点睛】本题考查了中心对称图形，熟知“在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形”是解题的关键.
2. 【2019·河南】如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(–3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为

A．(10，3) B．(–3，10)
C．(10，–3) D．(3，–10)
【答案】D
【解析】∵A(–3，4)，B(3，4)，∴AB=3+3=6，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=6，∴D(–3，10)，
∵70=4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为(3，–10)．
故选D．
3. (2018甘肃兰州中考模拟)如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则( )

A. B. C. D.
【答案】AA
【解析】
试题解析：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．

∵∠DG′F′=∠IGR=90°，
∴∠DG′I=∠RG′F′，
在△G′ID和△G′RF中，

∴△G′ID≌△G′RF，
∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，
∴点F在线段BC上，
在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，
∴E′H=E′F′=1，F′H=，
易证△RG′F′≌△HF′E′，
∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，
∴CH=RF′=E′H，
∴CE′=，
∵RG′=HF′=，
∴CG′=RG′=，
∴CE′+CG′=+．
故选A．
考点：旋转的性质；正方形的性质．
4. (2018•宜宾模拟)将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于　　，数字2012对应的点将与△ABC的顶点　 　重合．

【答案】﹣3，C.
表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴﹣4﹣(2x+1)=2x+1﹣(x﹣3)；
∴﹣3x=9，
x=﹣3．
故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，
点B表示的数为：2x+1=2×(﹣3)+1=﹣5，
即等边三角形ABC边长为1，
数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，
∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，
∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．
故答案为：﹣3，C．
点睛：此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中，渗透“数形结合思想”、“方程思想”等，也是一道较优秀的操作活动型问题，难度程度﹣﹣中．
5. (2017江苏盐城第15题)如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为 ．

【答案】
【解析】
试题解析：如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，

观察图象可知，旋转角为90°(逆时针旋转)时B运动的路径长最短，PB=，
∴B运动的最短路径长为=.学科+网
考点：旋转的性质．
6. (2018湖北黄冈中考模拟)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是　 　．

【答案】60°.
【解析】
试题解析：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=45°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=45°+15°=60°.
考点：旋转的性质．
7. (2018浙江温州中考模拟) 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________

【答案】(5，)；.
【解析】
试题解析：如图，作B3E⊥x轴于E，

易知OE=5，B3E=，
∴B3(5，)，
观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：
，
∵2017÷3=672…1，
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为：
672•(．
考点：点的坐标.
8. 【2019年海南省海口四中、十四中联考中考数学二模试卷】如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为_______________．

【答案】40°
【解析】∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∴∠CAC′=180°–70°–70°=40°，∴旋转角的度数为40°．故答案为：40°．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ(a，θ)变换．
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ(1，180°)变换后所得的图形．
若△ABC经γ(1，180°)变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ(2，180°)变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ(3，180°)变换后得△A3B3C3，依此类推……
△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ(n，180°)变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是__，点A2018的坐标是　．

【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷
【答案】(﹣，﹣)，(﹣，)．

详解：根据图形的γ(a，θ)变换的定义可知：
对图形γ(n，180°)变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
△ABC经γ(1，180°)变换后得△A1B1C1，A1 坐标(﹣，﹣)
△A1B1C1经γ(2，180°)变换后得△A2B2C2，A2坐标(﹣，)
△A2B2C2经γ(3，180°)变换后得△A3B3C3，A3坐标(﹣，﹣)
△A3B3C3经γ(3，180°)变换后得△A4B4C4，A4坐标(﹣，)

点睛：本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ(a，θ)变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究10. 如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．

【来源】【全国市级联考】江苏省苏州市2018届九年级中考数学模拟试题
【答案】．
【解析】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案为：．

点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题
11(2018湖南株洲中考模拟)如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ．

【答案】．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=，∵AD=，∴AE=4，DE=2，∴CE=﹣2，PE=4﹣，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×(﹣2)×(﹣3)=，故答案为：．

考点：旋转的性质；正方形的性质；综合题．
12. (2019，山西，3分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm.

【答案】
【解析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转可知：AD=AE，∠DAE=90°，∠CAE=∠BAD=15°
∴∠AED=45°；在△AEF中：∠AFD=∠AED+∠CAE=60°
在Rt△ADG中：AG=DG=
在Rt△AFG中：
∴
故答案为：

13.(2017辽宁大连第24题)如图，在中，，，点分别在上(点与点不重合)，且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点(点与点不重合)时，设.[来源:Zxxk.Com]
(1)求证：；
(2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
试题分析：(1)根据等角的余角相等即可证明；
(2)分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即时，过P作MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；
试题解析：(1)证明：如图1中，

∵∠EDE′=∠C=90°，∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠ADP=∠DEC．
(2)解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即时，过P作MN∥DC′，设∠B=α
∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，
∴PM=PQ•cosα=y，PN=×(3﹣x)，
∴(3﹣x)+y=x，∴，[来源:学科网]
当DC′交AB于Q时，即时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，

∴PN=DM，
∵DM=(3﹣x)，PN=PQ•sinα=y，
∴(3﹣x)=y，∴．
综上所述，
考点：旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形.
14. (2019•湖北十堰•10分)如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
(1)填空：∠CDE＝　　(用含α的代数式表示)；
(2)如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．

【分析】(1)由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；
(2)由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF＝，即可求解；
(3)分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．
【解答】解：(1)∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE
∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α
∴CD＝CE
∴∠CDE＝
故答案为：
(2)AE＝BE+CF
理由如下：如图，

∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°
∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE
∴DF＝EF＝
∵AE＝AD+DF+EF
∴AE＝BE+CF
(3)如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10
∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G，点B，点A四点共圆
∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG
∴∠AGC＝∠ECG＝45°
∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°
∴AG＝8
∵AC2＝AE2+CE2，
∴(5)2＝(8﹣CE)2+CE2，
∴CE＝7(不合题意舍去)，CE＝1
若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，
同理可得：CF＝7
∴点C到AG的距离为1或7．