专题02 新定义阅读型问题-年中考数学专题拓展提高讲练（教师版）

这是一份专题02 新定义阅读型问题-年中考数学专题拓展提高讲练（教师版），共8页。试卷主要包含了考点解析，考点分类，请根据上述定义解决问题， 我们定义等内容，欢迎下载使用。

1.考点解析
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.
2.考点分类：考点分类见下表
【方法点拨】 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.

一、中考题型分析
“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占8到12分。
二、典例精析
★考点一：规律题型中的新定义
◆典例一：定义： a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数． 如：2的差倒数是 =-1，－1的差倒数是= ．已知a1＝－ ，a2是a1 的差倒数，a3是a2的差倒数，a4 是a3的差倒数， …，依此类推，a2009＝ ．
【考点】有理数，倒数，新定义题型找规律
【解析】本题的核心是理解差倒数的概念，要根据定义去做，通过计算找出差倒数的规律，同时逐一分析循环的规律。
解答： a2= = 
a3= = 4
a4= =-
显然每三个循环一次，又因为2009÷3=669余2，故a2009=a2
◆典例二：古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是__5_050__．
★考点二：运算题型中的新定义
◆典例一：对于两个不相等的实数a、b ，定义一种新的运算如下，a*b= （a+b＞0） ，如： 3*2= =，那么6*（5*4）= 1
【解析】本题考察了运算的新定义，结合题目给定的运算方式进行模仿去计算 @
【解答】6*（5*4）=6 *=6 * 3= =1
◆典例二：对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a<2※x<7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是__4≤a＜5__．
【解析】 ∵2※x＝2x－2－x＋3＝x＋1
∴a＜x＋1＜7，即a－1＜x＜6，
若解集中有两个整数解，则这两个整数解为5，4
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1<4，,a－1≥3，))解得4≤a＜5.
★考点三：探索题型中的新定义
◆典例一：设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5，2}＝__5__，max{0，3}＝__3__；
`(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；
(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图1－1－2所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x＋4}的最小值．
【解析】 (1)比较5和2，0和3的大小关系即可求得答案；
(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，得－x＋1≥3x＋1，由此可求得答案；
(3)求得抛物线与直线的交点坐标，再利用新定义确定max{－x＋2，x2－2x＋4}的最小值．
◆典例二：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.
①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长．
②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.
【解析】①由AB＝CD，AB∥CD，得到四边形ABCD是平行四边形．再根据AB＝BC，∠ABC＝90°，判断出平行四边形ABCD的形状，利用勾股定理计算出BD的长．②由AB＝BC，AC⊥BD，根据等腰三角形的三线合一性得到∠ABD＝∠CBD，再证明△ABD≌△CBD； ￥
1. 定义一种新的运算：x*y＝eq \f(x＋2y,x)，如：3*1＝eq \f(3＋2×1,3)＝eq \f(5,3)，则(2*3)*2＝__2__．
【解析】 根据新运算的定义，(2*3)*2＝eq \f(2＋2×3,2)*2＝4*2＝eq \f(4＋2×2,4)＝2.
2. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( D )
A．1，2，3 B．1，1，eq \r(2)
C．1，1，eq \r(3) D．1，2，eq \r(3)
【解析】 A．1＋2＝3，不能构成三角形．故错误；
B.12＋12＝(eq \r(2))2，是等腰直角三角形．故错误；
C.底边上的高线长是eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形．故错误；
D.解直角三角形可知该三角形是三个角分别为90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义．
故D正确．故选D.
3. 我们定义：当m，n是正实数，且满足m＋n＝mn时，就称Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m,n)))为“完美点”，已知点A(0，5)与点B都在直线y＝－x＋b上，且B是“完美点”，若C也是“完美点”且BC＝eq \r(2)，则点C的坐标可以是 ( B )
A．(1，2) B．(2，1)
C．(3，4) D．(2，4)
4. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__②③__(写出所有正确说法的序号)．
①方程x2－x－2＝0是倍根方程；
②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；
③若点(p，q)在反比例函数y＝eq \f(2,x)的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；
④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为eq \f(5,4).
5. 若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”． ￥
(1)若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y＝eq \f(6,x)的图象上，它的“带线”l的表达式为y＝2x－4，求此“路线”L的表达式；
(3)当常数k满足eq \f(1,2)≤k≤2时，求抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形的面积的取值范围．
【解答】(1)令直线y＝mx＋1中x＝0，则y＝1，即直线与y轴的交点为(0，1)，将(0，1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中，得n＝1.
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．
将点(1，0)代入到直线y＝mx＋1中，得0＝m＋1，
解得m＝－1.
解得p＝eq \f(3k2－2k＋1,2).
∴“带线”l的表达式为y＝eq \f(3k2－2k＋1,2)x＋k.
令“带线”l：y＝eq \f(3k2－2k＋1,2)x＋k中，y＝0，则
0＝eq \f(3k2－2k＋1,2)x＋k，解得x＝－eq \f(2k,3k2－2k＋1).
即“带线”l与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2k,3k2－2k＋1)，0))，与y轴的交点为(0，k)．
∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积
S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2k,3k2－2k＋1)))×|k|，
∵eq \f(1,2)≤k≤2，∴eq \f(1,2)≤eq \f(1,k)≤2，
考点分类
考点内容
考点分析与常见题型
常考热点
三角形
三角形的性质与定理
一般考点
二次函数
结合高中二次函数的内容
冷门考点
圆
圆，曲线的新定义