专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）-2022年中考数学复习压轴题突破之二次函数

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中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）                            【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“”与全等表述、“”和相似表述的区别。全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。【典例示范】类型一  确定的全等三角形条件的判定应用例1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P．求b的值，并求出点P、B的坐标；在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．针对训练1．（2018年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
 2．（河南省濮阳市2018届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．求此抛物线的表达式；求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得≌？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．类型二  全等三角形的存在性探究例2．（四川省眉山市洪雅县2018届九年级中考适应性考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值．2．（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．类型三  确定的相似三角形条件的判定应用例3：（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．针对训练1．（湖南省长沙一中2018届九年级（下)段考）如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值． 2．（浙江省嘉兴市海宁新仓中学2019届九年级上学期数学第一次月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标； （3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．3．（江西省景德镇市2018届九年级第二次质检）如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．类型四  相似三角形存在性探究例4. （江苏省苏州市张家港市）如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.针对训练1．（贵州黔东南州锦屏县敦寨中学2018-2019学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为　   　．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值． 2．（广东省汕头市龙湖区2019届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2018年四川省绵阳市中考数学试卷）如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 4．（湖南省衡阳市2019届中考数学试卷）如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC 轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．5．（湖北省襄州区2018届九年级上学期）如图，已知抛物线 y＝ax2+x+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（2，0）、C（0，﹣4），直线 l：y＝﹣x﹣4 与 x 轴交于点 D，点 P 是抛物线 y＝ax2+ x+c 上的一动点，过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 E，交直线 l 于点 F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图 1，若点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标；（3）如图 2，过点 P 作 PH⊥y 轴，垂足为 H，连接 AC．①求证：△ACD 是直角三角形；②试问是否存在这样的点 P，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．6．（江西省南昌市2018届九年级中考三模数学）如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．（1）求二次函数的解析式．（2）当S△ACB＝3S△ADB 时，求点C的坐标．（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．7．（人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．8．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（段考模拟君之2018-2019学年九年级数学上学期期末原创卷A卷）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．