专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定-2022年中考数学复习压轴题突破之二次函数

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中考数学压轴题之二次函数
【方法综述】
知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下：
平行四边形的判定方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
矩形判的定方法
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形判定方法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边相等的四边形是矩形
正方形的判定方法
平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性
解答时常用的技巧：
（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：
已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。
P（m，n）
B（c，d）
C（e，f）
A（a，b）
O

如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得
a+m=c+e，n+b=d+f
则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。
（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。
（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。
【典例示范】
类型一 平行四边形的存在性探究
例1：（河南省2019年中考数学模试题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．
（1）求二次函数的解析式；[来源:Z,xx,k.Com]
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）当m=2时，s最大是9；（3）存在点P（2，﹣3）或P（1+，3）或P（1﹣，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．[来源:学&科&网]

解得．a=，b=﹣，c=﹣3，
∴二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．
（2）如图1所示：
设M（m，m2﹣m﹣3），|yM|=﹣m2+m+3，
∵S=S△OCM+S△OAM
∴S=×OC×m+×OA×|yM|=×3×m+×4×（﹣m2+m+3）
S =﹣m2+3m+6=﹣（m﹣2）2+9，
当m=2时，s最大是9．

解得：x=1+或x=1﹣．
综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+，3）或P（1-，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．
针对训练
1．（广东省湛江市第二十七中学2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．

（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．


＝
＝
＝．
∵＜0，，﹣1＜m＜2，
∴当时，S△APB 的值最大．
∴当时，，S△APB＝，
即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）
（3）存在三组符合条件的点，


2．（云南省弥勒市2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线与轴交、两点（点在点左侧），直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2.

（1）求、两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1），，。（2）。（3），，，.

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴当x=时，PE的最大值=；学科*网
（3）存在4个这样的点，分别是，，，.
①如图1，

连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②如图2，

AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，


同③可求出F的坐标为（4-，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．
3．（湖北省枣阳市第三中学2019届九年级（上)期末检测试题）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．
（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析;(2) 综上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)见解析.

∵，
∴△AOP≌△OCD
∴OP＝CD．


∴△AOP≌△OCD；
∴OP＝CD＝﹣t，则：BD＝BC+CD＝4﹣t；
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：
，得：，学科*网
解得：或（正值舍去）；
②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；
因为OP＜OA、BD＜AB、OA＝AB，
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：，所以OP＝BD，即：
t＝4﹣t，t＝2；
③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；
同①可求得；
综上，t1＝2，，．

②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且QD＝PC；
若P（t，0）、D（4，t），则 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；
Q（t，t）时，，即：t2+2t﹣24＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；
Q（8﹣t，t）时，，即：t2﹣6t+8＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝2．
综上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．
∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．

4．（广东省中山市2018-2019学年九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．

（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，
即△PAE面积S的最大值是；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴，学科*网
解得，或（舍去），
当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
5．（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末数学试题）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．

（2）如图所示：

∵当△BOD∽△QBM时，
则，
∵∠MBQ＝90°，
∴∠MBP+∠PBQ＝90°，
∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，
∴∠MBP+∠BMP＝90°，
∴∠BMP＝∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴，学科*网
∴，
解得：m1＝3、m2＝4，
当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；

6．（北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．
(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．

【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0），y=﹣2x+4；(2) 点F的坐标为（5，﹣6），y=﹣x2+x；(3) 四边形CMNC′的面积为m2.

设直线l的表达式为y＝kx＋b，

解得
∴直线l的解析式为y＝﹣2x＋4；
(2)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC＝90°，如图.


(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y＝x＋4﹣m，
直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，学&科网
直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，
分别解方程组和
解得和

7．（2018-2019学年甘肃省庆阳市九年级（上)期末数学试卷）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；
（3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）详见解析；（3）当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形．
【解析】解：（1）函数与y轴交于点C（0，2），则抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，
将点A坐标代入上式得：﹣﹣b+2＝0，则b＝，
故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，则x＝4或﹣1，即点B坐标为（4，0）；

（3）点P的坐标为（m，0），
则点Q坐标（m，﹣m2+m+2）、点M坐标（m， m﹣2），
当QM＝EF＝时，四边形DMQF是平行四边形，
则：QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝，
解得：m＝3或﹣1，学&科网
答：当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形．
8．（2018年四川省泸州市中考数学试卷）如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0 （1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且周长取最大值时，求点G的坐标．

【答案】（1），；（2）；（3）或.

（2）由已知，
点坐标为
点坐标为


（3）如图，过点做于点

由（2）
同理学科&网
四边形是平行四边形

整理得：

，即

由已知


周长

时，最大．

点坐标为，，此时点坐标为，
当点、位置对调时，依然满足条件
点坐标为，或，
9．（赤峰市翁牛特旗乌丹第一中学2019届九年级上学期期末考试）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．
（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； 
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； 
（3）若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）（－1，）；（3） M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．
【解析】(1)如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D,


由已知可得：
，
解得：
∴所求抛物线解析式为；
(2)存在.
如图所示，


设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A(−2,0),B(1,)分别代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+，
当x=−1时,y=，学科*网
∴所求点C的坐标为(−1,)；
(3)如图所示，


10．（四川省成都市青羊区）如图，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)y＝﹣2x2+x+3；(2)点E的坐标是(，)时，△BEC的面积最大，最大面积是；(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．

(2)如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，
则点M的坐标是(x，﹣2x+3)，
∴EM＝﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)＝﹣2x2+3x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝EM•OC
＝×(﹣2x2+3x)×
＝﹣(x﹣)2+，学科*网
∴当x＝时，即点E的坐标是(，)时，△BEC的面积最大，最大面积是；
(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
①如图2，AM∥PQ，AM＝PQ．
由(2)，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是(，)，
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，
∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，
∵点A的坐标是(﹣1，0)，
∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，x﹣(﹣1)＝﹣，
解得x＝﹣，
此时P(﹣，﹣3)；

解得x＝2，
此时P(2，﹣3)；
③如图4，由(2)知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是(，)，
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，
∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是(﹣1，0)，学科*网
∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)＝﹣，
解得x＝﹣，
此时P(﹣，2)；
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．

类型二 菱形存在性探究
例2．（河南省2019年中考数学模拟试卷）如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，4），作直线AC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的值为1或﹣4；（3）点Q的坐标为（1，）或（， ）．
【解析】解：（1）∵点A与点B（﹣1，0）关于直线x=1对称，
∴A（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，4）代入得a•1•（﹣3）=4，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+x+4；


当x=1时，y=﹣x+4=，则D（1，），
∴DE=，
在Rt△ADE中，AD==，
设P（1，m），则PD=﹣m，PH=PE=|m|，
∵∠PDH=∠ADE，
∴△DPH∽△DAE，学科*网
∴，即，解得m=1或m=﹣4，
即m的值为1或﹣4；
当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，则NQ∥y轴，NQ=NC，
∴N（t，﹣t+4），
∴NQ=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，
而CN2=t2+（﹣t+4﹣4）2=t2，即CN=t，
∴﹣t2+4t=t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，），
综上所述，点Q的坐标为（1，）或（，）．学科&网

针对训练
1．（陕西省榆林市府谷县九年级（下)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）若只沿y轴上下平移该抛物线后与y轴的交点为A1，顶点为M1，且四边形AMM1A1是菱形，写出平移后抛物线的表达式．

【答案】（1）b=﹣4，c=3；（2）y=x2﹣4x+3+2或y=x2﹣4x+3﹣2．
2．（江苏省南京新城中学2018-2019学年第一学期九年级数学期末）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图像，直接写出不等式x2＋bx＋c＞0的解集： ．
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为： ．

【答案】（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1或x＞3；（3）（2，－1）

（2）由图象得：不等式x2＋bx＋c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；
故答案为：x＜1或x＞3；
（3）（2，－1）．
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点坐标为（2，-1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），学科*网
故答案是：（2，-1）．
3．（四川省成都市金牛区2018届九年级（上)期末数学）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求二次函数解析式；
（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．
（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2+x﹣6；（2）MQ的最大值为16；（3）N坐标为（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）．理由见解析.

（3）①当BC边为菱形的边时，
情况一：N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0），
情况二：BC、MB是菱形两条邻边，且BC＝BM，则点N坐标为（2，﹣12），
情况三：BC、CM为邻边时，则点N坐标为（7.2﹣3.6）；
②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，


4．（人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）
（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：
①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；学科*网
AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；
②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．
∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．

5．（人教版数学九年级（上)第22章二次函数压轴题专项训练）如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．
(1)求k，b的值；
(2)点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；
(3)在(2)中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)k=，b=1；(2)PF+FG+OG的最小值2+3；(3)存在，点S的坐标为：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．
【解析】(1)由题意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），
则：过BE的直线为：y＝x+1；
(2)延长PF交BE于点H，


(3)存在．如图所示：
△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，

在Rt△G1AM中，AG1＝2，∠AG1M＝30°，
则：AM＝1，∴M（﹣1，4），
点D向上平移个单位长度后能与点N重合，则：N（3，7），
则：MN＝＝5，学科*网
当四边形为菱形，在MNQ1S1的位置时，MS1＝MN＝5，则点S1（﹣1，﹣1），
当四边形为菱形，在MNQ2S2的位置时，MS2＝MN＝5，则点S2（﹣1，9），
当四边形为菱形，在MNQ3S3的位置时，点S3与点M关于对称轴对称，则点S3（7，4），
故：所求点S的坐标为：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．
6．（江苏省东台市第四联盟2019届九年级12月月考）已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；
（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】(1)；（2）不相切， C的横坐标分别为2和；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
（2）①可得抛物线对称轴为：1，
C在第一象限,以CD为直径的⊙E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，
设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3，
D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t+2t+3），
=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），
当t==时，CD最长，此时CD最长为，[来源:学#科#网]
此时圆E的半径为，此时CD与对称轴的距离为-1=≠，
故不相切.学*科网
②当CD在对称轴右边时，即1＜t＜3时
= -t+3t（1＜t＜3）；圆E的半径为t-1，
可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：=-1（舍去）；
=2；
当CD在对称轴左边时，即即0＜t＜1时，
有-t+3t=2（1-t），解得：（舍去），
；
综上所述：t=2或t=，⊙E与该抛物线对称轴相切.
(3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
7．（天津市北部联盟2018-2019学年上学期期中考试九年级数学试卷）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；

【答案】(1)
(2) 存在,
(3)点坐标为()或()
，






8．如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．

直接写出、、的坐标；
求抛物线的对称轴和顶点坐标；
求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．
【答案】（1）、、．对称轴是直线，顶点坐标是．（3）以、为邻边的平行四边形不是菱形．
9．（浙江省绍兴市元培中学）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，连接．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点的坐标；
（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动， 、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（2），或（3）或或

解得：或，
∴．，
设，
①当时，如答图所示．
∵，
∴，故点满足条件．
过点作轴于点，则，，
∴．
∵，
∴，
∴直线的解析式为：．
联立与，
得：，
解得：，，学科*网
∴，，
∴；


∴，
∴直线的解析式为：．
联立与得：，
解得：，，
∴，，
∴．
综上所述，满足条件的点的坐标为：或．

则，，
∴．
∴．
∵点与点横坐标相差个单位，
∴；

②若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．
∵，
∴，点为中点，
∴．
∵点与点横坐标相差个单位，
∴；

10．（2018年中考试题）如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.

（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，，并把沿轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.
【答案】(1）该二次函数的表达式为；（2）点P的坐标为（，）；（3）P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．


（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（m，），设直线BC的表达式为，

类型三 矩形的存在性探究
例3：（海南省琼中县2018年中考数学二模试卷）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB：y=x+相交于点A（1，0）和B（t，），直线AB交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+x﹣，x=﹣1；（2）5+2；（3）能为矩形，M（﹣1，4）

（2）直线AB：y=-x+相交于点C（0，），
作点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，-），
连接BC′交x轴于点D，根据“两点之间线段最短”可得BD+CD的和最小，
从而△BCD的周长也最小，学科*网
∵B（﹣4，），C′（0，﹣），
∴直线BC′的解析式为y=﹣x﹣．
令y=0，可得x=﹣，
∴D（﹣，0），
∴当△BCD的周长最小时，点D的坐标为（﹣，0），
最小周长=BC+BC′=+=5+2；
（3）①


②

针对训练
1．（山东省德州市第七中学2019届九年级数学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；
点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为，求的值；
设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
[来源:学科网ZXXK]
【答案】（1）A（﹣1，0），；（2）a=﹣；（3）点的坐标为，．

（2）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a．学*科网
∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得：a=﹣；

（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a）．
∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），∴分两种情况讨论：
②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a）．
∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=．学科*网
∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4）．
综上所述：点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．

2.（2018年山西省太原市中考数学一模试卷）如图1，抛物线y=﹣x2+x+与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．经过点A的直线l与y轴交于点D（0，﹣）．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l的运动时间为t（t＞0）秒．探究下列问题：
①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；
②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x﹣；（2）见解析（3）存在

（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，

∵OA=1，OD=，
∴∠OAD=60°，
∵EF∥AD，学科*网
∴∠AEF=60°，
∵点A 关于直线l的对称点为A′，
∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，
在Rt△A′EH中，EH=EA′=t，A′H=EH=t，
∴OH=OE+EH=t﹣1+t=t﹣1，
∴A′（t﹣1， t）；

（3）存在，如图：

当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则t﹣1=3，解得t=，则A′（3，），
∵OE=t﹣1=，
∴此时P点坐标为（，）；
当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，

∵∠AEA′=120°，
∴∠A′EB=60°，
∴∠EBA′=30°
∴BQ=A′Q=•t=t，
3．（重庆市育才中学2019届九年级上学期第二次月考）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点．
（1）求直线BC的解析式及点E的坐标；
（2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在轴上找一点M，在AE上找一点N，使得值最小，请求出此时N点的坐标及的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点N，E，R，S为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；E（，）；（2）N（1，0）；最小值为；
（3）S1（，），S2（，），S3（，），S4（，）

（2）由△PGF∽△OBC可得：，


∴当时，PG取得最大值，即△PFG周长最大，此时P（2，），
作点P关于轴的对称点P′（2，-），
将直线AE绕点E逆时针方向旋转°得直线，且满足，
过点作直线的垂线交于点K，交直线AE于点N，
此时最小，学科&网
∴直线解析式为，
直线的解析式为，
∴N点坐标为（1，0），
K点坐标为，
∴；
（3），，，．


4．（福建省厦门外国语学校2019届九年级上学期第一次月考）如图，抛物线 y＝﹣x2+x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点C．
（1）求 A，B，C的坐标；
（2）直线 l：y＝﹣x+2上有一点 D（m，﹣2），在图中画出直线 l和点 D，并判断四边形ACBD的形状，说明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0）；B（4，0）；C（0，2）；（2）图形见解析；四边形ACBD为矩形．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），D（3，﹣2），E（，0），∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，CD5，CE，AE（﹣1），∴AEAB，CECD，∴AB＝CD，AB，CD互相平分，∴四边形ACBD为矩形．

5．（江苏省无锡市新吴区2017-2018学年九年级（上)期末数学）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a=﹣；（3）点P（1，﹣ ）或（1，﹣4）．

（2）由（1）知，点D的横坐标为4，

∴k=a，学&科网
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF，

∴△ACE的面积的最大值=，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴
解得
（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P（1，m），

②若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），


6．（云南省曲靖市2018年中考数学试题）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．


∵CF=3BE=3a﹣18，
类型四 正方形的存在性探究
例4. （河南省2018年中考一模试卷数学试题）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．

【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；②m的值为 或
【解析】（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），


当点M在x轴上方时， =，
解得m=﹣或3（舍弃），
∴M（﹣，），
当点M在x轴下方时， =，
解得m=﹣或m=3（舍弃），
∴点M（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；
②如图中，∵MN∥x轴，


针对训练
1．（四川省南充市2018届中考数学试卷）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（， ），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.


∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得：，
解得：或，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2（，），Q3（，）；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，

2．（2018年吉林省长春市朝阳区东北师大附中中考数学一模）我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数例如：的友好同轴二次函数为．
请你分别写出，的友好同轴二次函数；
满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？
如图，二次函数：与其友好同轴二次函数都与y轴交于点A，点B、C分别在、上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为，，连结，，，CB．
若，且四边形为正方形，求m的值；
若，且四边形的邻边之比为1：2，直接写出a的值．

【答案】函数的友好同轴二次函数为；函数的友好同轴二次函数为；二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身；的值为；的值为、、或．


，[来源:学+科+网]
二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；
，
二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．
点的坐标为，点的坐标为，
，．
四边形为正方形，
，即，
解得：，不合题意，舍去，
的值为．
当时，点B的坐标为，点C的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，．
四边形的邻边之比为1：2，
或，即或，
解得：，，，，
的值为、、或．