专题08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究-备战2022年中考数学压轴题之二次函数

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中考数学压轴题之二次函数
专题08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究
【方法综述】
与线段有关的最值探究问题，是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识有：两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有：最短路径问题、点到圆上的点的最短（长）距离问题。解答问题时，可以将这些问题应用于解题中。
【典例示范】
类型一 常规单线段的最值探究
例1：已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2-6ax-10交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，且AB=4，抛物线l2与l1交于点A与C(4,m)．
(1)求抛物线l1，l2的函数表达式；
(2)当x的取值范围是______时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
(3)直线PQ//y轴，分别交x轴，l1，l2于点D(n,0)，P，Q，当12≤n≤5时，求线段PQ的最大值．

例2：如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点E．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．
①求MN的长．
②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为　 　（直接写出答案即可）

针对训练
1．二次函数y=m-1xm2+m-6x+9的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标．
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

2．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°．
（1）填空：点C的纵坐标是　 　（用含a、m的式子表示）；
（2）求a的值；
（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣12≤m≤52时，求BC′的长度范围．

3．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；
(3)点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）求证：△ADE≌△BCD；
（3）抛物线y＝25x2﹣245x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图1，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D（2，﹣3），且tan∠BAD=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结CD，求证：AD⊥CD；
（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

6．如图1，抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣5）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA、PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴（如图2所示），交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3, 0)，点C的坐标是(0, -3)，动点P在抛物线上．

(1)b=________，c=________，点B的坐标为________；（直接填写结果）
(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
9．函数y=x2+bx+c的图像与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c 的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′ 恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

图 ①                                          图②
10．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)2-4(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3, 0)

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
类型二 最短路径模型的应用
例3．已知二次函数y=﹣x2+4x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点p是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求p的坐标
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

针对训练
1.如图，抛物线 y=12 x²+bx+c 与直线 y= 12x+3 交于 A，B 两点，点 A 在 y 轴上，抛物线交 x 轴于 C、D 两点，已知 C（-3，0）.
（1）求抛物线的解析式
（2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB 一 MD|的值最大。请求出点 M 的坐标及这个最大值.

2．如图，直线y=-x-2与抛物线分别交于点A、点B，且点A在y轴上，抛物线的顶点C的坐标为(3 ， 1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上一动点，射线PM∥x轴并与直线BC和抛物线分别交于点M、N，过点P作PE⊥x轴于点E，当PE与PM的乘积最大时，在y轴上找一点Q，使PQ-CQ的值最大，求PQ-CQ的最大值和此时Q的坐标；
(3)在抛物线上找一点D，使△ABD为直角三角形，求D点的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+x+3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，顶点为D，抛物线对称轴与x轴交点为E.
（1）求直线BD的解析式.
（2）点M(m,0)，N(m+2,0)为x轴上两点，其中2
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）当a=﹣1时，求A，B两点的坐标；
（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．
①当a=2时，求PB+PC的值；
②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
5．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)利用直尺和圆规,作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若△OBC是等腰直角三角形,且其腰长为3,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P为抛物线对称轴上的一点,则PA+PC的最小值为 .

类型三 图形周长的最值探究
例4：（1）如图1，若点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），作AD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，AD与BE相交于点C，则有AC＝|y1﹣y2|，BC＝|x1﹣x2|，所以，A、B两点间的距离为AB＝(x1-x2)2+(y1-y2)2．
根据结论，若M、N两点坐标分别为（1，4）、（5，1），则MN＝　 　（直接写出结果）．
（2）如图2，直线y＝kx+1与y轴相交于点D，与抛物线y＝14x2相交于A，B两点，A点坐标为（4，a），过点A作y轴的垂线交y轴于点C，E是AC中点，点P是第一象限内直线AB下方抛物线上一动点，连接PE、PD、ED；
①a＝　 　，k＝　 　，AD＝　 　（直接写出结果）．
②若△DEP是以DE为底的等腰三角形，求点P的横坐标；
③求四边形CDPE的周长的最小值．

针对训练
1．如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，且点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C，对称轴直线x＝2与x轴相交于点D，点P是抛物线对称轴上的一个动点，以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点E向下运动，设点P运动的时间为t（s）．
（1）点B的坐标为　 　，抛物线的解析式是　 　；
（2）求当t为何值时，△PAC的周长最小？
（3）当t为何值时，△PAC是以AC为腰的等腰三角形？

2．如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

3．如图，已知二次函数y=ax2-2a-34x+3的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0 （1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

4．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．

5．已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；
(3)当PC＝CO时，求P点坐标．

6．如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A．B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）判断以点A，C，D为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（3）点M( m, 0)(-3 7．如图1，已知抛物线y=1a(x-2)(x+a)(a>0)与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点c．

（1）若抛物线过点T(1，-54)，求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在(1)的条件下，点P的坐标为(-1，1)，点Q(6，t)是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2,问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．

8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明；
（3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标．

9．已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，4），且经过点B（2，3），与x轴交于C、D两点．

（1）求直线OB的函数表达式和该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作直线PF⊥x轴于点F，交直线OB于点E．若PE=3EF，求出P点的横坐标；
（3）如图2，点M是抛物上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，T是抛物线对称轴上一点，当MN最大且△MDT周长最小时，直接写出T的坐标．
10．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

类型四 线段倍半的和差最值探究
例5. 如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′、BE′，求AE′+23BE′的最小值．

针对训练
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　     　个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

2．已知二次函数y=x2-2mx+m2-1
（1）该抛物线与y轴交于点C (0,34)，顶点为D，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，x轴是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由.
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3，0)，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；
（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求14AQ+EQ的最小值．

4．如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；
（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+12E′B的最小值．