2022届陕西省榆林市高三下学期二模数学（文）试题含解析

2022届陕西省榆林市高三下学期二模数学（文）试题

一、单选题

1．的实部为（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据复数乘法的运算法则，结合复数实部的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以的实部为2，

故选：D

2．定义集合且.已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题中定义直接求解即可.

【详解】因为，，所以，

故选：C

3．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.

【详解】由，得，则.

故选：A

4．曲线在点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出切点坐标和斜率，即可求出切线方程.

【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，当x=1时，y=0,切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为.

故选：B

5．甲和乙约定周日早上在学校门口见面，当天先到者等未到者20分钟，超过20分钟对方未到就离开.当天早上，乙将在6点40分到7点50分之间任意时刻到达学校门口，甲于7点10分到达学校门口，则两人可以碰面的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用几何概型的概率计算公式，直接计算即可.

【详解】依题意可得乙在6点50分到7点30分到达学校门口，两人可以碰面，

故所求概率为·

故选：.

6．某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则下列结论错误的是（       ）

A．x，y之间呈正相关关系

B．

C．该回归直线一定经过点

D．当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

【答案】C

【分析】求出，直接判断C，把代入回归方程可得系数值，由的正负判断A，由代入回归方程得估计值，判断D.

【详解】因为，，所以该回归直线一定经过点，故，解得，即A，B正确，C不正确.

将代入，得，故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，D正确.

故选：C.

7．（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将拆分为，再利用正弦的和角公式即可求得结果.

【详解】因为

.

故选：A.

8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的实数x的取值共有(       )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】由程序框图可知，解出x即可.

【详解】由框图可知，该循环体需循环2次输出结果，∴输出，

则，解得或，故输入的实数x的取值共有3个.

故选：C.

9．已知函数，现有下列四个命题：

①，，成等差数列；

②，，成等差数列；

③，，成等比数列；

④，，成等比数列.

其中所有真命题的序号是（       ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④

【答案】D

【分析】根据等差数列、等比数列的性质，结合对数的运算性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以①为真命题.

因为，，，所以②为真命题.

因为，所以，，成等差数列，又，所以③是假命题.

因为，，，所以④为真命题.

故选：D

10．已知，，则(       )

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】由求得，再由即可求得答案.

【详解】∵，

∴，则.

∴，故.

故选：B.

11．函数的部分图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由图像求出，根据平移得到，直接求值域即可.

【详解】由图像可以看出：

因为，所以.

因为，所以.

因为，

且，

所以，，

所以.

因为，所以.

因为，所以，所以，

故.

故选：C

12．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据轴截面求出圆锥底面圆的半径，设出圆柱形冰块的底面半径，用含的式子表达出圆柱形冰块的高，从而得到圆柱形冰块的体积关于x的表达式，用导函数求解最大值.

【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，，解得:，，

设圆柱形冰块的体积为，则.

设，则，当时，；

当时，，故在取得极大值，也是最大值，所以，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为.

故选：C

二、填空题

13．已知为奇函数，当时，，则___________.

【答案】

【分析】利用奇函数的性质，结合函数的解析式进行求解即可.

【详解】因为为奇函数，所以，

故答案为：

14．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则___________.

【答案】2

【分析】依题意可得，令，即可求出、，再由锐角三角函数计算可得；

【详解】解：因为底面，底面，所以，设，则，，.故.

故答案为：

15．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，，则___________.

【答案】0.4

【分析】根据正弦定理得a＝2c，再由余弦定理即可求.

【详解】∵，∴根据正弦定理知，，即，

∵，∴，解得.

故答案为：.

三、双空题

16．设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为___________，___________.

【答案】         

【分析】根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案.

【详解】解：M的离心率，

设M的右焦点为，因为，且M与N的焦点都在x轴上，

所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，

所以，，解得.

故答案为：；.

四、解答题

17．一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口､鼻及下颌，用于普通医疗环境中阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩.按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品.某部门为了检测一批口罩对细菌的过滤效率，随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中m的值及这200个口罩中优等品的频率；

(2)为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从和两组中抽取21个口罩，已知过滤效率百分比低于99%的检测费为每个8元，不低于99%的检测费为每个12元，求这21个口罩的检测总费用.

【答案】(1)，频率为；

(2)元.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为的这个性质进行求解即可；

（2）根据分层抽样的性质进行求解即可.

(1)

由图可知，，

这200个口罩中优等品的频率为.

(2)

因为，所以从中抽取个，从中抽取个，

故这21个口罩的检测总费用为元.

18．已知，数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再利用累加法求出的通项公式；

（2）由（1）可知，即可得到，利用裂项相消法求和即可；

(1)

解：因为，即，

所以，，…，，

以上各式相加得，

又，所以.

当时，，

故的通项公式为.

(2)

解：由（1）知，，

则，

故.

19．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点C.

(1)若点D是的中点，且，证明：.

(2)已知，，求的周长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可得平面，则，再由可得，则由线面垂直的判定可得平面，然后由线面垂直的性质可证得结论，

（2）（方法一）延长至点E，使，连接，则可得∥且，则，，然后在直角三角形中求解即可求出三角形的周长，（方法二）在直角中，求出，，则可得，然后利用余弦定理可求得，从而可求出的周长，

(1)

证明：∵点在底面内的射影是点C，

∴平面，

∵平面，∴.

在中，，

∴，

∵，

∴平面.

∵平面，

∴.

(2)

解：（方法一）延长至点E，使，

连接，则∥，，四边形为平行四边形，

所以∥且.

由（1）知平面，∴平面，

∵平面，

∴，，

∵，，，

∴，，

∴的周长为.

（方法二）在直角中，，

，则，

∴，

∵，

∴由余弦定理得，

∴的周长为.

20．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若对恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）利用导数得出单调区间即可；

（2）将不等式变形为，构造函数，利用导数得出最值，进而得出a的取值范围.

(1)

的定义域为，

当时，.

当时，，则的单调递减区间为，

当时，，则的单调递增区间为.

(2)

由对恒成立，得对恒成立.

设，则.

当时，；当时，.

所以，则，解得，

故a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于分离参数，构造函数，求出其最小值，得出a的取值范围.

21．已知直线，M为平面内一动点，过M作l的垂线，垂足为N，且（O为坐标原点），动点M的轨迹记为.

(1)证明为抛物线，并指出它的焦点坐标.

(2)已知，直线与交于A，B两点，直线，与的另一交点分别是C，D，证明：∥.

【答案】(1)证明见解析，坐标为

(2)证明见解析

【分析】（1）设出，利用得到方程，整理后得到答案；（2）将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，进而表达出直线与直线，联立抛物线方程后得到C，D点的纵坐标，求出直线CD的斜率为1，与直线斜率相等，从而证明出∥.

(1)

设，则，

，，

因为，所以，

则的方程为.

故为抛物线，且焦点坐标为.

(2)

证明：设，，，，

联立，得，

则，，.

直线的方程为，

联立，得，

由韦达定理得为，

所以，同理可得：.

则，

得，所以∥.

22．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，为该曲线上一动点.

(1)当时，求的直角坐标；

(2)若射线逆时针旋转后与该曲线交于点，求面积的最大值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）令，由此求得的值，进而可求的直角坐标.

（2）设出两点极坐标，通过三角形面积公式求得面积的表达式，，将表达式转换为关于的二次函数，即可求得面积的最大值.

(1)

因为，所以，，

因为，所以或，所以的极坐标为或，

故的直角坐标为或

(2)

设，，则.表

因为，，

所以.

令，则.

所以，

当时，有最大值，此时，，

故的最大值为.

23．已知正数a，b，c，d满足，证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由基本不等式证明；

（2）由柯西不等式证明.

(1)

因为，，

所以，

当且仅当时，等号成立，

又正数a，b，c，d满足，所以.

(2)

因为正数a，b，c，d满足，

所以由柯西不等式，可得

，

当且仅当，时，等号成立，

故.