2022届陕西省西安中学高三下学期二模数学（文）试题含解析

2022届陕西省西安中学高三下学期二模数学（文）试题

一、单选题

1．若复数，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的运算化简，求出，即可得出的虚部.

【详解】因为

.

所以，故的虚部为.

故选：A

2．已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】A

【分析】解不等式可得集合与集合，进而可得解.

【详解】解不等式可得或，

由题意可知阴影部分表示的集合为，

且，，

或，

所以或，

故选：A.

3．已知直线与直线平行，则（　　）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【分析】由两直线平行，得到，求解，得出的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，即，解得：或，

当时，与重合，不满足题意，舍去；

当时，与平行，满足题意.

故选：B

【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型.

4．设是定义在R上的奇函数，且当时，，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，得出，即可求解.

【详解】因为时，，由题意函数为奇函数，

所以.

故选：A.

5．设，则的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出不等式的解，再利用几何概型的概率公式求解.

【详解】解：因为，所以

因为，则的解为，

所以由几何概型的概率公式得.

故选：C

6．若，满足约束条件且，则

A．有最小值也有最大值 B．无最小值也无最大值

C．有最小值无最大值 D．有最大值无最小值

【答案】C

【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.

【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

设，则，

当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，

无最大值，故选C.

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

7．执行如下程序框图，若输入，则输出的值是（       ）

A．720 B．120 C．5040 D．1440

【答案】A

【分析】将，输入程序，根据流程图求得输出结果.

【详解】，，

①，；

②，，；

③，，；

④，，；

⑤，，；

⑥，，；

输出；

故选：A

8．已知函数，下列结论中错误的是（       ）

A．的图像关于中心对称

B．在上单调递减

C．的图像关于对称

D．的最大值为1

【答案】B

【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．

【详解】解：

对于A选项．当 时，，则的图像关于中心对称，故A正确；

对于B选项．由 得

当时，函数的递减区间是 ，故B错误，

对于C选项．当时， ，则的图像关于对称，故C正确，

对于D选项．当时，函数取得最大值为，故D正确，

故选：B．

9．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有　　

，，，  ，

，，       ，

A．0个 B．1个 C．2个 D．3

【答案】B

【详解】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；

根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；

根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；

根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假．

详解：

由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；

若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α，故（2）正确；

若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；

若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；

故选B．

点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.

10．某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（     ）

A．b＝0.25

B．长度落在区间[93，94)内的个数为35

C．长度的中位数一定落在区间[93，94)内

D．长度的众数一定落在区间[93，94)内

【答案】D

【分析】按照频率分布直方图含义依次判断.

【详解】对于A，由频率和为1，得，解得，

所以A正确.

对于B，长度落在区间内的个数为，所以B正确.

对于C，有个数，内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间内，所以C正确.

对于D，根据频率分布直方图不能判断长度的众数一定落在区间内，所以D错误.

故选:C.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作于A，于B，根据圆的切线的性质可得，可以求得，又点M在双曲线上，所以，整理得，从而得出结论．

【详解】作于A，于B，

因为与圆相切，，

所以，

因为，

所以，

又点M在双曲线上，

所以，

整理得，

所以双曲线的渐近线方程为．

故选：A

12．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】先进行求导，利用导数和方程系数相同，得到或，转化为和，图像交点问题，

最后利用题目条件画出的图像即可求解.

【详解】函数有两个极值点，假设，则有两个不等的实数根，，方程的判别式，所以方程有两解，且或，函数的图像

和直线的交点个数即为方程解的个数，函数的图像和直线的交点个数即为方程解的个数.

在上单调递增，在上单调递减，又，画出图象如图所示，的图像和直线的交点个数为2个，

的图像和直线的交点个数为1个，或的根共有3个，即方程的不同实根个数为3.

故选：B.

【点睛】本题关键在于发现导数和方程系数对应相等，得到方程有两解，且或，

再转化成图像交点问题，最后数形结合即可求解.

二、填空题

13．已知，，则______.

【答案】-13

【分析】根据向量的坐标形式，进行数量积运算即可.

【详解】由题知，，

故答案为：-13.

14．下列式子：

，

，

，…

由此可推得，的值为______.

【答案】4950

【分析】由题目中给出的式子归纳出第个式子的结论，代入求值即可.

【详解】由已知条件知，，代入，知，

故.

故答案为：4950.

15．内角的对边分别为，若的面积为，则_________

【答案】

【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.

【详解】由余弦定理可得，所以

的面积为

所以 即，由

所以

故答案为：

16．已知正三棱柱的各条棱长均为1，则以点为球心､1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为___________.

【答案】

【分析】根据球的几何特征，分别求出和平面、平面以及平面的交线及其长度，相加即可得解.

【详解】

根据题意，如图则以点为球心､1为半径的球，

和平面、平面的交线为以A为圆心，1为半径的圆弧，

根据正三棱柱的性质，作中点，

易知平面，

故球与平面的交线为以为圆心，为直径的半圆，

所以总长为，

故答案为： .

三、解答题

17．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入(亿元)和沙漠治理面积(万亩)的相关数据如下表所示：

(1)建立关于的线性回归方程；

(2)若保持以往的经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩．

参考公式： ，.

【答案】(1)＝9.4x＋9.1

(2)2025年

【分析】（1）根据表中数据求出样本中心，进而求出回归直线方程的系数，

将回归直线方程的系数代入回归方程中即可.

(2)将满足条件的预报值代入回归方程并判断，即可解预报的年限.

(1)

由已知数据和参考数据得

，

，

，

，，

所以线性回归方程为.

(2)

由，得，而，于是，

所以到2025年沙漠治理面积可突破100万亩．

18．已知数列满足.

(1)设，求证数列是等比数列；

(2)设，求数列的前项和的最值.

【答案】(1)证明见解析

(2)无最小值，最大值为20

【分析】（1）由结合等比数列的定义证明数列是等比数列；

（2）由（1）得出，结合累加法得出，进而求出最值.

(1)

由，可知，即，

由，可知，，

所以是以12为首项，4为公比的等比数列.

(2)

由（1）知，，

所以，所以，

所以，无最小值，最大值为

19．如图，已知长方体中，E为上一点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明，，从而推出平面，即可证明平面平面；

（2）设与交于点F，连接，通过转化即可求解.

【详解】解：（1）证明：在长方体中，平面，平面，

所以.

因为，所以，

所以，则.

因为，所以，则.

又平面平面，

所以平面，又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，设与交于点F，连接，

则.

易知，

在矩形中，易知，

所以.

20．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．

【答案】（1），（2）答案见解析.

【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；

(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.

【详解】（1）由已知得，解得，

∴椭圆的标准方程，

∴椭圆的离心率.

(2)设，，则，

可设的直线方程为，

联立方程，整理得，

∴，

，∴，

整理得，，

∴，解得，

∴的直线方程为：，

直线恒过定点.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．已知函数，.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)讨论的单调性；

(3)若与图象有两个不同公共点，求的范围．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；

（2）求导，通过讨论的取值研究导函数符号的变化进而得到函数的单调性；

（3）对所给方程进行变形，将问题转化为有两个不同的实根，再利用单调性转化为有两个不同的实根，再通过导数的符号变化进行研究.

(1)

解：

所以所求切线为，即.

(2)

解：因为，

所以

①当，，函数在上单调递增；

②当，令，得，

所以时，；时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当，的单调递增区间为，单调递减区间为

(3)

解：由题意得方程，

即有两个不同的实根，

由可得，

即有两个不同的实根.

因为时，，

所以在上单调递增，

要使有两个不同的实根，

则需有两个不同的实根．

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以

①若，则，没有零点；

②若，则，当且仅当时取等号，只有一 个零点；

③若，则，，

令，则当时，，

即在上单调递增，

所以，即，

故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．

综上可知，实数a的取值范围是

【点睛】关键点点睛：1、解决第（3）问的关键是将问题转化为，即有两个不同的实根；

2、在处理有两个不同的实根的关键是作差构造函数.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

【答案】（1）：，：；（2），此时.

【解析】【详解】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

【解析】坐标系与参数方程.

【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．

23．设函数，

(1)当时，解不等式

(2)若的解集为，，求的最小值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）化简后两边平方去掉绝对值号求解即可；

（2）根据不等式的解集确定方程的根，由根与系数的关系求出a，再由均值不等式求解即可.

(1)

当时，不等式即为

即，整理得，解得或

所以原不等式的解集为或；

(2)

证明：由得，从而，

的解集为，

，解得，

又，，，

当且仅当，时，取等号，故，

所以的最小值为.