2022届陕西省榆林市高三下学期二模数学（理）试题含解析

2022届陕西省榆林市高三下学期二模数学（理）试题

一、单选题

1．的实部为（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据复数乘法的运算法则，结合复数实部的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以的实部为2，

故选：D

2．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式及二倍角正弦公式计算可得；

【详解】解：.

故选：A

3．定义集合 且.己知集合，，，则中元素的个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】首先要理解A-B的含义，然后按照集合交并补的运算规则即可.

【详解】因为，，所以，

又因为，所以.

故选：B.

4．曲线在点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出切点坐标和斜率，即可求出切线方程.

【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，当x=1时，y=0,切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为.

故选：B

5．某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则下列结论错误的是（       ）

A．x，y之间呈正相关关系

B．

C．该回归直线一定经过点

D．当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

【答案】C

【分析】求出，直接判断C，把代入回归方程可得系数值，由的正负判断A，由代入回归方程得估计值，判断D.

【详解】因为，，所以该回归直线一定经过点，故，解得，即A，B正确，C不正确.

将代入，得，故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，D正确.

故选：C.

6．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则二面角的大小为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【答案】A

【分析】证明线面垂直,线线垂直，找到二面角的平面角，再进行求解.

【详解】因为底面，平面，所以，又，，所以平面，因为平面，则，所以二面角的平面角为.在中，，则.故二面角的大小为30°.

故选：A

7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的实数x的取值共有(       )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】由程序框图可知，解出x即可.

【详解】由框图可知，该循环体需循环2次输出结果，∴输出，

则，解得或，故输入的实数x的取值共有3个.

故选：C.

8．已知函数，现有下列四个命题：

①，，成等差数列；

②，，成等差数列；

③，，成等比数列；

④，，成等比数列.

其中所有真命题的序号是（       ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④

【答案】D

【分析】根据等差数列、等比数列的性质，结合对数的运算性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以①为真命题.

因为，，，所以②为真命题.

因为，所以，，成等差数列，又，所以③是假命题.

因为，，，所以④为真命题.

故选：D

9．已知，，则(       )

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】由求得，再由即可求得答案.

【详解】∵，

∴，则.

∴，故.

故选：B.

10．函数的部分图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由图像求出，根据平移得到，直接求值域即可.

【详解】由图像可以看出：

因为，所以.

因为，所以.

因为，

且，

所以，，

所以.

因为，所以.

因为，所以，所以，

故.

故选：C

11．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（       ）

A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种

【答案】A

【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.

【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，

故不同的安排方法共有 种；

故选：A.

12．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值.

【详解】由，得.

因为，所以或.

当时，；当时，.

所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；

当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.

故选：A

二、填空题

13．已知为奇函数，当时，，则___________.

【答案】

【分析】利用奇函数的性质，结合函数的解析式进行求解即可.

【详解】因为为奇函数，所以，

故答案为：

14．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，，则___________.

【答案】0.4

【分析】根据正弦定理得a＝2c，再由余弦定理即可求.

【详解】∵，∴根据正弦定理知，，即，

∵，∴，解得.

故答案为：.

15．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为______.

【答案】

【分析】先求出圆锥底面圆半径，设冰块的底面圆半径为，用表达出冰块的体积，利用导函数求出冰块体积的最大值.

【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，，解得，，设圆柱形冰块的体积为，则.设，则.当时，；当时，.所以在处取得极大值，也是最大值，，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为.

故答案为：

三、双空题

16．设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为___________，___________.

【答案】         

【分析】根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案.

【详解】解：M的离心率，

设M的右焦点为，因为，且M与N的焦点都在x轴上，

所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，

所以，，解得.

故答案为：；.

四、解答题

17．一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.

(1)求的概率；

(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)0.1

(2)分布列见解析，数学期望为0.2

【分析】（1）由正态分布的对称性求解；（2）X服从二项分布，求出相应的分布列及数学期望.

(1)

因为零件尺寸服从正态分布.

所以，

因为，所以.

(2)

依题意可得，

所以.

，

，

所以X的分布列为

所以（或）

18．已知，数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再利用累加法求出的通项公式；

（2）由（1）可知，即可得到，利用裂项相消法求和即可；

(1)

解：因为，即，

所以，，…，，

以上各式相加得，

又，所以.

当时，，

故的通项公式为.

(2)

解：由（1）知，，

则，

故.

19．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点C，点D是的中点，且.

(1)证明：；

(2)己知，，，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）可证平面，从而可证.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的方向向量与平面的法向量后可求线面角的余弦值.

(1)

证明：∵点在底面内的射影是点C，

∴平面，∵平面，∴.

在中，，∴，

∵，∴平面.

∵平面，∴.

(2)

解：在平面内，过点B作，则平面，

以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，故，.

设平面的法向量为，

可取.

又，∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若对恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）利用导数得出单调区间即可；

（2）将不等式变形为，构造函数，利用导数得出最值，进而得出a的取值范围.

(1)

的定义域为，

当时，.

当时，，则的单调递减区间为，

当时，，则的单调递增区间为.

(2)

由对恒成立，得对恒成立.

设，则.

当时，；当时，.

所以，则，解得，

故a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于分离参数，构造函数，求出其最小值，得出a的取值范围.

21．在直角坐标系中，抛物线与直线交于P，Q两点，且.抛物线C的准线与x轴点交于点M，G是以M为圆心，为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)依题意求出点P和点Q的坐标，用向量表示垂直，即可求得抛物线的方程；

(2)先求出抛物线上的切线方程，考虑点G在上，求点G到直线AB的距离，以及AB的长度，即可 的面积范围.

(1)

依题意可设，，则，.

因为，所以，故.

又，所以.

故抛物线C的方程为；

(2)

现计算抛物线在点处的切线方程为，

对抛物线方程求导得 ，在N点处的斜率为 ，

在N点处的切线方程为 ，整理得；

设，，，

则直线，的方程分别为和.

因为点G在直线，上，所以 ，

两式相减得，并由①得 ，

直线AB的斜率为 ，

所以直线AB的的方程为 ，

整理得直线的方程为.

联立方程组 整理得，

则，，

故.

点到直线的距离.

故的面积.

由题可知，，，则圆M的方程为，

故，

因为，所以，

所以，故面积的取值范围为；

综上：抛物线的方程为，面积的取值范围为.

【点睛】求直线AB的方程时，应尽可能使用变量 ，而不是，尽可能把转化为，

因为存在符号问题，讨论符号会给计算带来很多的麻烦，

并且要巧用GA，GB联立的方程而不是解出方程.

22．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，为该曲线上一动点.

(1)当时，求的直角坐标；

(2)若射线逆时针旋转后与该曲线交于点，求面积的最大值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）令，由此求得的值，进而可求的直角坐标.

（2）设出两点极坐标，通过三角形面积公式求得面积的表达式，，将表达式转换为关于的二次函数，即可求得面积的最大值.

(1)

因为，所以，，

因为，所以或，所以的极坐标为或，

故的直角坐标为或

(2)

设，，则.表

因为，，

所以.

令，则.

所以，

当时，有最大值，此时，，

故的最大值为.

23．已知正数a，b，c，d满足，证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由基本不等式证明；

（2）由柯西不等式证明.

(1)

因为，，

所以，

当且仅当时，等号成立，

又正数a，b，c，d满足，所以.

(2)

因为正数a，b，c，d满足，

所以由柯西不等式，可得

，

当且仅当，时，等号成立，

故.