2023届陕西省榆林市高三下学期二模数学（文）试题含解析

2023届陕西省榆林市高三下学期二模数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据交集定义求解.

【详解】由题意可得，则．

故选:D.

2．（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算求解.

【详解】．

故选:A.

3．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】引入中间值，与1比较大小，与0比较大小即可.

【详解】因为，，，

所以．

故选：B.

4．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4:1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（    ）

A．90 B．96 C．120 D．144

【答案】C

【分析】设参加体检的人数是，根据题意列出方程，求解即可.

【详解】解：设参加体检的人数是，

则，解得，

所以参加体检的人数是120人.

故选：C.

5．已知的内角的对边分别为.若的面积为，则角（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用面积公式和余弦定理可求.

【详解】由余弦定理可得，而三角形面积为，

故，

整理得到，而为三角形内角，故.

故选：C.

6．已知双曲线：（）的左、右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，若，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线定义联立方程组求出，，再根据勾股定理求出，进一步计算得出结果．

【详解】不妨设在双曲线的右支上,由题意可得，

根据双曲线定义，又，

所以，．

因为，所以，

则，故双曲线的离心率．

故选：B.

7．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所选科目相同的基本事件，求其比值即可.

【详解】甲、乙同学所选的科目情况有：（化学，化学），（化学，生物），（生物，化学），（生物，生物），（政治，化学），（政治，生物），共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有（化学，化学），（生物，生物），共2种，

故所求概率．

故选：B.

8．如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．证明，得是异面直线与所成的角（或补角）．设，用余弦定理计算出余弦值．

【详解】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．

由已知，又，所以是平行四边形，，

同时可得是中点，而是中点，所以．

所以，则是异面直线与所成的角（或补角）．

又，平面，则平面，平面，则，

设，则，从而，，，，，

故，，．在中，

由余弦定理可得．

所以异面直线与所成的角的余弦值为．

故选：B．

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式得到，两边平方得到的值，再根据诱导公式进一步运算得到结果.

【详解】因为，所以，

两边平方得，则，

故．

故选：C.

10．已知函数在和上都是单调的，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由正弦函数的单调性可得且，求解即可.

【详解】解：当时，，

因为在上单调递增，

所以，解得；

当时，，

因为在上单调递减，

则，解得．

综上，的取值范围是．

故选：D

11．已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，转化为两函数的交点问题，再利用导数研究函数的大致图象进行求解判断.

【详解】函数恰有5个零点等价于关于的方程有5个不同的实根．

由，得或．

因为，所以，

由，得或，由，得，

则在和上单调递增，在上单调递减．

因为，，当时，，当时，，

所以可画出的大致图象：

由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故，故A，C，D错误.

故选：B.

12．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意可得外接圆的半径及面积，高的最大值为，代入体积公式，结合题意可求得R值，代入球的表面积公式即可得答案.

【详解】设外接圆的半径为，则，

设球的半径为，当三棱锥的高最大时，体积取最大值，高的最大值.

所以，即，解得.

故球的表面积是．

故选：A.

二、填空题

13．已知向量，，若，则______．

【答案】##

【分析】根据向量平行的坐标运算公式，计算可得答案.

【详解】已知，，，所以，

解得．

故答案为：.

14．已知实数，满足约束条件则的最大值是______．

【答案】7

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得解.

【详解】如图，画出可行域，设则，直线经过点时，取得最大值，

联立可得，此时最大值是7．

故答案为：7.

15．已知函数满足，当时，，若对任意的，都有，则的最大值______．

【答案】5

【分析】利用已知条件得出的性质：，然后由上解析式确定在上的单调性，最值，从而得出在上的性质，最终得出结论．

【详解】时，，其中，，，

在上递减，在上递增，

∴，

由得，

当时，，

上，最小值是，在上，最小值是，

由的定义，在上递减，，

所以当，都有，则的最大值是5，

故答案为：5.

三、双空题

16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为______；若，且平分，则______.

【答案】     0     2

【分析】①设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率；

②由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果.

【详解】依题意直线过抛物线的焦点.设直线的方程为，，，

联立方程组得，则，．

因为，所以，．

因为直线的方程为，

所以直线与抛物线的准线的交点为，

所以直线的斜率为0．

②因为平分，所以，所以．

因为，所以，即

所以，得．

故答案为：①0；②2.

四、解答题

17．通过市场调查，现得到某种产品的资金投入（单位：百万元）与获得的利润（单位：百万元）的数据，如下表所示：

(1)求样本（）的相关系数（精确0.01）；

(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归直线方程；

(3)现投入资金1千万元，求获得利润的估计值．

附：相关系数，，

对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】(1)0.92

(2)

(3)8.25百万元．

【分析】（1）根据相关系数的公式可求；

（2）利用最小二乘法求得，即可得到线性回归方程；

（3）把代入线性回归方程即可求解.

【详解】（1）由题意得，．

因为，，

所以，

，

所以．

故样本（）的相关系数约为

（2），，

故线性回归直线方程为．

（3）当时，百万元．

故现投入资金1千万元，获得利润约为百万元.

18．已知数列的前项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用当时，可得，进而求出数列的通项公式；

（2）根据等比数列的求和公式求得结果.

【详解】（1）因为，所以（），

所以，即（）．

当时，．

因为，所以，所以，即，

则是首项和公比都为3的等比数列，故．

（2）由（1）可得，

则是首项和公比都为-3的等比数列，

故．

19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，是棱上的一点，且．

(1)证明：平面．

(2)若，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用菱形、等腰三角形的性质以及线面垂直的判定定理.

（2）利用线面垂直的判定定理、性质定理以及等体积法进行求解.

【详解】（1）证明：记，连接，则是，的中点．

因为四边形是菱形，所以．

因为，且是的中点，所以．

因为，平面，且，

所以平面．

（2）

连接．因为，且是的中点，所以．

因为，，平面，且，所以平面．

因为，，所以，，所以，

故三棱锥的体积，

因为，所以．

过点作，垂足为，

由题中数据可得，，则．

因为平面，且平面，所以，

则的面积．

设点到平面的距离为，则，解得．

20．已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是，1

【分析】（1）根据椭圆的对称性以及已知建立方程组求解.

（2）利用直线与椭圆的方程联立以及韦达定理、斜率公式进行计算求解.

【详解】（1）由椭圆的对称性可知，，在椭圆上．

由题意可得解得

故椭圆的标准方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则不妨令，．

因为，所以，．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立整理得，

则由，得，，．

因为，，

所以

．

综上，直线，的斜率之和是定值，且该定值为1．

21．已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)当时，曲线在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）求出导函数，计算和，由点斜式（或斜截式）得切线方程；

（2）计算，从而，由此得，然后在此情况下对放缩得，设，利用导数，得出时，恒成立，从而得出得的单调性，证得满足题意，得出参数范围．

【详解】（1）当时，，则，

则，．

故曲线在处的切线方程为．

（2）由题意，，

因为，所以．

因为，所以至少满足（否则含的某个区间上是减函数，不满足时，恒成立），

即，解得．

当时，．

设，显然在上单调递增，

则，即恒成立，

从而在上单调递增，故．

故的取值范围是．

【点睛】方法点睛：由导数解决不等式恒成立问题，常常利用分离参数法分离参数化不等式为，由此只要利用导数求得新函数的最大值，然后解不等式即可得．本题利用临界点满足的性质得出参数的范围（必要条件），然后证明其为充分条件，从而得出结论，这种方法的难点是临界点的取得，如区间的端点．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线交于，两点，，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由消去求解；根据，由求解

（2）先得到直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用直线参数的几何意义求解.

【详解】（1）解：由（为参数），

得，

故曲线的普通方程为．

由，得，

故直线的直角坐标方程为．

（2）由题意知：直线的参数方程为（为参数）．

将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得．

设，对应的参数分别是，，则，，

故．

23．已知函数的最大值是.

(1)求的值；

(2)若（，），求的最小值．

【答案】(1)

(2)8

【分析】(1)根据分段函数的性质求解；

(2)利用基本不等式“1”的妙用即可求解.

【详解】（1）

则在上单调递增，在上单调递减．

故，即．

（2）由（1）可知，

则．

因为，，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

故，即的最小值是8．