2022届陕西省宝鸡中学高三下学期二模理科数学试题含解析

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陕西省宝鸡中学2022届高三下学期二模理科数学试题一、单选题1．已知集合，，则、间的关系为（       ）A． B． C． D．2．复数（其中为虚数单位）的虚部为（       ）A． B． C． D．3．已知命题p：“”是“”的充分不必要条件，命题q：若随机变量，且，则，则下列命题是真命题的是（       ）A． B． C． D．4．从圆上的一点向圆引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（       ）A． B． C． D．5．已知函数的部分图像大致为（       ）A． B．C． D．6．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（       ）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种7．如图为某几何体的三视图（图中小正方形的边长为1），则该几何体的侧面积为（       ）A． B． C． D．8．关于函数的叙述中，正确的有（       ）①的最小正周期为；②在区间内单调递增；③是偶函数；④的图象关于点对称.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④9．二项式的展开式中，其中是无理项的项数共有（       ）A．项 B．项 C．项 D．项10．已知棱长为的正四面体，，，分别是棱，，的中点，则正四面体的外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（       ）A． B． C． D．11．已知定义在上的函数，满足，，且，则（       ）A． B． C． D．12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．二、填空题13．记表示的平面区域为，记表示的平面区域为，则在内任意取一点恰好取自的概率是______.14．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数ξ，使得，其中ξ称为拉格朗日中值.则在区间上的拉格朗日中值ξ=___________.15．若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得；其中正确结论的序号是______.16．t是方程的根，则______．三、解答题17．已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.18．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次.（1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；（2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望.19．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点．(1)证明：平面．(2)求二面角的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求与的面积之比．21．已知函数，.(1)当时，求的值域；(2)讨论极值点的个数.22．在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为.以直角坐标系的坐标原点为极点､轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的一个参数方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于不同两点，，求的最大值.23．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0．（1）若abc＝1，求证：；（2）若ab＝1，(1+a)(1+b)的最小值为m，求不等式|x+1|+|x-1|≤m的解集．参考答案：1．D【解析】【分析】求出集合，即可得出结论.【详解】因为，故.故选：D.2．A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数，所以复数的虚部为，故选：A.3．C【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断命题的真假，利用正态分布的概率公式计算概率判断命题的真假，然后由复合命题的真值表判断各选项．【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为，所以，q为真命题，所以只有为真命题．故选：C．4．B【解析】【分析】由题画出大致图象，由切点弦找出临界点D，结合圆的面积公式即可求解.【详解】如图所示，设为上一点，为圆与的两条切线，为切点弦，因切点弦有无数条，当无数条切点弦交汇时，圆内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分圆的面积，，则，由等面积法得，解得，又对由勾股定理可得，则以为半径的圆的面积为，故圆内不与任何切点弦相交的区域面积为.故选：B5．D【解析】【分析】求出的定义域可排除A；证明是奇函数可排除B；当且趋近于时，可排C，进而可得正确选项.【详解】的定义域为，故排除选项A；定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B；当且趋近于时，，故排除选项C，故选：D6．A【解析】【分析】由题设知分组方式为人数分别为{1,2,2}，应用排列组合数、部分平均分组求不同的安排方法数.【详解】由题设，将老师按各组人数{1,2,2}分组，∴不同的安排方法有种.故选：A.7．B【解析】【分析】根据几何体的三视图可得该几何体为圆锥，再利用侧面积公式求解.【详解】由三视图知该几何体为圆锥，如图所示：其底面半径为，高为，则母线长为，故其侧面积为.故选：B.8．C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】，∴最小正周期，①错误；令，则在上递增，显然当时，②正确；，易知为偶函数，③正确；令，则，，易知的图象关于对称，④错误；故选：C9．D【解析】【分析】根据题意，可考虑求有理项，根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数，即可解出有理项的项数，进而得到无理项的项数即可【详解】二项式的展开式中，通项公式为，，时为有理项共6项，故无理项的项数共有故选：D.10．D【解析】【分析】根据题意，求得外接球球心位置、外接球半径、以及外接球球心到平面的距离，即可求得截面圆半径以及截面面积.【详解】过点作平面的垂线，垂足为，交平面于点，设该四面体外接球球心为，连接，作图如下所示：因为四面体为正四面体，且面，故点为△的外心，则该四面体的球心一定在上，不妨设外接球球心为；因为分别为的中点，则//，//，又，且面，面，故平面//平面，故面，又为中点，故也为中点.因为正四面体的所有棱长为，故，则，；设该四面体的外接球半径为，即，则，在△中，，即，解得，故.即外接球球心到平面的距离为，又外接球半径为，设平面截外接球所得圆的半径为，则，解得，故截面圆的面积为.故选：D.【点睛】本题考察几何体外接球半径的求解，处理本题的关键在于找到球心的外置，求得球半径以及球心到截面的距离，属综合中档题.11．C【解析】【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导的周期，然后求出函数值即可.【详解】,,是奇函数，,.,,由,，的周期为...故选：C12．B【解析】【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出的取值范围，进而求得的取值范围.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，由椭圆和双曲线的几何性质可得，，依题意可知，，代入可得，.故，三角形两边的和大于第三边，故，，故故.故选：B.【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．13．##0.88【解析】【分析】根据题意画出，可行域，由几何概型可求概率.【详解】如图所示，画出可行域，为四边形面积，为三角形面积，求得，，，，，，，故在内任意取一点恰好取自的概率是.故答案为：14．【解析】【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可.【详解】，则由拉格朗日中值的定义可知，函数在区间上的拉格朗日中值满足，所以，所以，则故答案为：15．①②【解析】由题意结合空间位置关系确定、的位置，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，由空间两点间距离公式、方向向量和法向量的应用，逐个判断即可得解.【详解】取的中点，过点在平面内作于，再过点在平面内作于,在正方体中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可证，，则，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图：设，则，，，，，对于命题①，，，则，所以，所以，命题①正确；对于命题②，，则平面的一个法向量为，，令，解得，所以存在点使得平面，命题②正确；对于命题③，，令，整理得，该方程无解，所以不存在点使得，命题③错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查了新概念的应用及空间线面关系、线线关系的判断，考查了空间向量的应用及运算求解能力，属于中档题.16．【解析】【分析】把方程变形（同构化），然后利用函数的单调性，化简方程，再由方程根的概念求解．【详解】由．又设，，时，，增函数，所以，即，所以．故答案为：．17．(1)，(2)【解析】【分析】（1）根据，和递推公式即可求出数列的通项公式；根据等差数列的概念可知为等差数列，再结合已知条件，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可知，再根据错位相减法，即可求出数列的前项和.(1)解：根据题意，，当时，，两式作差可得：a，可得数列为等比数列，令时，，所以的通项公式为.因为，所以为等差数列.因为，，所以公差.故.(2)解：由（1）可知，，.作差可得：，所以，即所以.18．（1）；（2）分布列见解析，3.1分.【解析】【分析】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，根据独立事件乘法原理可求得答案；（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式可求得答案.【详解】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，则，所以；（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，所以X的分布列为：故，则该同学得分的数学期望是3.1分.19．(1)证明见详解(2)【解析】【分析】（1）作中点，连接，证四边形为平行四边形可证，进而得证；（2）作中点，于，于，连接，由二面角定义可证为二面角的平面角，结合几何关系可求二面角的余弦值．(1)证明：作中点，连接，因为为的中位线，所以，又因为，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以平面，平面，所以平面；(2)作中点，于，于，连接，因为，，所以为中点，，，因为为中点，，所以，又因为，所以为等腰直角三角形，，又因为平面平面，平面平面，所以底面，又因为平面，所以，，所以平面，又因为平面，所以，即为二面角的平面角，，所以，二面角的余弦值为．20．(1)；(2).【解析】【分析】(1)由已知可得，再由离心率求得，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；(2)设，，则，写出所在直线方程，求得点坐标，得到直线的方程，再写出方程求解点坐标，把三角形的面积比转化为与点的横坐标的绝对值之比得答案．(1)由题意，，又，，则．椭圆的方程为；(2)设，，则．直线的方程为，取，可得点，直线的斜率为，直线的方程为，又直线的方程为，联立直线与的方程，消去得，，①，，代入①解得点的横坐标，．故与的面积之比为．21．(1)(2)当或时，无极值点，当 时，有1个极大值点，无极小值点.【解析】【分析】（1）通过求导判断出的单调性，即可求出的值域；（2）对参数进行讨论，通过讨论每种情况下的单调性，进而判断出极值的情况.(1)因为，所以，设，，因为，所以，单调递减，则，即，所以在上单调递减，，所以的值域为：(2)因为，所以，设，，因为，则，（1）当，即时，，单调递减，，即，单调递减，无极值，（2）当，即时，，单调递增，，即，单调递增，无极值，（3）当 即时，在上单调递减，则存在，使得，即，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以，，①当，即时，，即恒成立，即，单调递增，无极值，②当，即时，，则存在，使得，时，，，单调递增，时，，，单调递减，是的极大值点，综上所述，当或时，无极值点，当 时，有1个极大值点，无极小值点.22．（1）直线的参数方程为(为参数)，曲线的直角坐标方程为；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）由题意可得直线的参数方程；根据，，将曲线极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理得可得答案.【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，将和代入，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由直线与曲线交于不同两点，，得，把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则，设，对应的参数分别为，，则，，因为，所以，，所以，，所以，所以当且仅当时，的最大值为.【点睛】本题考查的是极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，关键点是要熟练掌握公式及几何意义，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.23．（1）证明见解析；（2）{x|-2≤x≤2}．【解析】【分析】（1）利用基本不等式得到三个同向不等式相加即可得解；（2）利用基本不等式求出，在分类讨论去绝对值可解得结果.【详解】（1）由基本不等式可知，，，所以，当且仅当a＝b＝c时等号成立．（2）因为，当且仅当a＝b＝1时等号成立．故m＝4．若x≥1，则|x+1|+|x-1|＝2x≤4，所以1≤x≤2；若-1＜x＜1，则|x+1|+|x-1|＝2＜4恒成立；若x≤-1，则|x+1|+|x-1|＝-2x≤4，解得x≥-2，所以-2≤x≤-1．综上，不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.X01234P