陕西省榆林市2022届高三文数三模试卷

这是一份陕西省榆林市2022届高三文数三模试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三文数三模试卷
一、单选题
1.已知集合 ， ，则 （    ）
A.                             B.                             C.                             D. 
2.=（    ）
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.从某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（    ）
0.347
4373
8636
9647
3661
4698
3671
6297
7424
6292
4281
1457
2042
5332
3732
1676
(注：表为随机数表的第1行与第2行)
A. 24                                         B. 36                                         C. 46                                         D. 47
4.已知平面向量 ， ， ，则 =（    ）
A. 3                                     B. 3                                     C. 4                                     D. 4
5.函数f(x)＝ 的图象大致为（    ）
A.                                         B. 
C.                                            D. 
6.在 中，内角 的对边分别是 ，已知 ，则 （    ）
A. 1或2                                      B. 1或                                       C. 1                                      D. 2
7.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则 （   ）
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
8.已知函数 ，且 ，则 （    ）
A. -5                                          B. -3                                          C. -1                                          D. 3
9.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1 ， 则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（    ）

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
10.已知函数f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1，则下列说法正确的是（    ）
A. f(x)的最小正周期为π                                          B. f(x)的最大值为2
C. f(x)在[0， ]上是增函数                                  D. f(x)在[0， ]上有4个零点
11.阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马 中， 平面 ，且阳马 的体积为9，则阳马 外接球表面积的最小值是（    ）
A.                                   B.                                   C. 27π                                  D. 
12.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P(0，6)，O为坐标原点，则四边形OPAB面积最小时直线AB的方程是（    ）
A. 3x+4y﹣4=0                   B. 4x+3y﹣4=0                   C. 4x+5y﹣4=0                   D. 5x+4y﹣4=0
二、填空题
13.设x，y满足约束条件 ，则 的最大值是      .
14.某产品的零售价x(元)与每天的销售量(个)统计如下表：
x
6
7
8
9
y
40
31
24
21
据上表可得回归直线方程为 ， =      .(用数字作答)
15.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 （弦 矢 矢 ）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧 和其所对弦 围成的图形，若弧田的弧 长为 ，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为       ．

16.已知双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1 ， F2 ， 以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为       ．
三、解答题
17.在等差数列{ }和等比数列{ }中，已知 ， ， ， ．
（1）.求{ }，{ }的通项公式；
（2）.求数列{ }的前n项和 ．
18.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：

购置新能源汽车
购置传统燃油汽车
合计
男性
100
20
120
女性
50
30
80
合计
150
50
200
参考公式： ，其中 .
参考数据：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
（1）.根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；
（2）.用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率.
19.如图，在棱长为6的正方体 中，点 是 的中点，点 在棱 上，且 ，设直线 ， 相交于点 .

（1）.证明： 平面 .
（2）.求点 到平面 的距离.
20.已知函数f(x)=lnx.
（1）.点P为f(x)图象上一点，求点P到直线x﹣ey+6=0的距离的最小值；
（2）.若关于x的不等式f(x)≤ (x2+a﹣1)恒成立，求实数a的取值范围.
21.已知椭圆 的焦距为 ，且点 在 上.
（1）.求 的方程；
（2）.若直线 与 相交于 ， 两点，且线段 被直线 平分，求 ( 为坐标原点)面积的最大值.
22.在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点P（0，﹣2），以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）.求曲线C的直角坐标方程；
（2）.设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PM|+|PN|的最大值．
23.已知函数f(x)＝|x+a|（a∈R）．
（1）.若f(x)≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求a的值；
（2）.若对任意x∈R，不等式f(x)+|x﹣2a|≥a2﹣4a恒成立，求实数a的取值范围．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ .
故答案为：C.

【分析】由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合M，再由补集的定义即可答案。
2.【答案】 A
【解析】【解答】 .
故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。
3.【答案】 C
【解析】【解答】根据题意得：抽样编号依次为43，36，47，46，第4个是46.
故答案为：C

【分析】 由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，依次选取相应的个体，就可得出答案.
4.【答案】 A
【解析】【解答】∵ ，
∴ .
故答案为：A.

【分析】根据题意由向量的坐标公式和向量模的定义即可得出答案。
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵f（﹣x）＝ ＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，排除B和C，
当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，∴f(x)＞0，排除A，
故答案为：D．

【分析】 根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除B、C，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项A，由此得到答案。
6.【答案】 A
【解析】【解答】由余弦定理知， ，
∴ ，
化简得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．
故答案为：A．

【分析】根据题意由余弦定理代入数值整理即可得出关于c的方程，求解出c的值即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】由已知 ， ，
所以 ， ，
又 ＝ ， ，所以 ．
故答案为：B．

【分析】根据题意对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式计算出结果即可。
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据题意，函数 ，
则 ，则有 ，
故 ，若 ，则 ，
故答案为：C.

【分析】由已知条件结合题意计算出， 代入数值由此得到， 从而得出答案。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：在棱AA1上取一点D，使得AD＝1，连结CD，DM，

则CD＝DM＝ ， ，CD∥A1N，所以∠DCM即为A1N与CM所成的角，
取CM的中点E，连结DE，所以 ，
故 ，所以异面直线A1N与CM所成角的正切值为 ．
故答案为：D．

【分析】由直三棱锥的几何性质，即可得出线线平行，然后由题意即可得出∠DCM即为A1N与CM所成的角，然后由三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：函数f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1
＝2sin22x﹣1+2sin2xcos2x＝sin4x﹣cos4x＝ sin（4x﹣ ）．
所以函数的周期为：T＝ ＝ ，所以A不正确；
函数的最大值为 ，所以B不正确；
，解得 ，
所以f(x)在[0， ]上是增函数，所以C符合题意；
f(x)在[0， ]上有2个零点，所以D不正确．
故答案为：C．

【分析】由已知条件结合二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式，整理即可得出函数的解析式，结合正弦函数的周期公式以及单调性由整体思想即可得出函数的单调区间，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11.【答案】 C
【解析】【解答】由题意可知阳马的体积为： ，
设阳马的外接球的半径为R，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
所以阳马的外接球的表面积 .

故答案为：C.

【分析】 利用阳马的体积，结合外接球的半径，通过余弦定理以及基本不等式求解外接球的表面积的最小值即可.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，设直线AB的方程为x=my+1，
联立 ，可得y2﹣4my﹣4=0.设A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，y1>0，则y1y2=﹣4，
四边形OPAB的面积S= = .
令f(x)= ，则f′(x)= ，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当x=1时，即当y1=1时，四边形OPAB的面积最小，此时A( ，1)，B(4，﹣4)，
直线AB的方程为4x+3y﹣4=0.

故答案为：B.

【分析】 由题意画出图形，设出A，B的坐标及直线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式把四边形APOB的面积表示为y1的函数，再由导数求出最值.
二、填空题
13.【答案】 5
【解析】【解答】由 得： ，由约束条件作出可行域如图(阴影部分)：

平移直线 ，要使 最大，即直线与可行域有交点时在x或y轴上的截距最大，
由图象可知，当直线 经过点 时，截距最大，此时 .
∴ 的最大值为5.
故答案为：5.

【分析】  根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点时，z取得最大值然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。

 
14.【答案】 77
【解析】【解答】由表格数据， = (6+7+8+9)=7.5， = (40+31+24+21)=29，故样本中心(7.5,29)，
∴样本中心代入回归直线方程，有 ，解得 .
故答案为：77.

【分析】 首先过几天由求出样本中心点的坐标，然后代入回归直线方程，即可得到结果.
15.【答案】
【解析】【解答】设圆弧 所对圆心角的弧度为 ，由题可知 ，解得 ．
故扇形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，故弧田实际的面积为 ．
作 分别交 ， 于点 ， ，则 ， ，

所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为 ，
则所求差值为 ．
故答案为： .

【分析】 据题意作出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可.
16.【答案】
【解析】【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
由 ，解得M（﹣ ， ），
因为MF2∥OP，O为F1F2的中点，
所以P为F1M的中点，所以P（﹣ ， ），
将P的坐标代入双曲线的方程，可得 ＝1，
化简可得c2＝2a2 ， 则e＝ ＝ ．
故答案为： ．

【分析】 根据题意联立渐近线bc+ ay=0与以OF1为直径的圆的方程，由此求得M的坐标，由题意可得P为F1M的中点，由中点坐标公式可得P的坐标，代入双曲线的方程整理化简，结合离心率公式，代入数值计算出结果即可。
三、解答题
17.【答案】 （1）解：设等差数列{ }的公差为d，等比数列{ }中的公比为q，
，则 ，
故 ， ；
由 ， ，则 ，
解得 ， ；

（2）解：由（1）得 ，
所以 ①，
2 ②，
①﹣②得， ，
整理得 ．
【解析】【分析】 (1)直接利用等差数列和等比数列的性质建立方程组，求出首项和公差及公比，进一步求出数列的通项公式；
(2)利用错位相减法，直接求出数列{}的前n项和Tn.
 
 
18.【答案】 （1）解：由题中数据可得 .
所以有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.

（2）解：用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，其中男性车主有 人，记为a，b，c，d；
女性车主有 =2人，记为E，F.
从这6位车主中随机抽取2位车主包含的基本事件有：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF，共15种；
至少有1位女性车主包含的基本事件有：aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，dF，EF，共9种.
故所求概率 .
【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。
(2)根据题意由分层抽样的定义求出满足组题意的人数，再由概率公式代入数值计算出结果即可。
 
 
19.【答案】 （1）证明：如图，连接 ，因为 ，所以 ，

所以 ，从而 .
又由条件知 ，所以 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .

（2）解：设 到平面 的距离为 ，由 ，得 .
又 ，所以三棱锥 的体积 .
设 到平面 的距离为 ，在 中， ，
， ，
所以 ， ， .
由 ，得 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
【解析】【分析】(1)根据题意做出辅助线，由中点的性质即可得出线段成比例从而得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件结合三棱锥的体积公式即可得出， 然后由三角形中的几何计算关系代入数值计算出边的大小，再由余弦定理计算出的值，解同角三角函数的基本关系式计算出的值，利用等体积法代入数值计算出结果即可。
20.【答案】 （1）解：设与直线x﹣ey+6=0平行的直线与曲线f(x)=lnx切于P(x0 ， lnx0)，
由f(x)=lnx，得 ，则 ，由 ，得x0=e，
则切点P(e，1)，点P到直线x﹣ey+6=0的距离的最小值为 ；

（2）解：f(x)≤ (x2+a﹣1)恒成立，即a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，
令h(x)=2lnx﹣x2+1，则 ，
当x∈(0，1)时，h′(x)>0，当x∈(1，+∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
∴h(x)有最大值为h（1）=2ln1﹣12+1=0.
∴实数a的取值范围是[0，+∞).
【解析】【分析】 (1)求出与直线x-ey+6=0平行的直线与由导函数的取值计算出曲线f(x)=lnx的切点坐标，再由点到直线的距离公式求解；
(2)问题转化为 a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，令 h(x)=2lnx﹣x2+1 ，利用导数的性质求出其最大值，由此求出实数a的取值范围可.
 
 
21.【答案】 （1）解：依题意可知 ，解得 ，
故 的方程为 .

（2）解：易得直线 的方程为 ，
设 ， ， 为 的中点，其中 ，
因为 ， 在椭圆上，所以 ，
两式相减可得 .
可设直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
则 ，
解得 ，则 ， ，
则 ，
原点到直线 的距离 ，
则 的面积 .
当且仅当 ，即 时， 的面积有最大值，且最大值为 .
【解析】【分析】 (1)根据题意将点M的坐标代入到椭圆的方程，结合椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可求出焦距c的值，求出椭圆的方程，
(2)先根据AB中点M的坐标，求直线AB的斜率，由点斜式设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，，解弦长公式求出AB的长，再由原点到直线AB的高，解三角形的面积公式代入数值求出△AOB的面积，然后利用均值不等式求出最值即可.
22.【答案】 （1）解：曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，
根据 转换为直角坐标方程为 即 ．

（2）解：直线l的倾斜角为α，且过点P（0，﹣2），转换为参数方程为 （t为参数），代入（x﹣2）2+y2＝4，得到： ，
由于 ，所以 ，
故|PM|+|PN|＝4 ，
又 ，
，当 时，取得最大值为4 ，即|PM|+|PN|的最大值为4 ．
【解析】【分析】 (1)根据题意直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，由此即可得出答案。
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用，结合三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.
 
 
23.【答案】 （1）解：若f(x)≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，
即为|x+a|≥|2x﹣1|，即（3x+a﹣1）（x﹣1﹣a）≤0的解集为[0，2]，
可得0，2是方程（3x+a﹣1）（x﹣1﹣a）＝0的两根，
则（a﹣1）（﹣1﹣a）＝0，（a+5）（1﹣a）＝0，
解得a＝1；

（2）解：对任意x∈R，不等式f(x)+|x﹣2a|≥a2﹣4a恒成立，
等价为a2﹣4a≤（|x+a|+|x﹣2a|）min ，
由|x+a|+|x﹣2a|≥|x+a﹣x+2a|＝|3a|，
当（x+a）（x﹣2a）≤0时，取得等号,
所以a2﹣4a≤3|a|，
当a≥0时，a2﹣7a≤0，解得0≤a≤7；
当a＜0时，a2﹣a≤0，该不等式无解．
综上可得，a的取值范围是[0，7]．
【解析】【分析】 （1）由题意可得0，2是方程（3x+a-1）(x-1-a)=0的两根，由代入法，解方程即可得a的值；
(2)由题意可得 a2﹣4a≤（|x+a|+|x﹣2a|）min ， 再利用绝对值不等式的性质，即可求得最小值，再由二次不等式的解法，即可得a的取值范围.