2023届陕西省榆林市高三上学期一模数学（文）试题含解析

2023届陕西省榆林市高三上学期一模数学（文）试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数乘法运算计算出即可得出结果.

【详解】因为，可知复数在复平面内对应的点为，

所以在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对数型函数定义域和一元一次不等式解法可求得集合，再进行集合基本运算即可求得结果.

【详解】由函数可得，即，所以；

易得，

所以.

故选：C

3．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可

【详解】解：对于A，若，则或，故A不正确；

对于B，若，则或，故B不正确；

对于C，若，则或，故C不正确；

对于D，若，则，故D正确.

故选：D.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式计算即可求解.

【详解】由，解得.

故选：A.

5．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案.

【详解】解：因为，所以.

又的图象在处的切线方程为，

所以，解得，

则，所以，代入切线方程得，解得，

故.

故选：B.

6．为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（    ）

A．70 B． C． D．60

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图所有小长方形面积是1可得，根据中位数的定义即可求得结果.

【详解】由题意可得，解得.

因为成绩在的频率为，

成绩在的频率为，

故市民生活幸福指数的中位数在内.

设市民生活幸福指数的中位数为，则，

解得.

故选：C

7．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线的一部分，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】写出焦点坐标，设，由得出点坐标，根据焦半径公式得，再由求得．

【详解】由题意知，设，则，

由抛物线的几何性质知，则，

所以，

所以，

解得.

故选：A．

8．的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦、余弦定理可得，结合即可求解.

【详解】因为，由正弦定理得.又，

所以.因为，

所以，故.

故选：A.

9．在平行四边形中，，则（    ）

A．4 B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据题意，以向量为基底分别表示出向量，再利用向量数量积公式即可求得结果.

【详解】如下图所示：

在平行四边形中，

因为，

所以，

因此.

又，

所以，

故.

故选：B

10．已知四面体外接球的球心与正三角形外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为，则该四面体外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据四面体的几何特征可知，当平面时该四面体的体积最大，计算可得外接球半径即求出外接球的体积.

【详解】设球的半径为，可得.

当平面时，四面体的体积最大，

此时，即，得，

则该四面体外接球的体积.

故选：B

11．已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合正弦函数的图象性质，由于在上恰有3个极大值点，则可列不等式，即可求得的取值范围.

【详解】解：，

因为在上恰有3个极大值点，由，得，

又函数的极大值点满足，

所以，解得.

故选：C.

12．已知，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，根据导数得出其单调性，则结合已知得出，即，即可得出.

【详解】构造函数，

则，

故在上单调递增.

因为，

所以，

故.

故选：D.

二、填空题

13．设满足约束条件，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】根据线性规划的求解过程画出可行域，得出的大小与什么有关，即可平移或旋转目标直线得出答案.

【详解】根据已知画出可行域，如图红色部分，

变形为，即是斜率为的与可行域相交的直线的截距，

由图可知，要使截距在可行域最小，需过直线与的交点，

联立与，解得，

代入得出取得最小值为.

故答案为：.

14．自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若从欧拉数的前4位数字中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为__________.

【答案】

【分析】可以列举出从前4位数字中任选2个所有的可能结果，再选出至少有1个偶数被选中的总数，即可求得结果.

【详解】由题可知，总的事件包括这6种情况，

至少有1个偶数被选中的事件包括这5种情况，

故所求的概率为.

故答案为：

15．已知函数是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】根据函数单调性和对称性以及不等式的特征，可构造函数，利用函数单调性和奇偶性即可解出不等式.

【详解】令函数，

因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，

故是定义在上的奇函数；

因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数，

由，得，

则，则，解得，

故不等式的解集为.

故答案为：

16．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.

【答案】2

【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.

【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，

联立方程组，可得，

则，.

因为为线段的中点，所以的坐标为.

又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，

解得，又，所以，

所以，故.

故答案为：2.

三、解答题

17．第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛.某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表.

已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为.

(1)完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，判断能否有的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)没有

【分析】（1）根据已知得出世界杯足球赛的高中生人数，不关注世界杯足球赛的高中生人数，即可完成列联表；

（2）根据已知公式得出，查表即可得出答案.

【详解】（1）由题可知，关注世界杯足球赛的高中生有人，

不关注世界杯足球赛的高中生有人.

故完成的列联表如下：

（2），

因为，

所以没有的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用和之间的关系式可得，再利用累乘即可求得的通项公式；

（2）写出数列的通项公式利用裂项求和即可得出结果.

【详解】（1）当时，，解得.

当时，由，得，

两式相减得，即，

利用累乘可得，

即，因为，所以；

所以的通项公式为.

（2）由（1）可知，裂项可得，

则.

所以数列的前项和

19．如图，在四棱锥中，平面底面，且.

(1)证明：；

(2)求点A到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，证明平面，得线线垂直；

（2）利用体积法求点面距：．

【详解】（1）取的中点，连接.

因为，所以.

又，所以.

又，所以为正三角形，所以.

因为，且在平面内，所以平面.

又平面，所以.

（2）因为，所以.又，所以，则.

由，得，故，连接，则.

因为平面底面，平面，所以平面，则

连接.因为，所以，

在中，到的距离，则.

设点A到平面的距离为，由，

得，

解得，即点到平面的距离为.

20．已知是椭圆的一个顶点，圆经过的一个顶点.

(1)求的方程；

(2)若直线与相交于两点（异于点），记直线与直线的斜率分别为，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意确定的值，即可求得答案；

（2）设，联立直线和椭圆方程，得到根与系数关系，结合化简求值，可得k的值，验证即得答案.

【详解】（1）因为是的一个顶点，所以.

又圆与坐标轴交于两点，

圆经过的一个顶点,则顶点为，故，

故的方程为.

（2）设，

联立方程组，

消去整理得，，

则，

，

因为，

所以，

整理得，

则，

则，即，

解得或，

当时，在上，不符合题意，时，符合题意，

故.

【点睛】方法点睛：解答关于直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般方法是联立方程，结合根与系数的关系进行化简，要注意的是化简过程计算量较大，比较复杂，要注意计算准确.

21．已知函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若，且当时，，求的最大值.

【答案】(1)单调递减区间为和，单调递增区间为

(2)2

【分析】（1）得出函数定义域，求导得出导数大于小于零即可得出答案；

（2）当时，，等价于当时，，令函数，求导得出，无法确定单调性，则再令函数，求导得出，即在上单调递增，根据，设，，则当时，单调递减，当时，单调递增，则，即可得出答案.

【详解】（1）的定义域为，

，

由，得或，

若，则，当时，，

当时，，

故的单调递减区间为和，单调递增区间为.

（2）因为，所以等价于，

令函数，则，

令函数，则，

则在上单调递增.

因为，

所以，即，

所以当时，单调递减，当时，单调递增，

所以.

故的最大值为2.

22．在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若与交于两点，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用消参法即可得到的普通方程为，根据即可得到的直角坐标方程.

（2）首先设出的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，再根据直线的参数方程的几何性质求解即可.

【详解】（1）消去参数，得到的普通方程为.

由，得.

因为所以的直角坐标方程为.

（2）由题可知，点在上，故的参数方程为（为参数），

代入的普通方程得，

则，，

设对应的参数分别为，

故.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用绝对值的几何意义将表示成分段函数形式，即可解不等式；

(2)利用绝对值不等式得，进而可求的取值范围.

【详解】（1）因为，所以.

当时，,不等式转化为，解得.

当时，,不等式转化为，无解.

当时，,不等式,

转化为，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）因为，所以.

又，所以，

解得或.

故的取值范围为.