2021-2022学年安徽省六安市第一中学高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年安徽省六安市第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知角的终边在第三象限，则点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】根据角的终边所在象限，确定其正切值和余弦值的符号，即可得出结果.

【详解】角的终边在第三象限，则，，点P在第四象限．

故选：D.

2．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及正切函数的性质，即可得出结论

【详解】∵，，，

.

故选：B.

3．函数的零点所在的一个区间是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，函数，可得，

即，根据零点的存在定理，可得函数的零点所在的一个区间是.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中熟记函数零点的存在定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．已知为锐角，为钝角，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.

【详解】因为为锐角，为钝角，，

所以，

，

则

.

故选：C.

5．“”是的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.

【详解】当时，，

即“”是的充分条件；

当时，，

则 或，

则 或,即成立，推不出一定成立，

故“”不是的必要条件，

故选：A.

6．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（       ）

A． B．6 C． D．7

【答案】D

【分析】先求出，再求出即得解.

【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则．

由题设，当时，，则．

因为为奇函数，所以.

故选：D．

7．将函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则（       ）

A．5 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】先由函数图象平移规律可得，再由为偶函数，可得（），则（），再由可得出的值.

【详解】由题意可知，

因为为偶函数，所以（），则（），

因为，所以.

故选：C.

8．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到， 再利用均值不等式可得答案.

【详解】的定义域满足，由，

所以在上恒成立. 所以的定义域为

则

所以，即为奇函数.

设，由上可知为奇函数.

当时，，均为增函数，则在上为增函数.

所以在上为增函数.

又为奇函数，则在上为增函数，且

所以在上为增函数.

所以在上为增函数.

由，即

所以对任意实数x恒成立

即，由

当且仅当，即时得到等号.

所以

故选：C

二、多选题

9．下列函数中，最小正周期为的有（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】逐项分析即得.

【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确；

对于B，的最小正周期为，故B正确；

对于C，的最小正周期为，故C错误；

对于D，的最小正周期为2，故D错误.

故选：AB.

10．已知x，y∈R，且<0，则（       ）

A．x-y>0 B．sinx-siny>0 C．>0 D．>2

【答案】ACD

【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式即可求解.

【详解】因为x，y∈R，且<0，

且，，

A，由题意可得，故A正确；

B，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sinx-siny>0，故B错误；

C，由，则，即，故C正确；

D，因为，则，即，

当且仅当，即取等号，又因为，

所以，故D正确.

故选：ACD

11．下面有四个命题，其中错误的命题有（       ）

A．函数的最小正周期是

B．终边在y轴上的角的集合是

C．在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点

D．角为第二象限角的充要条件是

【答案】BCD

【分析】对于A，先化简后再求其周期，对于B，举例判断，对于C，由于当时，，从而可判断，对于D，由充要条件的定义判断

【详解】对于A，因为，所以函数的最小正周期是，所以A正确，

对于B，当时，，其终边在轴上，所以B错误，

对于C，和均为奇函数，而当时，，所以两函数图象在上无交点，而当时，，所以在同一坐标系中两函数图象只有一个交点，所以C错误，

对于D，当角为第二象限角时，，而当时，角为第二象限角，或第三象限的角，或其终边在轴负半轴上，所以角为第二象限角的必要不充分条件是，所以D错误，

故选：BCD

12．函数（是常数，）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（       ）

A． B．

C．在区间上单调递增 D．若，则的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据图象可确定函数的解析式为，由此计算，可判断A;化简，是否和相等，可判断B; 根据，计算的范围，可判断C；解，解出x的值，即可求得时的最小值，由此判断D.

【详解】由图象可知 , ,

故 ,

将 代入得： ，

则 则函数解析式,

故 ，故A错；

，故B正确；

当时，，故C正确；

令，则或，

则或，

故这时，的最小值为 ，故D正确，

故选：BCD.

三、填空题

13．设函数是以4为周期的周期函数，且时，，则__________．

【答案】0.5

【分析】利用周期和分段函数的性质可得答案.

【详解】，

.

故答案为：.

14．已知函数的图象恒过点P，若点P在角的终边上，则_________．

【答案】

【分析】由对数函数的性质可得点的坐标，由三角函数的定义求得与的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.

【详解】易知恒过点，即，

因为点在角的终边上，所以，

所以，，

所以，

故答案为：.

15．已知，则_________．

【答案】

【分析】先利用诱导公式求出，再利用余弦的二倍角公式求解即可

【详解】由，得，

，

所以，

所以

，

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，方程有四个不相等的实数根．

（1）实数m的取值范围为_____________；

（2）的取值范围为______________．

【答案】         

【分析】利用数形结合可得实数m的取值范围，然后利用对数函数的性质可得，再利用正弦函数的对称性及二次函数的性质即求.

【详解】作出函数与函数的图象，

则可知实数m的取值范围为，

由题可知，，

∵，

∴，即，又，，

∴，又函数在上单调递增，

∴，即.

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛；本题的关键是数形结合，结合对数函数的性质及正弦函数的性质可得，再利用二次函数的性质即解.

五、解答题

17．求值：

(1)．

(2)已知，求的值．

【答案】(1)15

(2)10

【分析】（1）利用指数、对数的运算性质运算可得答案；

（2）先利用诱导公式对进行化简求得，对进行弦化切后代入的值可得答案．

(1)

.

(2)

由，

．

18．已知函数为奇函数，且．

(1)求a和的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可得答案；

（2）利用二倍角公式和诱导公式化简可得，由，可得、，再利用两角差的正弦公式可得答案.

(1)

得，解得，

经检验，为奇函数，

即.

(2)

所以，则

因为，所以，

所以．

19．已知函数,其中,且.

（1）若函数的图像过点,且函数只有一个零点,求函数的解析式;

（2）在（1）的条件下,若,函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.

【答案】（1）或（2）

【解析】（1）因为,根据函数的图像过点,且函数只有一个零点,联立方程即可求得答案;

（2）因为,由（1）可知:,可得,根据函数在区间上单调递增,即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）

根据函数的图像过点,且函数只有一个零点

可得,整理可得,消去

得,

解得或

当时,,

当时,,

综上所述,函数的解析式为:或

（2） 当,由（1）可知:

要使函数在区间上单调递增

则须满足

解得,

实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

20．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调区间；

（2）求函数在上的值域.

【答案】⑴，递增区间为，递减区间

⑵

【分析】整理函数的解析式可得：.

（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.

⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为.

【详解】

.

（1），

递增区间满足：，

据此可得，单调递增区间为，

递减区间满足：，

据此可得，单调递减区间为.

（2），，，

，

的值域为.

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；

(2)将的图象向右平移3个单位，然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)填表见解析；；

(2).

【分析】（1）利用正弦型函数的性质即得；

（2）由题可得，利用正弦函数的性质可得，即得，即求.

(1)

.

(2)

由题可得，

∵，

∴，

∴，

∴，

所以，

∴.

22．已知函数，其中．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围；

(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）当时，解对数不等式即可．

（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可．

（3）根据条件得到恒成立，利用二次函数的性质求最值即求.

(1)

由，得，即

∴且，

解得．

(2)

由题得，即，

①当时，，经检验，满足题意．

②当时，

（ⅰ）当时，，经检验，不满足题意．

（ⅱ）当且时，，，．

是原方程的解当且仅当，即；

是原方程的解当且仅当，即．

因为解集中恰有一个元素则满足题意的m不存在．

综上，m的取值范围为．

(3)

当时，，

所以在上单调递减．

∴函数在区间上的最大值与最小值分别为．

，即，

对任意成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，

当时，y有最小值，由，得．

故m的取值范围为．