2022-2023学年安徽省六安第一中学高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年安徽省六安第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．定义域为 D．在单调递减

【答案】C

【分析】根据函数为幂函数，得到，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函数，也不是偶函数.

【详解】为幂函数，故，解得：，

所以，定义域为，不关于原点对称，

所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误，

在上单调递增，D错误.

故选：C

2．已知集合，则＝（    ）

A．{x|1＜x≤4} B．{x|0＜x≤6} C．{x|0＜x＜1} D．{x|4≤x≤6}

【答案】A

【分析】化简集合，按照补集定义求出，再按交集定义，即可求解.

【详解】,

或，

，

.

故选:A.

【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.

3．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.

【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．

故选：A

4．设，，，则a，b，c的大小关系是

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a

【答案】C

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．

【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，

b=log0.40.3＞log0.40.4=1，

c=log80.4＜log81=0，

∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．

故选C．

【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．

5．下列说法中，正确的是（    ）

A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角

C．是第二象限的角 D．是终边相同的角

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解

【详解】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；

对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角，

此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；

对于C：是第三象限的角，故C错误；

对于D：因为，

所以是终边相同的角，故D正确；

故选：D

6．一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）

A．小时 B．小时 C．小时 D．小时

【答案】A

【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.

【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，

则，整理可得：，

，

，，

，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.

故选：A.

7．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称

C．的图象关于点对称 D．的解析式可改写成

【答案】B

【分析】对于A，由，可得，又由于在上不单调，从而可得在区间上也不单调，即可判断为错误；

对于B，因为，取最小值，所以得的图象关于直线对称，从而判断为正确；

对于C，由选项B可得的图象关于直线对称，从而判断为错误；

对于D，由诱导公式可得，从而判断为错误.

【详解】解：对于A，当时，，因为在上不单调，所以在区间上也不单调，故错误；

对于B，当时，，又因为，取最小值，

所以的图象关于直线对称，故B正确；

对于C，由选项B可知，所以的图象关于直线对称，故错误；

对于D，因为，故错误.

故选：B.

8．已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若函数（其中且）恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数（其中且）恰有个不同的零点，得，即，恰有个不同的解，，又得函数是周期函数，且最小正周期，函数为偶函数，图象关于直线对称，根据数形结合及即可.

【详解】由题知，

因为函数（其中且）恰有个不同的零点，

所以，即，恰有个不同的解，

令

因为由函数是偶函数知，函数的图象关于轴对称，

由，

所以函数是周期函数，且最小正周期，

因为易知函数为偶函数，图象关于直线对称，

当时，由函数的图象与函数的图象知，

函数的图象与函数的图象有且只有2个交点，

即方程有且只有2个不相等的实数根，不符合题意，舍去；

当时，在同一坐标系中作出函数图象与函数的图象，

如图所示，由图知，函数图象与函数的图象有6个不同交点，

即方程有6个不相等的实数根，

所以，解得，

故选：B.

二、多选题

9．已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A． B．不等式的解集为

C． D．不等式的解集为

【答案】BC

【分析】根据题意结合韦达定理，即可得到，然后对选型逐一判断，即可得到结果.

【详解】∵关于的不等式的解集为，

∴，即，；故选项A错误；

不等式可化为，故不等式的解集为，故选项B正确；

，故选项C正确；

∵，∴，

即，且，所以的解集为R，故选项D错误；

故选：BC.

10．对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，上述结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用指数幂的运算和指数函数的性质判断.

【详解】对于A，，，则，正确；

对于B，，，，错误；

对于C，∵在定义域中单调递增，∴，正确；

对于D，，又，

则，错误；

故选：AC．

11．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

12．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为4 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABD

【解析】由可得，，然后可判断出CD的正误.

【详解】因为

所以，当且仅当，即时等号成立，故A正确

因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确

因为，

所以的最大值为，故C错误

因为

所以D正确

故选：ABD

【点睛】易错点睛：运用基本不等式求解最值时，要验证是否满足“一正二定三相等”，否则容易出错.

三、填空题

13．求值：______.

【答案】

【解析】利用诱导公式化简三角函数.

【详解】

故答案为：

14．已知，，，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据三角函数诱导公式及和差公式计算即可得出答案.

【详解】

根据诱导公式得：

由正切函数的和差公式，且，上式可计算得：

故答案为：.

15．已知，则的值是________．

【答案】##0.875

【分析】先利用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式化简可求得，再平方，结合平方关系及二倍角的正弦公式即可得解.

【详解】

,

所以，

则，即，

所以.

故答案为：.

16．已知 ，方程与的根分别为，若，则的取值范围为___________．

【答案】

【分析】由题意知，与图象交点的横坐标分别为，数形结合知，结合，即可求解.

【详解】方程的根，即与图象交点的横坐标，

方程的根，即与图象交点的坐标，

而与的图象关于直线轴对称，如图所示：

与交点为，，

，

又，，即

故答案为：

四、解答题

17．求（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解.

（2）利用指数幂的运算性质即可求解.

【详解】（1）原式

.

（2）原式

18．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为.

(1)求的值；

(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．

（2）由题意利用诱导公式求得，再将化为，即可求得答案．

【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为，

所以，则．

（2）由题知，则，，则 ，

故

.

19．已知函数的最大值为5．

(1)求a的值和的最小正周期；

(2)求的单调递增区间．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据正弦函数的值域结合题意可求得，再根据周期公式求周期即可；

（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.

【详解】（1）由题意，，

；

（2）令，解得，

∴增区间为．

20．已知函数.

（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；

（2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）函数的定义域为转化为恒成立问题，利用判别式，求出a的范围；

（2）用分离参数法，把求a的范围转化为恒成立问题，求最值.

【详解】（1）因为函数的定义域为.

所以恒成立，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

（2）若对于任意，恒有，

则对于任意，恒有成立，

即对于恒成立，

记，，则只需.

当时，，所以，

所以，所以，

所以实数的取值范围是.

【点睛】求参数范围的方法:

（1）不分离常数，转化为不等式，解不等式即可；

（2）分离参数法.

21．已知函数，．

(1)求的值域；

(2)若关于x的方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦函数的性质结合整体思想即可求得函数的值域；

（2）令，则，令，则题目可转化为函数有两个不等的零点，再根据二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）当时，，

所以，

所以，

故的值域为；

（2）令，则，

令，

根据题意，解得，

此时有两个不同的零点，而在上单调，

所以.

22．已知函数是偶函数．

(1)求的值；

(2)若函数，且在区间上为增函数，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；

（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.

【详解】（1）由是偶函数可得，              ．

则，

即 ,

所以恒成立，

故.

（2）由（1）得，

所以，

令，则 ．

为使为单调增函数，则

①时显然满足题意；

②；

③.

综上：m 的范围为.