2021-2022学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解不等式得A,再根据并集概念得结果

【详解】解：因为，又，

则.

故选：C.

2．命题“”的否定是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“”的否定是，

故选：C

3．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依次判断每个函数的单调区间和奇偶性得到答案.

【详解】在上单调递增，A错误；

在上单调递增，B错误；

是非奇非偶函数，C错误；

是偶函数，且在上单调递减，D正确.

故选：D.

4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）

A． B．( C． D．

【答案】C

【分析】由函数定义域的定义，结合函数有意义，列出相应的不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，即，

则函数满足，解得且，

所以函数的定义域是.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

5．已知，则“”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】结合充分条件与必要条件的定义判断即可

【详解】若，则不一定推出且，比如；但且时一定能推出，故“”是“且”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】本题考查命题的必要不充分条件，属于基础题

6．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用奇偶性、单调性及判断函数值的正负分布情况，再讨论和时不等式的解集情况，最后取并集即可.

【详解】是奇函数，即，故，

又在上是增函数，故在上也是增函数，

故时，时，时，时.

当时，不等式即，故，即；

当时，不等式即，故，

综上，不等式的解集为：.

故选：A.

【点睛】本题的解题关键在于利用函数的单调性和奇偶性准备判断函数值的正负分布情况，即可解出不等式，突破难点.

7．已知函数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，换元得到，计算最小值得到答案.

【详解】，设

故 ，即当时，有最小值

故选：

【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误.

8．若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】因为，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：A

二、多选题

9．已知集合，，若，则实数可能的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】分和两种情况讨论，结合可求得实数的取值.

【详解】当时，成立；

当时，则，

，或，解得或.

综上所述，实数可能的取值为、、.

故选：ABC.

【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数值，求解时不要忽略了对空集的讨论，考查计算能力，属于基础题.

10．若，则下列不等式中正确的是（       ）

A．a+b＞ab B．

C．a＜b D．

【答案】BD

【分析】由已知条件可得，利用不等式的性质，逐一分析各选项，从而确定正确答案．

【详解】解：若，则．

；，，

正确，而不正确；

故选：．

11．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为奇函数

B．函数为减函数

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】将点带入函数得到，判断函数的奇偶性和单调性得到A正确B错误，，C错误，验证得到D选项正确，得到答案.

【详解】数图象经过点，即，即，，

，函数为奇函数，A正确；

，函数不是减函数，B错误；

，C错误；

，，

，

故，D正确.

故选：AD.

12．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ）

A．

B．为奇函数

C．在区间上有最小值

D．的解集为

【答案】ABD

【解析】令，可判断A选项的正误；令，代入，利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用定义法证明函数在上的单调性，可判断C选项的正误；利用函数的单调性与奇偶性解不等式，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，在等式中，令可得，解得，A选项正确；

对于B选项，由于函数的定义域为，

在等式中，令，可得，

所以，，则函数为奇函数，B选项正确；

对于C选项，任取、，且，则，，

所以，，，

则函数在上为减函数，所以，在区间上有最小值，C选项错误；

对于D选项，由可得，

由于函数在上为减函数，则，整理得，解得.

所以，不等式的解集为，D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：

（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义得出结论.

即取值作差变形定号下结论.

三、填空题

13．已知函数，则__________

【答案】1

【分析】直接代入计算即可.

【详解】解：函数，

，.

故答案为：1.

14．已知条件：，条件：．若是的必要不充分条件，则实数的最大值是________．

【答案】

【分析】利用不等式的解法化简，根据必要不充分条件即可得出范围，进而求出最值．

【详解】条件：，化为：，解得．

∵是的必要不充分条件，，

∴．

则实数的取值范围是,

所以实数的最大值是

故答案为：．

15．函数的值域为__________．

【答案】

【详解】函数

令，则.

得.

当时，函数有最大值.

所以值域为.

故答案为.

点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择

16．已知不等式有解，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】讨论二次函数开口方向以及与轴交点个数即可求解.

【详解】解：当时，，符合题意

当时，令，

由不等式有解

即，得

当时， 开口向下，满足有解

符合题意

综上，实数的取值范围为

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)时，求;

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）计算或，再计算交集得到答案.

（2）考虑和两种情况，根据范围的大小得到，解得答案.

【详解】（1）时，，或，

则．

（2）①即时，，符合题意；

②即时，，

∴，∴，解得．

综上所述，或.

18．（1）已知函数满足，求函数的解析式；

（2）化简：.

【答案】（1）（）；（2）

【分析】（1）以代换后，消去可得答案；

（2）利用指数幂的运算性质计算即可.

【详解】解：（1），①

以代换，得，②

由①②两式消去，得（）.

（2）原式.

19．求下列函数的最值

（1）求函数的最小值.

（2）若正数，满足，求的最小值.

【答案】（1）；（2）5.

【分析】（1）化为，再根据基本不等式可求出结果；

（2）化为，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】（1），当且仅当即时等号成立，

故函数的最小值为.

（2）由得，

则，

当且仅当,即，时等号成立，

故的最小值为5.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

20．已知函数.

（1）用分段函数的形式表示该函数.

（2）并画出函数在区间上的图象；

（3）写出函数在区间上的单调区间､最值.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3．

【分析】（1）可将函数解析式转化为；

（2）由解析式即可画出图象；

（3）利用函数的图象，由图象的变化趋势以及图象的最高点和最低点，即可得到答案．

【详解】（1）因为，

所以；

（2）函数在区间上的图象如图所示：

（3）由的图象可得，单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3．

21．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)若实数满足不等式，求的取值范围

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由求得，再由求得，得解析式；

（2）用增函数的定义证明；

（3）由奇函数性质变形不等式，再由单调性化简后可得结论．

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，，

又，所以，，满足．

所以；

（2）设，则，，，

所以，

即，

所以是增函数；

（3）不等式化为，是奇函数，所以，

又是增函数且，所以，解得．

所以的取值范围是．

22．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.

【答案】(1)要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元

(2)当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元

【分析】（1）设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；

（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，可以求得结论．

【详解】（1）解：设每件定价为t元，依题意得，

整理得 ，

解得.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

（2）解：依题意，时，

不等式有解

等价于时，有解

（当且仅当时，等号成立）

．此时该商品的每件定价为30元

当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．