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南京市江北区、栖霞区、江宁区2018-2019学年八年级第二学期期中数学试卷（含答案）
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这是一份南京市江北区、栖霞区、江宁区2018-2019学年八年级第二学期期中数学试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南京市江北区、栖霞区、江宁区2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列调查适合普查是（ ）
A. 了解某品牌手机的使用寿命
B. 了解公民保护环境的意识
C. 了解中央电视合“朗读者”的收视率
D. 了解“月兔二号”月球车零部件的状况
3.如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A. B. C. D.
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AB＝CD B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD＝BC
5.菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的周长等于（ ）
A. 13 B. 52 C. 120 D. 240
6.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7.为了了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取50名学生，并对他们的视力进行分析，则在该调查中，总体指的是_____．
8.林业部门要考察某种幼树在一定条件下移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．
9.某班级40名学生在期中学情分析考试中，分数段在90～100分的频率为0.2，则该班级在这个分数段内的学生有_____人．
10.如图是某冷饮店一天售出各种口味蛋糕数量的扇形统计图，其中售出奶油口味的雪糕150支，那么售出红豆口味雪糕的数量是_____支．
11.某学校为了解本校2000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_____人．
12.如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=______．
13.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝5，则DF＝_____．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是线段BO上一点，若AB＝AE，∠ABE＝65°，则∠OAE＝_____°．
15.如图，在ABCD中，线段BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB=5，BE=8，则CE的长度为________.
16.如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区域内作等，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）
（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；
（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为 ．
18.如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
19.4月22日是世界地球日，为了增强学生环保意识，某中学八年级举行了“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛情况，只抽取了部分学生的成绩（满分100分，得分均为正整数）进行统计，请你根据下面还未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
a
b
（1）a＝ b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级有500名学生，估计八年级学生中竞赛成绩高于80分有多少人？
20.一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球其40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
（2）估计袋中黑球的个数为 只：
（3）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了 个黑球．
21.某校开设武术、舞蹈、剪纸三项活动课程，为了了解学生对这三项活动课程的兴趣情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中只能选一顶），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是 ；
（3）在扇形统计图中，计算女生喜欢剪纸活动课程人数对应圆心角度数；
（4）已知该校有1200名学生，请结合数据简要分析该校学生对三项活动课程的兴趣情况．
22.证明对角线相等的平行四边形是矩形．
23.定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1： ；性质2： ．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
24.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．
25.如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．
26.若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.下列调查适合普查的是（ ）
A. 了解某品牌手机的使用寿命
B. 了解公民保护环境的意识
C. 了解中央电视合“朗读者”的收视率
D. 了解“月兔二号”月球车零部件的状况
【答案】D
【解析】
【分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A．了解某品牌手机的使用寿命适合抽样调查；
B．了解公民保护环境的意识适合抽样调查；
C．了解中央电视合“朗读者”的收视率适合抽样调查；
D．了解“月兔二号”月球车零部件的状况需要全面调查；
故选D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
B．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
C．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
D．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，
∵，∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．
故选A．
【点睛】本题考查几何概率．
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AB＝CD B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD＝BC
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵AB∥CD，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5.菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的周长等于（ ）
A. 13 B. 52 C. 120 D. 240
【答案】B
【解析】
试题解析：菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=12，AO=OC=5，
故菱形的周长为52.
故选B.
6.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的，再求出正方形B的面积=2正方形A的面积，即可得出答案．
【详解】解：设正方形B对角线的交点为O，如图1，
设正方过点O作边的垂线，则OE＝OM，∠EOM＝90°，
∵∠EOF+∠EON＝90°，∠MON+∠EON＝90°，
∴∠EOF＝∠MON，
在△OEF和△OMN中
，
∴△OEF≌△OMN（ASA），
∴阴影部分的面积＝S四边形NOEP+S△OEF＝S四边形NOEP+S△OMN＝S四边形MOEP＝S正方形CTKW，
即图1中阴影部分的面积＝正方形B的面积的四分之一，
同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A的面积的四分之一，
∵图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，
∴正方形B的面积＝正方形A的面积的2倍，
∴图2中重叠部分面积是正方形B面积的，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7.为了了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取50名学生，并对他们的视力进行分析，则在该调查中，总体指的是_____．
【答案】八年级所有学生的视力情况
【解析】
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：由题意知总体是八年级所有学生的视力情况，
故答案为八年级所有学生的视力情况．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
8.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．
【答案】0.88．
【解析】
【分析】
首先结合现实生活，对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法，然后再根据算术平均数的求法计算出这种幼树移植过程中统计的10次的成活率的平均数即可．
【详解】解：
故答案为0.88．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概率是解题的关键．
9.某班级40名学生在期中学情分析考试中，分数段在90～100分的频率为0.2，则该班级在这个分数段内的学生有_____人．
【答案】8
【解析】
【分析】
利用频数=总数×频率可得答案．
【详解】解：40×0.2＝8，
故答案为8．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握概率=频数÷总数.
10.如图是某冷饮店一天售出各种口味蛋糕数量的扇形统计图，其中售出奶油口味的雪糕150支，那么售出红豆口味雪糕的数量是_____支．
【答案】200
【解析】
【分析】
根据扇形统计图中的数据，可以求得售出红豆口味雪糕的数量．
【详解】解：由题意可得，
售出红豆口味雪糕的数量是：150÷30%×40%＝200（支），
故答案为200．
【点睛】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.某学校为了解本校2000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_____人．
【答案】680
【解析】
【分析】
用2000乘以样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【详解】解：2000×＝680，
所以估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有680人．
故答案为680．
【点睛】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．
12.如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=______．
【答案】40°
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，所以BC=BC1，所以∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C1，
∵∠A＝70°，
∴∠BCD＝∠C1＝70°，
∴∠BCC1＝∠C1，
∴∠CBC1＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠ABA1＝40°，
故答案为40°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．
13.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝5，则DF＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝2.5，
∵AF⊥CF，E为AC的中点，
∴EF＝AC＝1.5，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是线段BO上一点，若AB＝AE，∠ABE＝65°，则∠OAE＝_____°．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB=65°，求出∠BAE=50°，根据矩形的性质求出OA=OB，求出∠OAB的度数，即可求出答案．
【详解】解：∵AE＝AB，∠ABE＝65°，
∴∠ABE＝∠AEB＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝50°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴∠OAB＝∠ABE，
∵∠ABE＝65°，
∴∠OAB＝65°，
∴∠OAE＝OAB﹣∠BAE＝65°﹣50°＝15°，
故答案为15．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质、三角形内角和定理，能求出OA=OB是解此题的关键，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
15.如图，在ABCD中，线段BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB=5，BE=8，则CE的长度为________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到CE即可．
【详解】解：∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠DCE＝∠ECB，
∵▱ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD＝5，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠AEB＝∠EBC，∠DEC＝∠ECB，
∴（∠ABC+∠DCB）＝90°，∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，AB＝AE＝5，CD＝DE＝AB＝5，
∴△EBC是直角三角形，AD＝BC＝AE+ED＝10
根据勾股定理：CE＝．
故答案为6
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
16.如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为______．
【答案】1.5或3
【解析】
根据矩形的性质，利用勾股定理求得AC==5，由题意，可分△EFC是直角三角形的两种情况：
如图1，当∠EFC=90°时，由∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，可知点F在对角线AC上，且AE是∠BAC的平分线，所以可得BE=EF，然后再根据相似三角形的判定与性质，可知△ABC∽△EFC，即，代入数据可得，解得BE=1.5；
如图2，当∠FEC=90°，可知四边形ABEF是正方形，从而求出BE=AB=3.
故答案为1.5或3.
点睛：此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，利用勾股定理列方程求解是常用的方法，本题难点在于分类讨论，做出图形更形象直观.
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区域内作等，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）
（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；
（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（3，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B'C′即为所求
（2）如图所示，△A″B″C″即为所求：
（3）第四象限D′的坐标（3，﹣2）．
故答案为（3，﹣2）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18.如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
【详解】证明：（1）如图，
∵AD∥BC，DF∥BE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△AFD与△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD=CB．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19.4月22日是世界地球日，为了增强学生环保意识，某中学八年级举行了“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛情况，只抽取了部分学生的成绩（满分100分，得分均为正整数）进行统计，请你根据下面还未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
a
b
（1）a＝ b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级有500名学生，估计八年级学生中竞赛成绩高于80分的有多少人？
【答案】（1）12，0.24；（2）见解析；（3）八年级学生中竞赛成绩高于80分的有280人
【解析】
分析】
（1）根据频数分布直方图中的数据可以得到a的值，再根据分布表中的数据，即可得到b的值；
（2）根据频数分布表中的数据可以知道60.5～70.5的人数，从而可以将直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据可以得到八年级学生中竞赛成绩高于80分的有多少人．
【详解】解：（1）由统计图可得，
a＝12，
b＝12÷（4÷0.08）＝0.24，
故答案为12，0.24；
（2）补全的频数分布直方图如右图所示
（3）500×（0.32+0.24）＝500×0.56＝280（人），
答：八年级学生中竞赛成绩高于80分的有280人．
【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球其40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
（2）估计袋中黑球的个数为 只：
（3）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了 个黑球．
【答案】（1）0.5；（2）20；（3）10
【解析】
【分析】
（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案；
（2）根据（1）的值求得答案即可；
（3）设向袋子中放入了黑个红球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
【详解】解：（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近，
故摸到黑球的频率会接近0.5，
故答案为0.5；
（2）∵摸到黑球的频率会接近0.5，
∴黑球数应为球的总数的一半，
∴估计袋中黑球的个数为20只，
故答案为20；
（3）设放入黑球x个，
根据题意得：＝0.6，
解得x＝10，
经检验：x＝10是原方程的根，
故答案为10；
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
21.某校开设武术、舞蹈、剪纸三项活动课程，为了了解学生对这三项活动课程的兴趣情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中只能选一顶），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是 ；
（3）在扇形统计图中，计算女生喜欢剪纸活动课程人数对应的圆心角度数；
（4）已知该校有1200名学生，请结合数据简要分析该校学生对三项活动课程的兴趣情况．
【答案】（1）见解析；（2）100；（3）115.2；（4）600人
【解析】
【分析】
（1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，利用条形图中喜欢武术的女生有10人，即可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数；
（2）根据（1）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量；
（3）360°乘以女生中舞蹈类人数所占比例即可得；
（4）用全校学生数×喜欢剪纸的学生在样本中所占比例即可求出．
【详解】解：（1）被调查的女生人数为10÷20%＝50人，
则女生舞蹈类人数为50﹣（10+16）＝24人，
补全图形如下：
（2）样本容量为50+30+6+14＝100，
故答案为100；
（3）扇形图中舞蹈类所占的圆心角度数为360°×＝115.2°，
故答案为115.2；
（4）估计全校学生中喜欢剪纸的人数是1200×＝600，
全校喜欢剪纸的学生有600人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.证明对角线相等平行四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由全等三角形的判定定理SSS证得△ABC≌△DCB，则∠ABC=∠DCB=90°，所以“有一内角为直角的平行四边形是矩形”．
【详解】已知：四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是两条对角线，且AC＝BD．
求证：平行四边形ABCD是矩形．
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ABC＝∠DCB．
又∵∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定．此题通过全等三角形的性质得到同旁内角互补，结合平行线的性质证得平行四边形的两个内角为直角．
23.定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1： ；性质2： ．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
【答案】（1）对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由筝形的定义即可得出结论；
（2）由垂直平分线的性质得出AB=AD，BO=DO，同理：BC=DC，由AS证明△AOB≌△CDO，得出AB=CD，因此AB=CD=BC=AD，即可得出四边形ABCD为菱形．
【详解】解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC；
故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形；
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BO＝DO，
同理：BC＝DC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠ODC，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴AB＝CD＝BC＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、筝形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握筝形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）若△ABC是等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵点E为AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点；
（2）若△ABC是等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD；
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，AD＝BD，
∴平行四边形AFBD是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
25.如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD；
（2）分别进行三个菱形的面积可判断菱形ACBD的面积最小．
【详解】解:（1）如图①②③；
（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20，
图②中，BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积＝×6×8＝24，
图③中，作AH⊥BC于H，设菱形的边长为x，
在Rt△ABH中，AH＝4，AB＝5，则BH＝3，
所以CH＝x﹣3，
在Rt△ACH中，42+（x﹣3）2＝x2，解得x＝
菱形ACBD的面积＝，
所以面积最小的菱形为ACBD．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
26.若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【答案】（1）③④；（2）140°或80°或160°；（3）见解析；（4）∠BCD的度数是45°或135°或90°
【解析】
【分析】
（1）由巧妙四边形的定义，即可得到菱形和正方形是巧妙四边形；
（2）根据绝妙四边形的定义可知：两条对角线都是巧分线，分情况画图进行计算可得结论；
（3）首先根据题意画出图形，然后分别证明两条对角线分成的三角形是等腰三角形即可；
（4）根据AC是四边形ABCD巧分线，可知：△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形时分三种情况画图进行讨论可得结论．
【详解】解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是：③④；
（2）分三种情况，
①当AC＝AD＝AB时，如图1，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40°，
∵AC＝AD＝AB，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；
②当AD＝CD，AB＝BC时，如图2，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝80°；
③在四边形ABCD中，AC＝CD＝BC，如图3，
∴∠CAD＝∠ADC＝40°
∴∠ACD＝∠ACB＝100°
∴∠BCD＝360°﹣100°﹣100°＝160°；
综上，∠BCD＝140°或80°或160°；
故答案为140°或80°或160°；
（3）如图4，连接AC与BD，交于点O，
在梯形ABCD中，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ADC＝108°，
∵AB＝AD＝CD，
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，
∴△BDC也是等腰三角形，
∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，
∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
∴梯形ABCD是绝妙四边形；
（4）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，
∴四边形AHCG是矩形，
∴AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝∠DCA＝15°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图6，
∵AC＝AB＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°
综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了新定义：“巧妙四边形”和“绝妙四边形”的定义和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的判定和性质、正方形和菱形的判定和性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
南京市江北区、栖霞区、江宁区2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列调查适合普查是（ ）
A. 了解某品牌手机的使用寿命
B. 了解公民保护环境的意识
C. 了解中央电视合“朗读者”的收视率
D. 了解“月兔二号”月球车零部件的状况
3.如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A. B. C. D.
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AB＝CD B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD＝BC
5.菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的周长等于（ ）
A. 13 B. 52 C. 120 D. 240
6.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7.为了了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取50名学生，并对他们的视力进行分析，则在该调查中，总体指的是_____．
8.林业部门要考察某种幼树在一定条件下移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．
9.某班级40名学生在期中学情分析考试中，分数段在90～100分的频率为0.2，则该班级在这个分数段内的学生有_____人．
10.如图是某冷饮店一天售出各种口味蛋糕数量的扇形统计图，其中售出奶油口味的雪糕150支，那么售出红豆口味雪糕的数量是_____支．
11.某学校为了解本校2000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_____人．
12.如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=______．
13.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝5，则DF＝_____．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是线段BO上一点，若AB＝AE，∠ABE＝65°，则∠OAE＝_____°．
15.如图，在ABCD中，线段BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB=5，BE=8，则CE的长度为________.
16.如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区域内作等，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）
（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；
（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为 ．
18.如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
19.4月22日是世界地球日，为了增强学生环保意识，某中学八年级举行了“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛情况，只抽取了部分学生的成绩（满分100分，得分均为正整数）进行统计，请你根据下面还未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
a
b
（1）a＝ b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级有500名学生，估计八年级学生中竞赛成绩高于80分有多少人？
20.一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球其40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
（2）估计袋中黑球的个数为 只：
（3）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了 个黑球．
21.某校开设武术、舞蹈、剪纸三项活动课程，为了了解学生对这三项活动课程的兴趣情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中只能选一顶），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是 ；
（3）在扇形统计图中，计算女生喜欢剪纸活动课程人数对应圆心角度数；
（4）已知该校有1200名学生，请结合数据简要分析该校学生对三项活动课程的兴趣情况．
22.证明对角线相等的平行四边形是矩形．
23.定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1： ；性质2： ．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
24.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．
25.如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．
26.若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.下列调查适合普查的是（ ）
A. 了解某品牌手机的使用寿命
B. 了解公民保护环境的意识
C. 了解中央电视合“朗读者”的收视率
D. 了解“月兔二号”月球车零部件的状况
【答案】D
【解析】
【分析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A．了解某品牌手机的使用寿命适合抽样调查；
B．了解公民保护环境的意识适合抽样调查；
C．了解中央电视合“朗读者”的收视率适合抽样调查；
D．了解“月兔二号”月球车零部件的状况需要全面调查；
故选D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
B．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
C．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
D．如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，
∵，∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．
故选A．
【点睛】本题考查几何概率．
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AB＝CD B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，∠B＝∠D D. AB∥CD，AD＝BC
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵AB∥CD，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5.菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的周长等于（ ）
A. 13 B. 52 C. 120 D. 240
【答案】B
【解析】
试题解析：菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=12，AO=OC=5，
故菱形的周长为52.
故选B.
6.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的，再求出正方形B的面积=2正方形A的面积，即可得出答案．
【详解】解：设正方形B对角线的交点为O，如图1，
设正方过点O作边的垂线，则OE＝OM，∠EOM＝90°，
∵∠EOF+∠EON＝90°，∠MON+∠EON＝90°，
∴∠EOF＝∠MON，
在△OEF和△OMN中
，
∴△OEF≌△OMN（ASA），
∴阴影部分的面积＝S四边形NOEP+S△OEF＝S四边形NOEP+S△OMN＝S四边形MOEP＝S正方形CTKW，
即图1中阴影部分的面积＝正方形B的面积的四分之一，
同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A的面积的四分之一，
∵图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，
∴正方形B的面积＝正方形A的面积的2倍，
∴图2中重叠部分面积是正方形B面积的，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7.为了了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取50名学生，并对他们的视力进行分析，则在该调查中，总体指的是_____．
【答案】八年级所有学生的视力情况
【解析】
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：由题意知总体是八年级所有学生的视力情况，
故答案为八年级所有学生的视力情况．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
8.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．
【答案】0.88．
【解析】
【分析】
首先结合现实生活，对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法，然后再根据算术平均数的求法计算出这种幼树移植过程中统计的10次的成活率的平均数即可．
【详解】解：
故答案为0.88．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概率是解题的关键．
9.某班级40名学生在期中学情分析考试中，分数段在90～100分的频率为0.2，则该班级在这个分数段内的学生有_____人．
【答案】8
【解析】
【分析】
利用频数=总数×频率可得答案．
【详解】解：40×0.2＝8，
故答案为8．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握概率=频数÷总数.
10.如图是某冷饮店一天售出各种口味蛋糕数量的扇形统计图，其中售出奶油口味的雪糕150支，那么售出红豆口味雪糕的数量是_____支．
【答案】200
【解析】
【分析】
根据扇形统计图中的数据，可以求得售出红豆口味雪糕的数量．
【详解】解：由题意可得，
售出红豆口味雪糕的数量是：150÷30%×40%＝200（支），
故答案为200．
【点睛】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.某学校为了解本校2000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_____人．
【答案】680
【解析】
【分析】
用2000乘以样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【详解】解：2000×＝680，
所以估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有680人．
故答案为680．
【点睛】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．
12.如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=______．
【答案】40°
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，所以BC=BC1，所以∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C1，
∵∠A＝70°，
∴∠BCD＝∠C1＝70°，
∴∠BCC1＝∠C1，
∴∠CBC1＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠ABA1＝40°，
故答案为40°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．
13.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝5，则DF＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝2.5，
∵AF⊥CF，E为AC的中点，
∴EF＝AC＝1.5，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是线段BO上一点，若AB＝AE，∠ABE＝65°，则∠OAE＝_____°．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB=65°，求出∠BAE=50°，根据矩形的性质求出OA=OB，求出∠OAB的度数，即可求出答案．
【详解】解：∵AE＝AB，∠ABE＝65°，
∴∠ABE＝∠AEB＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝50°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴∠OAB＝∠ABE，
∵∠ABE＝65°，
∴∠OAB＝65°，
∴∠OAE＝OAB﹣∠BAE＝65°﹣50°＝15°，
故答案为15．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质、三角形内角和定理，能求出OA=OB是解此题的关键，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
15.如图，在ABCD中，线段BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB=5，BE=8，则CE的长度为________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到CE即可．
【详解】解：∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠DCE＝∠ECB，
∵▱ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD＝5，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠AEB＝∠EBC，∠DEC＝∠ECB，
∴（∠ABC+∠DCB）＝90°，∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，AB＝AE＝5，CD＝DE＝AB＝5，
∴△EBC是直角三角形，AD＝BC＝AE+ED＝10
根据勾股定理：CE＝．
故答案为6
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
16.如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为______．
【答案】1.5或3
【解析】
根据矩形的性质，利用勾股定理求得AC==5，由题意，可分△EFC是直角三角形的两种情况：
如图1，当∠EFC=90°时，由∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，可知点F在对角线AC上，且AE是∠BAC的平分线，所以可得BE=EF，然后再根据相似三角形的判定与性质，可知△ABC∽△EFC，即，代入数据可得，解得BE=1.5；
如图2，当∠FEC=90°，可知四边形ABEF是正方形，从而求出BE=AB=3.
故答案为1.5或3.
点睛：此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，利用勾股定理列方程求解是常用的方法，本题难点在于分类讨论，做出图形更形象直观.
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区域内作等，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）
（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；
（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（3，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B'C′即为所求
（2）如图所示，△A″B″C″即为所求：
（3）第四象限D′的坐标（3，﹣2）．
故答案为（3，﹣2）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18.如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
【详解】证明：（1）如图，
∵AD∥BC，DF∥BE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△AFD与△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD=CB．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19.4月22日是世界地球日，为了增强学生环保意识，某中学八年级举行了“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛情况，只抽取了部分学生的成绩（满分100分，得分均为正整数）进行统计，请你根据下面还未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
a
b
（1）a＝ b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级有500名学生，估计八年级学生中竞赛成绩高于80分的有多少人？
【答案】（1）12，0.24；（2）见解析；（3）八年级学生中竞赛成绩高于80分的有280人
【解析】
分析】
（1）根据频数分布直方图中的数据可以得到a的值，再根据分布表中的数据，即可得到b的值；
（2）根据频数分布表中的数据可以知道60.5～70.5的人数，从而可以将直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据可以得到八年级学生中竞赛成绩高于80分的有多少人．
【详解】解：（1）由统计图可得，
a＝12，
b＝12÷（4÷0.08）＝0.24，
故答案为12，0.24；
（2）补全的频数分布直方图如右图所示
（3）500×（0.32+0.24）＝500×0.56＝280（人），
答：八年级学生中竞赛成绩高于80分的有280人．
【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球其40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
（2）估计袋中黑球的个数为 只：
（3）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了 个黑球．
【答案】（1）0.5；（2）20；（3）10
【解析】
【分析】
（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案；
（2）根据（1）的值求得答案即可；
（3）设向袋子中放入了黑个红球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
【详解】解：（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近，
故摸到黑球的频率会接近0.5，
故答案为0.5；
（2）∵摸到黑球的频率会接近0.5，
∴黑球数应为球的总数的一半，
∴估计袋中黑球的个数为20只，
故答案为20；
（3）设放入黑球x个，
根据题意得：＝0.6，
解得x＝10，
经检验：x＝10是原方程的根，
故答案为10；
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
21.某校开设武术、舞蹈、剪纸三项活动课程，为了了解学生对这三项活动课程的兴趣情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中只能选一顶），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是 ；
（3）在扇形统计图中，计算女生喜欢剪纸活动课程人数对应的圆心角度数；
（4）已知该校有1200名学生，请结合数据简要分析该校学生对三项活动课程的兴趣情况．
【答案】（1）见解析；（2）100；（3）115.2；（4）600人
【解析】
【分析】
（1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，利用条形图中喜欢武术的女生有10人，即可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数；
（2）根据（1）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量；
（3）360°乘以女生中舞蹈类人数所占比例即可得；
（4）用全校学生数×喜欢剪纸的学生在样本中所占比例即可求出．
【详解】解：（1）被调查的女生人数为10÷20%＝50人，
则女生舞蹈类人数为50﹣（10+16）＝24人，
补全图形如下：
（2）样本容量为50+30+6+14＝100，
故答案为100；
（3）扇形图中舞蹈类所占的圆心角度数为360°×＝115.2°，
故答案为115.2；
（4）估计全校学生中喜欢剪纸的人数是1200×＝600，
全校喜欢剪纸的学生有600人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.证明对角线相等平行四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由全等三角形的判定定理SSS证得△ABC≌△DCB，则∠ABC=∠DCB=90°，所以“有一内角为直角的平行四边形是矩形”．
【详解】已知：四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是两条对角线，且AC＝BD．
求证：平行四边形ABCD是矩形．
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ABC＝∠DCB．
又∵∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定．此题通过全等三角形的性质得到同旁内角互补，结合平行线的性质证得平行四边形的两个内角为直角．
23.定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1： ；性质2： ．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
【答案】（1）对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由筝形的定义即可得出结论；
（2）由垂直平分线的性质得出AB=AD，BO=DO，同理：BC=DC，由AS证明△AOB≌△CDO，得出AB=CD，因此AB=CD=BC=AD，即可得出四边形ABCD为菱形．
【详解】解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC；
故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形；
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BO＝DO，
同理：BC＝DC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠ODC，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴AB＝CD＝BC＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、筝形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握筝形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是正方形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）若△ABC是等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵点E为AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点；
（2）若△ABC是等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD；
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，AD＝BD，
∴平行四边形AFBD是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
25.如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD；
（2）分别进行三个菱形的面积可判断菱形ACBD的面积最小．
【详解】解:（1）如图①②③；
（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20，
图②中，BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积＝×6×8＝24，
图③中，作AH⊥BC于H，设菱形的边长为x，
在Rt△ABH中，AH＝4，AB＝5，则BH＝3，
所以CH＝x﹣3，
在Rt△ACH中，42+（x﹣3）2＝x2，解得x＝
菱形ACBD的面积＝，
所以面积最小的菱形为ACBD．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
26.若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【答案】（1）③④；（2）140°或80°或160°；（3）见解析；（4）∠BCD的度数是45°或135°或90°
【解析】
【分析】
（1）由巧妙四边形的定义，即可得到菱形和正方形是巧妙四边形；
（2）根据绝妙四边形的定义可知：两条对角线都是巧分线，分情况画图进行计算可得结论；
（3）首先根据题意画出图形，然后分别证明两条对角线分成的三角形是等腰三角形即可；
（4）根据AC是四边形ABCD巧分线，可知：△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形时分三种情况画图进行讨论可得结论．
【详解】解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是：③④；
（2）分三种情况，
①当AC＝AD＝AB时，如图1，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40°，
∵AC＝AD＝AB，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；
②当AD＝CD，AB＝BC时，如图2，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝80°；
③在四边形ABCD中，AC＝CD＝BC，如图3，
∴∠CAD＝∠ADC＝40°
∴∠ACD＝∠ACB＝100°
∴∠BCD＝360°﹣100°﹣100°＝160°；
综上，∠BCD＝140°或80°或160°；
故答案为140°或80°或160°；
（3）如图4，连接AC与BD，交于点O，
在梯形ABCD中，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ADC＝108°，
∵AB＝AD＝CD，
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，
∴△BDC也是等腰三角形，
∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，
∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
∴梯形ABCD是绝妙四边形；
（4）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，
∴四边形AHCG是矩形，
∴AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝∠DCA＝15°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图6，
∵AC＝AB＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°
综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了新定义：“巧妙四边形”和“绝妙四边形”的定义和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的判定和性质、正方形和菱形的判定和性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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