第二章测评 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年）

第二章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.已知在▱ABCD中，=(2，8)，=(-3，4)，则= (　　)

A.(-1，-12) B.(-1，12)

C.(1，-12) D.(1，12)

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以=(-1，12).

【答案】B

2.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(　　)

A.a=b B.a·b=1

C.a=-b D.|a|=|b|

【解析】两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A，C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b=1不成立，所以选项B不正确;|a|=|b|=1，则选项D正确.

【答案】D

3.如图，a-b等于(　　)

A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2

C.e1-3e2 D.3e1-e2

【解析】a-b=e1-3e2.

【答案】C

4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=(　　)

A.

B.-

C.-

D.

【解析】).

【答案】D

5.已知A船在灯塔C北偏东70°方向2 km处，B船在灯塔C北偏西50°方向3 km处，则A，B两船的距离为(　　)

A. km

B. km

C.(+1) km

D.(-1) km

【解析】根

据题意，在平面直角坐标系中作示意图，如图所示，

易知在△ABC中，BC=3，AC=2，∠BCA=120°，故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA，

解得AB2=19，则AB=.故选A.

【答案】A

6.已知a，b，c是共起点的向量，a，b不共线，且存在m，n∈R使c=ma+nb成立，若a，b，c的终点共线，则必有              (　　)

A.m+n=0 B.m-n=1

C.m+n=1 D.m+n=-1

【解析】设=a，=b，=c，

因为a、b、c的终点共线，

所以设=λ，即=λ()，

所以=(1-λ)+λ，即c=(1-λ)a+λb.

又c=ma+nb，所以

所以m+n=1.

【答案】C

7.在100 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高是(　　)

A. m B. m

C. m D. m

【解析】如

图所示，山高为AB=100 m，塔高为CD，

根据题意可知∠BCA=60°，

∠CBD=30°.

在Rt△ABC中，

BC=，

在△BCD中，∠CBD=∠BCD=30°，∠BDC=120°，

由正弦定理得，CD=.故选D.

【答案】D

8.已知||=||=||=1，D为BC的中点，且||=，则的最大值为(　　)

A. B. C. D.2

【解析】因

为||=||=||=1，所以A，B，C在以O为圆心半径为1的圆上.

以O为原点，OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

因为||=，||=1，D为BC的中点，所以|OD|=，

则B-，-，C，-，D0，-，设A(x，y)，则=-x，--y，=(，0)，所以=-x，因为-1≤x≤1，当A与E重合，即x=-1时，的最大值为.故选C.

【答案】C

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

9.已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则A=(　　)

A.30° B.60° C.150° D.120°

【解析】因为S=bcsin A=，

所以×2×sin A=，

所以sin A=，因为0°<A<180°，

所以A=60°或120°.

故选BD.

【答案】BD

10.下列命题中，正确的是(　　)

A.对于任意向量a，b，有|a+b|≤|a|+|b|

B.若a·b=0，则a=0或b=0

C.对于任意向量a，b，有|a·b|≤|a||b|

D.若a，b共线，则a·b=±|a||b|

【解析】由向量加法的三角形法则可知A正确;

当a⊥b时，a·b=0，故B错误;

因为|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|，故C正确;

当a，b共线同向时，a·b=|a||b|cos 0°=|a||b|，

当a，b共线反向时，a·b=|a||b|cos 180°=-|a||b|，故D正确.故选ACD.

【答案】ACD

11.(2020福建宁化第一中学高一月考)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是(　　)

A.b=7，c=3，C=

B.b=5，c=6，C=

C.a=6，b=3，B=

D.a=20，b=15，B=

【解析】A选项，因为C=，为锐角，c=3<bsin C=，所以三角形无解;

B选项，因为C=，为锐角，c=6>b=5，所以三角形有一解;

C选项，因为B=，为锐角，b=3=asin B=3，所以三角形有一解;

D选项，因为B=，为锐角，b=15>asin B=10，所以三角形有两解.故选BC.

【答案】BC

12.在△ABC中，下列结论正确的是(　　)

A.

B.<||·||

C.若()·()=0，则△ABC为等腰三角形

D.若>0，则△ABC为锐角三角形

【解析】，故A错误;

设θ为向量的夹角，因为=||·||·cos θ，而cos θ<1，故<||·||，故B正确;

()·()==0，故||=||，

所以△ABC为等腰三角形，故C正确;

取A=B=，C=，

满足=||||cos A>0，但△ABC为钝角三角形，故D错误.故选BC.

【答案】BC

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若(a+b)∥c，则m=　　　　，|b+c|=　　　　. 

【解析】因为a=(2，-1)，b=(-1，m)，

所以a+b=(1，m-1).

因为(a+b)∥c，c=(-1，2)，

所以2-(-1)·(m-1)=0.

所以m=-1.则b+c=(-2，1)，

则|b+c|=.

【答案】-1　

14.在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，则△ABC的形状是　　　　　. 

【解析】根据余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.

因为B=60°，2b=a+c，

所以=a2+c2-2accos 60°，

整理得(a-c)2=0，故a=c.

又B=60°，所以△ABC是等边三角形.

【答案】等边三角形

15.(2019北京牛栏山一中高三期中)如图是以C为圆心的一个圆，其中弦AB的长为2，则=　　　　. 

【解析】如图，作CD⊥AB交AB于点D，

则，

则=·

=|2=2.

【答案】2

16.在△ABC中，A=30°，AB=2，4≤BC2≤12，则△ABC面积的范围是　　　　. 

【解析】因为在△ABC中，A=30°，AB=2，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 30°=12+AC2-6AC，

又因为4≤BC2≤12，4≤12+AC2-6AC≤12，

解得0<AC≤2，或4≤AC≤6，

而S△ABC=AB·AC·sin 30°=AC，

所以0<S△ABC≤或2≤S△ABC≤3，

故△ABC面积的范围是(0，]∪[2，3].

【答案】(0，]∪[2，3]

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知a=(1，0)，b=(2，1).

(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线?

(2)若=2a+3b，=a+mb且A，B，C三点共线，求m的值.

解(1)ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，

a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).

因为ka-b与a+2b共线，

所以2(k-2)-(-1)×5=0，解得k=-.

(2)因为A，B，C三点共线，a与b不共线，

所以存在实数λ，使得=λ(λ∈R)，

即2a+3b=λ(a+mb)，

整理得(8，3)=(λ+2mλ，mλ)，

所以解得m=.

18.(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2=0，

(1)用表示;

(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形.

(1)解因为2=0，

所以2()+()=0，

2-2=0，

所以=2.

(2)证明如图，

=-

=(2).

故.即DA∥OC，且DA≠OC.

故四边形OCAD为梯形.

19.(12分)(2020山东高一月考)已知长方形AOCD中，OA=3，OC=2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED=45°.

解如图，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，C(2，0)，D(2，3)，E(1，0).

设P(0，y)，则=(1，3)，=(-1，y)，

所以||=，||==3y-1.

代入cos 45°=，

解得y=2y=-舍去.

所以当点P在靠近点A的AB的三等分处时，∠PED=45°.

20.(12分)在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.

(1)求sin∠ACB;

(2)若D为BC的中点，求AD的长度.

解(1)因为在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.

所以由余弦定理可得

BC=

=，

所以由正弦定理，可得

sin∠ACB=.

(2)因为D为BC的中点，所以CD=BC=.

又因为cos C==-，

所以在△ACD中，由余弦定理可得

AD=

=.

21.(12分)为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括:①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

解①需要测量的数据有:A点到M，N点的俯角α1，β1;B点到M，N点的俯角α2，β2;A，B间的距离d(如图所示).

②第一步:计算AM.

由正弦定理得AM=.

第二步:计算AN.

由正弦定理得AN=.

第三步:计算MN.

由余弦定理得

MN=.

22.(12分)(2019海南高二期末(理))如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，线段BC的垂直平分线交线段AC于点D，且DA-DB=1.

(1)求BC的长;

(2)求△BCD的面积S.

解(1)依题意得DB=DC，

因为AC=DA+DC=4，DA-DC=1，

所以DA=，DC=DB=.

在△ABD中，由余弦定理得cos A=，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=，所以BC=.

(2)由(1)知cos A=，所以sin A=，

在△ABC中，由正弦定理得，

即sin C=，

所以S=CD·BC·sin C=.