数学必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理第2课时达标测试

2.6.1　余弦定理与正弦定理

第2课时　正弦定理

1.(2020石家庄实验中学高一月考)若圆的半径为4，a，b，c为圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为(　　)

A.2 B.8 C. D.

【解析】由正弦定理可知=2R，

所以sin A=，

所以S△ABC=bcsin A=.

【答案】C

2.(多选)(2020山东省高一月考)在△ABC中，a=5，c=10，A=30°，则角B的值可以是(　　)

A.105° B.15° C.45° D.135°

【解析】因为a=5，c=10，A=30°，

所以由正弦定理可得，，

即，所以sin C=，

因为a<c，所以A<C，则C=45°或C=135°，

则角B=105°或B=15°.

故选AB.

【答案】AB

3.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=1，b=，A=30°，则B=(　　)

A.30° B.150° 

C.60° D.120°

【解析】由正弦定理，

得sin B=，

又b>a，0°<B<180°，所以B=60°或B=120°.故选CD.

【答案】CD

4.(多选)(2020福建宁化第一中学高一月考)以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)

A.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则a=b

B.在△ABC中，a≥bsin A

C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B，若A>B，则sin A>sin B都成立

D.在△ABC中，

【解析】在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则2A=2B，或A+B=，所以a=b或a2+b2=c2，故A错误.

在△ABC中，由正弦定理得a=，

因为sin B∈(0，1]，所以a≥bsin A，故B正确.

在△ABC中，由正弦定理得sin A>sin B⇔⇔a>b⇔A>B，所以A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确.

在△ABC中，由正弦定理得=2R，所以=2R=，故D正确.故选BCD.

【答案】BCD

5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若bsin A=asin C，c=1，则b=　　　，△ABC面积的最大值为　　　. 

【解析】因为bsin A=asin C，所以由正弦定理可得ba=ac，所以b=c=1;

所以S△ABC=bcsin A=sin A≤，当sin A=1，即A=90°时，三角形面积最大为.

【答案】1　

6.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则=　　　. 

【解析】因为△ABC的外接圆直径为2R=2，

所以=2R=2，

所以=2+1+4=7.

【答案】7

7.(2019西藏拉萨中学高三月考(文))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，B=，bsin C=2sin B.

(1)求b的值;

(2)求△ABC的面积.

解(1)因为bsin C=2sin B，

所以由正弦定理得bc=2b，即c=2，

由余弦定理得b2=22+42-2×2×4cos=28.

所以b=2.

(2)因为a=4，c=2，B=，

所以S△ABC=acsin B=×4×2×=2.

1.(2019山西太原五中高三月考(文))在△ABC中，AB=1，AC=，∠C=，则∠B=(　　)

A. B. 

C. D.

【解析】由正弦定理得，

所以，sin B=，所以B=或B=.故选D.

【答案】D

2.(2019兰州第二中学高二期中(理))在△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围是(　　)

A.x>2 B.x<2

C.2<x≤ D.2<x<

【解析】由正弦定理得，

所以a=sin A，A+C=180°-60°=120°，

由题意得A有两个值，且这两个值之和为180°，

所以利用正弦函数的图象可得60°<A<120°，

若A=90°，这样补角也是90°，只有一解，不合题意，

所以<sin A<1，因为x=sin A，

则2<x<.故选D.

【答案】D

3.(多选)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=2asin B，则A等于(　　)

A. B. C. D.

【解析】因为b=2asin B，

所以由正弦定理得sin B=2sin Asin B，

因为0<B<π，所以sin B>0，

所以2sin A=1，解得sin A=，

因为0<A<π，因此，A=，或A=.故选AC.

【答案】AC

4.(多选)(2020河北正定中学高一月考)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是(　　)

A.b=7，c=3，C=30°

B.b=5，c=4，B=45°

C.a=6，b=3，B=60°

D.a=20，b=30，A=30°

【解析】b=7，c=3，C=30°，由正弦定理可得sin B=>1，无解;

b=5，c=4，B=45°，由正弦定理可得sin C=<1，且c<b，有一解;

a=6，b=3，B=60°，由正弦定理可得sin A==1，A=90°，此时C=30°，有一解;

a=20，b=30，A=30°，由正弦定理可得sin B=<1，且b>a，

则B有两个可能值，不符合题意.

故选BC.

【答案】BC

5.(2020天津静海一中高一月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.

(1)求角A;

(2)若a=4，b=4，求△ABC的面积.

解(1)由正弦定理及，

可得.

因为sin Bsin C≠0，

所以2cos A=1，即cos A=，

又A∈(0，π)，所以A=.

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A

得48=16+c2-4c，

所以c2-4c-32=0，即(c-8)(c+4)=0，

所以c=8或c=-4(舍去).

从而S△ABC=bcsin A=×4×8×=8.

6.(2019北京市陈经纶中学高一期中)欲测量河两岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，受地理条件和测量工具的限制，采用了如下办法:如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，AB=120米，由此可得河宽约为(　　)(精确到1米，参考数据:≈2.45，sin 75°≈0.97)

A.170米 B.110米 C.95米 D.80米

【解析】在

△ABC中，∠ACB=180°-75°-45°=60°，

由正弦定理得

，

所以AC==40，

所以S△ABC=AB·AC·sin∠CAB

=×120×40×sin 75°≈5 703.6，

所以C到AB的距离d=≈95.故选C.

【答案】C