第一章 习题课1——正、余弦函数的图象与性质 精品课时练习 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年）
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1.(2020山东日照一模)函数y=cos2x+是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数
D.最小正周期为2π的偶函数
【解析】函数y=cos2x+=-sin 2x，故是奇函数且最小正周期为=π.故选A.
【答案】A
2.(2019广东佛山期末)函数y=sinx++cos-x的最大值为( )
A.2 B. C. D.1
【解析】因为cos-x=sinx+，所以y=sinx++cos-x=2sinx+，显然其最大值为2.故选A.
【答案】A
3.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2，则ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
【解析】因为ω>0，-≤x≤，
所以-≤ωx≤.
由已知条件知-≤-，所以ω≥.
【答案】B
4.简谐运动y=4sin5x-的相位为 ，初相为 .
【解析】相位是5x-，当x=0时的相位为初相即-.
【答案】5x- -
5.(2019贵州黔南期末)设函数f(x)=cosωx-(ω>0)，若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 .
【解析】因为f(x)≤f对任意的实数x都成立，所以f为函数f(x)的最大值.令ω·=2kπ，解得ω=6k+(k∈Z).又ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值为.
【答案】
6.已知函数f(x)=2sin+1.
(1)当x=时，求f(x)的值;
(2)若存在区间[a，b](a，b∈R，且a<b)，使得y=f(x)在区间[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值.
解(1)当x=时，f(x)=2sin+1=2sin(3π)+1=2sin π+1=1.
(2)f(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-，k∈Z或x=kπ-π，k∈Z，即f(x)的零点间隔依次为.
故若y=f(x)在[a，b]上至少含有6个零点，
则b-a的最小值为2×+3×.
1.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点，0成中心对称，且-<φ<，则函数y=fx+为( )
A.奇函数且在0，内单调递增
B.偶函数且在0，内单调递增
C.偶函数且在0，内单调递减
D.奇函数且在0，内单调递减
【解析】因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点，0中心对称，所以+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ-，k∈Z.又因为-<φ<，所以φ=-，则y=fx+=cos2x+-=cos2x+=-sin 2x，所以该函数为奇函数且在区间0，上单调递减，故选D.
【答案】D
2.(2019全国Ⅰ卷)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间内单调递增 ③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确.当<x<π时，f(x)=2sin x，它在区间内单调递减，故②错误.当0≤x≤π时，f(x)=2sin x，它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时，f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x，它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π，π]上有3个零点-π，0和π，故③错误.当x∈[2kπ，2kπ+π](k∈N*)时，f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π，2kπ+2π](k∈N*)时，f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数，所以f(x)的最大值为2，故④正确.综上可知①④正确，故选C.
【答案】C
3.(多选)(2020山东烟台高三期末)已知函数f(x)=sin(3x+φ)-<φ<的图象关于直线x=对称，则( )
A.函数fx+为奇函数
B.函数f(x)在 上单调递增
C.若|f(x1)-f(x2)|=2，则|x1-x2|的最小值为
D.函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos 3x的图象
【解析】因为直线x=是f(x)=sin(3x+φ)-<φ<的对称轴，
所以3×+φ=+kπ(k∈Z)，则φ=-+kπ(k∈Z)，
当k=0时，φ=-，满足-<φ<，
则f(x)=sin3x-.
fx+=sin3x+-=sin 3x，
因为sin(-3x)=-sin 3x，所以fx+为奇函数，故A正确.
-+2kπ≤3x-+2kπ(k∈Z)，即-π≤x≤π(k∈Z)，
当k=0时，f(x)在区间-上单调递增，故B错误.
若|f(x1)-f(x2)|=2，则|x1-x2|最小为半个周期，即，故C正确.
函数f(x)的图象向右平移个单位长度，
即sin3x--=sin(3x-π)=-sin 3x，故D错误.
【答案】AC
4.(2020山东师范大学附中月考)已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中0<φ<2π，若f(x)≤f对x∈R恒成立，且f>f(π)，则φ等于 .
【解析】由f(x)≤f对x∈R恒成立可知x=是函数f(x)的对称轴，
所以2×+φ=+kπ，k∈Z，
即φ=+kπ，k∈Z，由f>f(π)，
得sin(π+φ)>sin(2π+φ)，
所以-sin φ>sin φ，
即sin φ<0，又0<φ<2π，
所以π<φ<2π，
所以当k=1时，φ=.
【答案】
5.已知函数f(x)=asinx++a+b.
(1)若a=-1，求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.
解(1)当a=-1时，f(x)=-sinx++b-1，
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z)，
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为2kπ+，2kπ+(k∈Z).
(2)因为0≤x≤π，所以≤x+，
所以-≤sinx+≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，
所以a=3-3，b=5.
②当a<0时，
所以a=3-3，b=8.
