人教版九年级数学上册专题01根与系数的四种考法(原卷版+解析)

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根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
类型一、整体代换求值
例1．若是一元二次方程的两个实数根，则 ．
例2．已知，是方程的两根，则 ．
例3．已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
例4．已知方程 的两根分别为 ，，则 的值为 ．
【变式训练1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．
【变式训练2】已知，是方程的两个根，则代数的值为 ．
类型二、降幂思想求值
例．若，是方程的两根，则 ．
【变式训练1】设方程的两个根是，则的取值是 .
【变式训练2】已知，是方程的两个实数根，则
【变式训练3】设a、b是方程的两实数根，则 ．
类型三、构造方程化简求值
例．已知实数、满足，，则 ．
【变式训练1】非零实数m，满足，，则 ．
【变式训练2】若实数a、b满足，，则的值是 ．
类型四、求参数值（易错点）
例．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【变式训练1】已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是 ．
【变式训练2】若，是方程的两个根，且，则m的值为 ．
【变式训练3】关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是 ．
课后训练
1．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（ ）
A．或0B．2或0C．2D．0
2．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
3．已知a，b是方程的两个根，则的值 ．
4．已知方程的两根分别为，则的值为 ．
5．已知方程的两根是，则= .
6．已知关于的二次方程的两个实根为和，且，则的值为 ．
7．已知是方程的两根，则= ．
8．如果一元二次方程的两个根为，，则 ．
9．已知a、b为非零常数，，满足，则 ．
专题01 根与系数的四种考法
【知识点精讲】
根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
类型一、整体代换求值
例1．若是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】/
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．
例2．已知，是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意得，，
∴
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则有，．
例3．已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴把代入方程得：，
可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
例4．已知方程 的两根分别为 ，，则 的值为 ．
【答案】-1
【分析】首先得到代数式 x1x2=1， x12−2021x1=-1，然后整体代入求值．
【详解】解：∵ x2−2021x+1=0 的两根分别为 x1，x2，
∴有 x1x2=1， x12−2021x1=-1，
∴原式= ，
故答案为-1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及方程解得定义，整体思想的应用是解决问题的关键．
【变式训练1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
，
即；
（2）解：由根与系数的关系可知：，，
，
，
解得或，
而，
的值为．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．
【变式训练2】已知，是方程的两个根，则代数的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，再代入降次求值即可．
【详解】解：由题意，得，
，，
原式，
，
，
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
类型二、降幂思想求值
例．若，是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得，，则，，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，，
即，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练1】设方程的两个根是，则的取值是 .
【答案】-42
【分析】根据一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系得到x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1，再化简求得x15=5x1-3，x23=2x2-1，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵方程x2=-x+1的两个根是x1，x2，
∴x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1，
∴x15=(x12)2・x1=(1-x1) 2・x1
=(1-2x1+ x12)・x1=(1-2x1+1-x1)・x1=(2-3x1)・x1=2x1-3x12=2x1-3(1-x1)=5x1-3，
x23= x22・x2=(1-x2)・ x2=x2- x22=x2-(1-x2)=2x2-1，
∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+ x2)-22=20(-1)-22=-42．
故答案为：-42．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
【变式训练2】已知，是方程的两个实数根，则
【答案】
【分析】，是方程的两个实数根，可得 再把降次化为，从而可得答案.
【详解】解： ，是方程的两个实数根，



故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键.
【变式训练3】设a、b是方程的两实数根，则 ．
【答案】2022
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得．
【详解】解：是的两实数根，
，，
，，，
则
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
类型三、构造方程化简求值
例．已知实数、满足，，则 ．
【答案】或
【分析】实数、满足等式，，①当时，，可能是方程的同一个根，两数相等；②当a≠b时，由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．
【详解】解：①当时，原式．
②当时，可以把，看作是方程的两个根．
由根与系数的关系，得，．
∴．故本题答案为：或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“”的情况．
【变式训练1】非零实数m，满足，，则 ．
【答案】/
【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数，满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
【变式训练2】若实数a、b满足，，则的值是 ．
【答案】
【分析】由题意可知，分别是方程的两个实数根，可得．，据此即可求解．
【详解】解：，
，，，
，分别是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
类型四、求参数值（易错点）
例．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
【变式训练1】已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
所以，
依题意得：，
解得4＜m≤5．
故答案是：4＜m≤5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
【变式训练2】若，是方程的两个根，且，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m的一元二次方程是解题的关键．
【变式训练3】关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得出，，整体代入，即可求出．再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式，可求出，最后取其公共解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根是，，
∴，， ∴，
∴．
∵，∴，解得：．
∵该方程有两个实数根，
∴，解得：，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的解的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
课后训练
1．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（ ）
A．或0B．2或0C．2D．0
【答案】C
【分析】先利用根与系数的关系得到，再建立关于m的方程，解方程后代入检验即可．
【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，
∴，
∵，
∴，
∴，
检验：均为该方程的解；
∵，
∴不成立，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．
2．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
3．已知a，b是方程的两个根，则的值 ．
【答案】
【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式
故答案为：﹣14．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴a＜0，b＜0，
∴
∴原式
故答案为：﹣14．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
4．已知方程的两根分别为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，即可求解．
【详解】解：方程的两根分别为，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，那么，．
5．已知方程的两根是，则= .
【答案】
【分析】先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
6．已知关于的二次方程的两个实根为和，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得，，再利用完全平方公式可得，结合，即可求解．
【详解】解：∵关于的二次方程的两个实根为和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题的关键是牢记当一元二次方程有两个实数根时，，．
7．已知是方程的两根，则= ．
【答案】
【分析】先由根与系数的关系结合方程的解可得可得再整体代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴
∴
∴
∴




，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的含义，掌握“利用解的含义与根与系数的关系构建整体代入”是解本题的关键．
8．如果一元二次方程的两个根为，，则 ．
【答案】
【分析】将代入方程可得，利用一元二次方程根与系数的关系求得和的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可；
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程的两根，满足，是解题关键．
9．已知a、b为非零常数，，满足，则 ．
【答案】3
【分析】由题意易得，则有是方程的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是方程的两个根，
∴，
∴；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．