专题02 一元二次方程根的判别式的六种用法-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题02  一元二次方程根的判别式的六种用法

【专题说明】

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．

一、 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况

1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．

解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，

∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.

对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，

Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，

∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．

2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.

(1)不解方程，判别方程根的情况；

(2)若方程有一个根为3，求m的值．

解：(1)Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4m2－4m2＋4＝4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

(2)将x＝3代入方程中，得

9＋2m×3＋m2－1＝0，即m2＋6m＋9＝1，∴(m＋3)2＝1.∴m＋3＝±1.

∴m1＝－2，m2＝－4.

二、利用根的判别式求字母的值或取值范围

3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，

(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

(1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.

∵不论m为何值，(m－2)2≥0，

即Δ≥0.

∴不论m为何值，方程总有实数根．

(2)解：解关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，得

x＝＝.

∴x1＝，x2＝1.

∵方程的两个根都是正整数，

∴是正整数，∴m＝1或m＝2.

又∵方程的两个根不相等，

∴m≠2，∴m＝1.

三、利用根的判别式求代数式的值

4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．

解：∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，

即2m－1＝±4.

∴m＝或m＝－.

当m＝时，＝＝；

当m＝－时，＝＝－.

四、利用根的判别式解与函数综合问题

5．y＝x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为(　　)

A．没有实数根 

B．有一个实数根

C．有两个不相等的实数根 

D．有两个相等的实数根

A　点拨：∵y＝x＋1是关于x的一次函数，

∴≠0.

∴k－1>0，解得k>1.

又一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k，

∴Δ<0.

∴一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.

五、利用根的判别式确定三角形的形状

6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．[来源:Zxxk.Com]

解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.

即b2＋c2＝a2，

∴此三角形是直角三角形．

六、利用根的判别式探求菱形条件

7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．[来源:学科网]

(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．

(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？

解：(1)∵▱ABCD是菱形，

∴AB＝AD.∴Δ＝0，

即m2－4＝m2－2m＋1＝0，∴m＝1.

此时原方程为x2－x＋＝0，

∴x1＝x2＝，

∴当m＝1时，▱ABCD是菱形，菱形ABCD的边长为.

(2)∵AB＝2，∴将x＝2代入原方程得4－2m＋－＝0，

解得m＝，　

故原方程为x2－x＋1＝0，

解得x1＝2，x2＝，∴AD＝.

故▱ABCD的周长为2×＝5.