专题06 最值问题2之胡不归 阿氏圆-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）

专题06  最值问题2之胡不归 阿氏圆(模型讲解）

“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;

2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

胡不归：

模型建立：

如图1：

sinα=k ，求CP+kOP的最小值。

一、         作PD ⊥ OB，则PD=kOP（图2）

二、         当CD最短，CD ⊥ OB时，则P为要求点。(图3)

阿氏圆：

阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似

解题模型：

在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴分别有点C(m, 0), D(0, n).

点P是平面内的一点，且OP=r. 求PC+kPD的最小值 。

阿氏圆一般解题步骤：

第一步：确走动点的运动轨迹（圆），

以点0为圆心、r为半径画圆；

（若圆已经画出则可省略这一步）

第二步：连接动点至圆心0

（将系数不为1的线段的固走端点

与圆心相连接），即连接0P、 0D;

第三步：计算出所连接的这两条线段OP、0D长度；

第四步：计算这两条线段长度的比k;

第五步：在0D上取点 M,使得0M:0P=0P:0D=k;

第六步：连接CM,与圆0交点即为点P.此时CM即所求的最小值.

［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］