专题07 线段最值问题（2）—胡不归问题和阿氏圆问题-备战中考数学二轮专题归纳提升

专题07 线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题

【问题引入】

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．

【题型一——胡不归问题】

【模型介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

【模型建立】

【问题】点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使AP＋BP最小．

【作法】过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN，在直角三角形中将AP 转化为 PE，使得AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．

【解题关键】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

注意：而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

【典型例题】

【例1】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：

（1）AE=_______．

（2）的最小值是_______．

【练1】如图，△ABC中，AB＝AC＝20，tanA=3，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+的最小值是       

【练2】如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，边长为 3，P 是对角线 BD 上的一个动点，则BP＋PC 的最小值是_______．

【练3】如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上

的一动点，则PB +PD的最小值等于________．

【题型二——阿氏圆问题】

【模型介绍】

所谓“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题

【模型建立】

【问题】如图，在Rt?ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值.

【作法】连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，或者先构造比例，再求出CD的长，两种方法只不过是条件互换，其实质都是构造共角的子母相似三角形，得到PD=BP，因此有AP+BP=AP+PD，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求AD的长度．

【解题关键】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造共角的子母相似三角形，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

注意：而这里的P的运动轨迹是一个圆，根据相似可以得到kPB的等线段．

【典型例题】

【例1：向内构造型】

如图，点C坐标为(2，5)，点A的坐标为(7，0)，圆C的半径为，点B在圆C上一动点，OB＋AB的最小值为      。

【练1】如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，圆B的半径为2，P是圆B上一点，则PD＋PC的最小值为        ，PD＋4PC的最小值为        。

【练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值是        。

【例2：向外构造性】

如图，点A、B在⊙O上，OA⊥OB，OA=OB=12，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10.点P是⊙O上一动点，则PC+PD的最小值是        。

【练1】如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C、B重合），则2PD+PB的最小值为        。

【练2】如图⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，则2PC+PE的最小值为        。

【练3】如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，为半径的圆与x轴，y轴分别交于A、B两点，点D为弧AB上的动点，则BD+OD的最小值为        。