2021学年6.3 实数教学设计

这是一份2021学年6.3 实数教学设计，共6页。教案主要包含了课标要求，教学重难点，教学过程，情景导入，初步认识，思考探究，获取新知，运用新知，深化理解，师生互动，课堂小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。

【课标要求】
知识与技能
1．了解无理数和实数的概念，会将实数按一定的标准进行分类．
2．知道实数与数轴上的点一一对应．
过程与方法
1．了解无理数和实数的概念，适时拓展数的观念．
2．通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数形结合”思想．
情感态度价值观
从分类、集合的思想中领悟数学的内涵，激发兴趣．
【教学重难点】
重点：正确理解实数的概念．
难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
问题 请学生回忆有理数的分类，及与有理数相关的概念等．教师引导得出下列结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，如eq \f(9,11)＝0.eq \(8,\s\up6(·))eq \(1,\s\up6(·))，eq \f(5,9)＝0.eq \(5,\s\up6(·))等．
引导学生反向探讨：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？
教学说明
任何一个有限小数和一个无限循环小数都可以化成分数，所以任何一个有限小数和一个无限循环小数都是有理数．
【思考探究，获取新知】
例1 (1)试着写出几个无理数．
(2)判断下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－π，eq \f(1,3)，－2.7，0.323323332…，eq \r(3)，eq \r(3,27)，－eq \r(49)，eq \r(3,15)，eq \f(π,5).
由学生共同完成上述问题后，要求学生思考：
1．如何把实数分类？
2．用根号形式表示的数一定是无理数吗？
出示实数分类表：
实数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(有理数 有限小数或无限循环小数,无理数 无限不循环小数))
实数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正实数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正有理数,正无理数)),0,负实数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(负有理数,负无理数))))
教学说明
指导学生认识两种分类方式的异同，并特别强调“0”在表中的位置，考虑问题时不能忘记特殊数——0.
例2 将例1(2)中各数填入相应括号内．
整数集合{……}
正数集合{……}
有理数集合{……}
负数集合{……}
无理数集合{……}
由学生完成填空后探究：
每个有理数都可以用数轴上的点表示，无理数是否也可以用数轴上的点表示呢？
例3 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′表示的数是什么？由这个图示你能想到什么？
分析：由图可知，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示的数是π，由此可知，数轴上的点可以表示无理数．
结合教材内容，让学生找到数轴上表示2，3，…等的点．
教学说明
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．实数与数轴上的点是一一对应的．
例4 下列说法错误的是( )．
A.eq \r(16)的平方根是±2 B.eq \r(2)是无理数
C.eq \r(3,－27)是有理数 D.eq \f(\r(2),2)是分数
分析：eq \r(16)的平方根即4的平方根±2，eq \r(3,－27)＝－3是有理数，而eq \f(\r(2),2)是无理数，不属于有理数范围，故其不可能是分数．故选D.
教学说明
判断一个数是不是无理数，不能只看最初形式，而要看化简后的最后结果．
【运用新知，深化理解】
1．下列说法中正确的是( B )
A.eq \r(4)是一个无理数
B．在eq \r(x－1)中x≥1
C．8的立方根是±2
D．若点P(2，a)和点Q(b，－3)关于y轴对称，则a＋b的值是5
2．下列各数中，不是无理数的是( D )
A．π B.eq \r(2) C．2eq \r(6) D.eq \r(3,216)
3．下列各数中：
－eq \f(1,4)，eq \r(7)，3.14159，π，eq \r(\f(10,3))，－eq \r(3,4)，0，0.eq \(3,\s\up6(·))，eq \r(3,8)，eq \r(16)，2.121121112…
其中无理数有 eq \r(7)，π，eq \r(\f(10,3))，－3eq \r(4)，2.121121112…．
有理数有 －eq \f(1,4)，3.14 159，0，0.3，3eq \r(8)，eq \r(16) ．
4．判断正误．
(1)有理数包括整数、分数和零．
(2)不带根号的数是有理数．
(3)带根号的数是无理数．
(4)无理数都是无限小数．
(5)无限小数都是无理数．
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
教学说明
学生自主完成，教师巡视，然后集体订正．
【师生互动，课堂小结】
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？你还有哪些问题，与同伴交流．
【课后作业】
1．布置作业：从教材“习题6.3”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
【教学反思】
本课时应从注重学生认知水平和亲身感受出发，创设学习情境，调动学生主动参与的积极性．强调分类思想的认识，并设计开放性问题引领学生体验知识的形成过程．
第2课时 实数的运算
【课标要求】
知识与技能
1．了解实数范围内的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值．
2．学会比较两个实数的大小．
3．了解在有理数范围内的运算及运算法则\、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算．
过程与方法
在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算．
情感态度价值观
通过创设情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质．
【教学重难点】
重点：有理数的大小比较和运算．
难点：带有绝对值的有理数的运算．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
同学们，我们在七年级的时候学习了有理数相反数，绝对值的概念，那么，这一法则能否推广到实数呢？答案是肯定的，数a的相反数是－a(a表示任意一个实数，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0)
教师讲解课本例1
教学说明
教师可让同学们先计算－6，5.8，－11eq \f(1,2)有理数的绝对值与相反数，从而导出实数相反数和绝对值的法则．
【思考探究，获取新知】
教学导语
在数拓展到实数后，有理数范围内的法则、规律、公式仍然适用于实数范围，请同学们共同回忆，归纳在实数范围内适用的公式，法则．
1．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．
2．两个正实数，绝对值较大的值也大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
3．运算律：
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a.
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(3)乘法交换律：ab＝ba.
(4)乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．
(5)分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
例1 比较下列各实数的大小：
(1)eq \r(2)＋1与2.42；
(2)3eq \r(5)与2eq \r(11)；
(3)eq \r(2－x)与eq \r(3,x－2).
解：(1)∵eq \r(2)≈1.414，
∴eq \r(2)＋1≈2.414<2.42.
(3)(3eq \r(5))2＝32×(eq \r(5))2＝45，(2eq \r(11))2＝22×(eq \r(11))2＝44，由45>44知3eq \r(5)>2eq \r(11).
(3)由eq \r(2－x)为实数知2－x≥0，即x≤2，
∴eq \r(2－x)≥0，eq \r(3,x－3)<0，故eq \r(2－x)>eq \r(3,x－3).
教学说明
实数比较大小常用以下方法：(1)两个负数比较，绝对值大的反而小；(2)被开方数大，它的算术平方根也大；(3)立方数大原数也大．
例2 计算下列各题：
(1)eq \r(3,－27)＋|3－eq \r(5)|－(eq \r(9)－eq \r(3,8))2＋3eq \r(5)；
(2)eq \r(4)－eq \r(3,8)－eq \r(3,－\f(1,27))－(－eq \f(1,3))2.
分析：先逐个化简后，再按照计算法则计算．
解：(1)eq \r(3,－27)＋|3－eq \r(5)|－(eq \r(9)－eq \r(3,8))2＋3eq \r(5)
＝－3＋3－eq \r(5)－1＋3eq \r(5)＝2eq \r(5)－1.
(2)eq \r(4)－eq \r(3,8)－eq \r(3,－\f(1,27))－(－eq \f(1,3))2＝2－2＋eq \f(1,3)－eq \f(1,9)＝eq \f(2,9).
教学说明
实数的运算同有理数的运算律和运算性质、运算顺序一样．
例3 已知实数x，y，z，满足2|4x－4y＋1|＋eq \f(1,8)eq \r(2y＋z)＋(z－eq \f(1,2))2＝0，求(y＋z)·x2的值．
解：由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－4y＋1＝0，,2y＋z＝0，,z－\f(1,2)＝0.))
∴x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,4)，z＝eq \f(1,2).
∴(y＋z)x2＝(－eq \f(1,4)＋eq \f(1,2))·(－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).
教学说明
教师指导学生归纳得到下列结论：
(1)非负数的和等于零的条件是当且仅当每个非负数的值都等于0.
(2)任何实数的绝对值是一个非负数，任何一个非负数的算术平方根也是一个非负数．
【运用新知，深化理解】
1．(1)绝对值等于eq \r(3)的实数是 ±eq \r(3) ，绝对值是eq \f(\r(2),2)的实数是 ±eq \f(\r(2),2) .
(2)eq \f(7,5)－eq \r(2)的相反数是 eq \r(2)－eq \f(7,5) ，绝对值是 eq \r(2)－eq \f(7,5) .
2．比较eq \r(2010)－1与eq \r(1949)＋1的大小．
因为eq \r(2010)－1 eq \r(1949)＋1>eq \r(1849)＋1＝43＋1＝44，故eq \r(2010)－13．由于水资源缺乏，B，C两地不得不从河上的抽水站A处引水，这就需要在A，B，C之间铺设地下管道．有人设计了三种方案：如图甲，图中实线表示管道铺设线路，在图乙中，AD⊥BC于D，在图丙中，OA＝OB＝OC，为减少渗漏、节约水资源，并降低工程造价，铺设线路尽量缩短．已知△ABC是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算．判断哪个铺设方案好．
对于甲：AB＋AC＝2a.对于乙：
∵△ABC为等边三角形，∴BD＝DC＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)a，
在Rt△ADB中，AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \f(\r(3),2)a，
∴AD＋BC＝eq \f(\r(3),2)a＋a＝(eq \f(\r(3),2)＋1)a.
对于丙：OA＝OB＝OC＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a.
∴OA＋OB＋OC＝eq \r(3)a.∵2>eq \r(3)，eq \f(\r(3),2)∴eq \f(\r(3),2)<1.∴eq \f(\r(3),2)＋1>eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
∴2>eq \f(\r(3),2)＋1>eq \r(3)，即2a>(eq \f(\r(3),2)＋1)a>eq \r(3)a.
∴图丙的铺设方案好．
教学说明
第1题较易，2、3题稍难，教师可引导学生完成．
【师生互动，课堂小结】
让学生回顾本节知识，思考整个学习过程，看看知道了什么，还有什么疑惑？
【课后作业】
1．布置作业：从教材“习题6.3”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
【教学反思】
本课时教学应从学生已有的认识出发，借助有理数知识，拓展延伸到实数范围内的知识认识，注重学生间的自主探究、交流，从而完成对实数知识的理解．实数的运算是有理数运算的扩展，引领学生适时地把有理数的运算法则延伸到实数运算领域，理解二者间的联系与区别．