北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用课时作业

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4.2.3　三角函数的叠加及其应用1.cos--sin-的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A. B.- C.0 D.【解析】cos--sin-=cos+sinsin=sin.【答案】A2.函数f(x)=sin x-cosx+的值域为(　　)A.[-2，2] B.[-]C.[-1，1] D.-【解析】f(x)=sin x-cosx+=sin x-cos x+sin x=sin x-cos x=sinx-，所以函数f(x)的值域为[-].【答案】B3.已知f(x)=sinx+-cosx+，则f(1)+f(2)+…+f(2 020)的值为(　　)A.2 B.C.1 D.0【解析】f(x)=sinx+-cosx+=2sinx+-=2sinx，所以周期为6，且f(1)+f(2)+…+f(6)=0，所以f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=.【答案】B4.已知向量a=sinα+，1，b=4，4cos α-，若a⊥b，则sinα+等于(　　)A.- B.-C. D.【解析】因为a⊥b，所以a·b=4sinα++4cos α-=2sin α+6cos α-=4sinα+-=0，所以sinα+=，sinα+=-sinα+=-.【答案】B5.在△ABC中，A=15°，则sin A-cos(B+C)的值为 (　　)A. B.C. D.2【解析】因为A+B+C=π，所以B+C=π-A.所以sin A-cos(B+C)=sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)=.【答案】C6.(多选)关于函数f(x)=cos2x-+cos2x+，下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)的最大值是B.函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数C.函数f(x)在区间上单调递增D.函数f(x)在区间上单调递减【解析】因为f(x)=cos2x-+cos2x+=cos2x-+cos2x-+=cos2x--sin2x-=cos2x--sin2x-=cos2x-=cos2x-.所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为T==π，选项A，B正确;由2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)，所以函数f(x)在区间上单调递减，所以C错误，D正确.【答案】ABD7.化简:sincos=　. 【解析】sincos==×2==sinsin.【答案】sin8.已知cosx-=-，则cos x+cosx-的值为　　　　. 【解析】cos x+cosx-=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x=cos x+sin x=cosx-=-1.【答案】-19.已知函数f(x)=sinx++sinx-+acos x+b(a，b∈R，且均为常数)，(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-，0上单调递增，且恰好能够取到f(x)的最小值2，试求a，b的值.解(1)f(x)=sinx++sinx-+acos x+b=2sin xcos +acos x+b=sin x+acos x+b=sin(x+φ)+b.所以，函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)可知:f(x)的最小值为-+b.所以，-+b=2.另外，由f(x)在区间-，0上单调递增.可知，f(x)在区间-，0上的最小值为f-.所以，f-=-+b=2.解得a=-1，b=4.1.已知cosα-+sin α=，则sinα+的值是 (　　)A.- B. C.- D.【解析】因为cosα-+sin α=，所以cos α+sin α=.所以cos α+sin α=.所以sin+α=.所以sinα+=-sin+α=-.【答案】C2.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若f(x)的最小正周期为π，且f(-x)=-f(x)，则f(x)的解析式为(　　)A.f(x)=-sin 2x B.f(x)=sin 2xC.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos 2x【解析】由三角函数的叠加公式可得f(x)=sin2ωx+φ+，因为f(x)的最小正周期为π，所以2|ω|==2，因为ω>0，所以ω=1，则f(x)=sin2x+φ+.又因为f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，所以φ+=kπ(k∈Z)，即φ=kπ-.又因为0<φ<π，则令k=1，所以φ=，所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.【答案】A3.已知sin x+cos x=2a-3，则a的取值范围是(　　)A.≤a≤ B.a≤C.a> D.-≤a≤-【解析】因为sin x+cos x=2sinx+=2a-3，所以sinx+=a-.所以-1≤a-≤1，即≤a≤.【答案】A4.若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为(　　)A.1 B. C. D.2【解析】依题意得点M，N的坐标分别为(a，sin a)，(a，cos a)，所以|MN|=|sin a-cos a|=sin a·-cos a·=sina-≤(a∈R).所以|MN|max=.【答案】B5.(多选)设f(x)=asin 2x+bcos 2x，ab≠0，若f(x)≤对任意x∈R成立，则下列命题中正确的是 (　　)A.f=0B.C.f(x)是非奇非偶函数D.可能存在经过点(a，b)的直线与函数的图象不相交【解析】依题意f(x)=sin(2x+θ)，由于f(x)≤对任意x∈R成立，故x=是函数f(x)的对称轴，所以2×+θ=kπ+，θ=kπ+.所以f(x)=sin2x+kπ+=±sin2x+.因为f=±sin2×=0，所以A正确.显然，所以B错误.根据f(x)的解析式可知f(x)是非奇非偶函数，所以C正确.要使经过点(a，b)的直线与函数f(x)没有交点，则此直线和x轴平行，且|b|>，两边平方得b2>a2+b2，这不可能，矛盾，所以不存在经过点(a，b)的直线与函数的图象不相交，所以D错误.故选AC.【答案】AC6.若方程12x2+πx-12π=0的两个根分别是α，β，则α+β=　　　　，cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β=　　　　. 【解析】由题意知α+β=-.所以cos α·cos β-sin α·cos β-cos αsin β-sin α·sin β=cos(α+β)-sin(α+β)=2cos(α+β)-sin(α+β)=2sin-(α+β)=2sin=2sin.【答案】-7.已知向量a=(，cos 2ωx)，b=(sin 2ωx，1)(ω>0)，令f(x)=a·b，且f(x)的周期为π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若x∈0，时f(x)+m≤3，求实数m的取值范围.解(1)f(x)=a·b=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin2ωx+，因为f(x)的周期为π，且ω>0，所以ω=1.所以f(x)=2sin2x+.(2)因为x∈0，，所以2x+∈.所以sin2x+∈-，1，所以f(x)∈[-1，2].由f(x)+m≤3，得f(x)max+m≤3即可.所以2+m≤3，所以m≤1.8.已知函数f(x)=sin2x+-cos2x+.(1)写出f(x)的单调区间;(2)求f(x)在-上的值域.解(1)f(x)=sin2x+-cos2x+=2sin2x+-cos2x+=2sin 2x.由2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z)，得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).由2kπ+≤2x≤2kπ+π(k∈Z)，得kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为kπ-，kπ+(k∈Z)，单调递减区间为kπ+，kπ+π(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin 2x，因为-≤x≤，所以-≤2x≤π.所以-≤2sin 2x≤2.所以函数f(x)=sin2x+-cos2x+的值域为[-，2].