北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直课后测评

6.5.1　直线与平面垂直

1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)

A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定

【解析】由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.

【答案】B

2.给出下列三个命题:

①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直;

②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直;

③一条直线在平面内的投影是一点，则这条直线和这个平面垂直.

其中正确的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】①错，②③对.

【答案】C

3.直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是 (　　)

A.a⊥β B.a∥β

C.a⊂β D.a⊂β或a∥β

【解析】若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b;

若a∥β，过a作平面α，α∩β=c，b⊥平面β，c⊂β，

则b⊥c，a∥c，于是b⊥a.故选D.

【答案】D

4.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为　　　　　. 

【解析】由题意知，△PAC，△PAB，△ACB是直角三角形.

因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.

又AC⊥BC，PA∩AC=A，得BC⊥平面PAC，即BC⊥PC.

所以△PCB是直角三角形.所以共有4个直角三角形.

【答案】4

5.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是　　　　　. 

【答案】a与b相交

6.如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点.

(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;

(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

所以BB1⊥AD，因为AB=AC，D是BC的中点，

所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B，

所以AD⊥平面BCC1B1.

(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.

在Rt△AC1D中，AD=，AC1=，sin∠AC1D=，

即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.

1.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是(　　)

A. B.2 C.3 D.4

【解析】如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.

因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥BC.

又PA∩PD=P，

所以BC⊥平面PAD，

所以AD⊥BC.

在△ACD中，AC=5，CD=3，所以AD=4.

在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，

所以PD==4.

【答案】D

2.(多选)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上或其内部运动，且使MN⊥AC.下列命题中为正确命题的是(　　)

A.点M可以与点H重合

B.点M可以与点F重合

C.点M可以在线段FH上

D.点M可以与点E重合

【解析】由题意知HN⊥AC，FN⊥AC，猜想:M在FH上时，均能满足要求.事实上，若M为FH上异于F，H的任意一点，

因为FH⊥底面ABCD，所以HN是斜线MN在底面ABCD上的射影，而HN⊥AC，所以MN⊥AC.

由题意知，当M为H或F时，MN⊥AC，

所以点M可以与点H重合，A正确;

点M可以与点F重合，B正确;

点M可以在线段FH上，C正确.

因为NE∥BC1，且BC1与AC不垂直，

所以点M不能与点E重合，故D错误.

【答案】ABC

3.已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题:

①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.

其中正确的是　　　　　. 

【解析】由PA，PB，PC两两垂直，可得PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC，PC⊥平面PAB，所以PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.

若AB⊥BC，则由PA⊥平面PBC，得PA⊥BC，

又PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，又PC⊥平面PAB，

这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，故④错误.

【答案】①②③

4.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，求证:

(1)DF∥平面ABC;

(2)AF⊥BD.

证明(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG=AE.

因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

所以CD∥AE，且CD=AE，

所以FG∥CD，FG=CD.

所以FG⊥平面ABC，

即四边形CDFG是矩形，所以DF∥CG.

又因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，

所以DF∥平面ABC.

(2)在Rt△ABE中，因为AE=AB，F为BE的中点，

所以AF⊥BE.

因为△ABC是正三角形，所以CG⊥AB，

所以DF⊥AB.

因为AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，

所以AE⊥CG，所以AE⊥DF，

且AE∩AB=A，所以DF⊥平面ABE，

因为AF⊂平面ABE，所以AF⊥DF.

因为BE∩DF=F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE，

所以AF⊥平面BDE，所以AF⊥BD.