北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线备课ppt课件

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　　还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?
角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
　　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
你能写出这个定理的逆命题吗?
　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
　　角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，　　　∴∠PDO=∠ PEO=90°．　　　在Rt△ODP和Rt△OEP中　　　OP=OP，PD=PE　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
　 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°. 在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴DE= 2 AD= 2 ×10=5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半）.
　 在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．(二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．(三)用尺规作角平分线．
三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?
　　发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
三角形角平分线的性质定理
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．