初中数学北师大版八年级下册4 角平分线精品课件ppt

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1、说一说角平分线的性质定理？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2、说一说角平分线的判定定理？
在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
想一想：你还记得用尺规作角平分线的过程吗？
已知： ∠AOB.求作：射线OC,使OC是∠AOB的平分线.
作法：（1）在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.（2）分别以点D和E为圆心,以大于 DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.（3）作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.
操作：作出下面每个三角形的三条角平分线.
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD丄AB,PE丄BC,∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 即∠A的平分线经过点P.
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
在△ABC中，∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.
这是一个证明三条直线交于一点的又一种证明依据.
练习1：在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的(　　)A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．以上均不对
例1：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC， (等边对等角).∵∠C＝90°，∴∠BDE＝90°－45°＝45° .∴BE＝DE(等角对等边).在等腰直角三角形BDE中，∴ AC＝BC＝CD＋BD＝
例1：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.
（2）证明：由(1)的求解过程易知，Rt △ACD≌Rt△AED(HL).∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等)∵ BE＝DE＝CD，∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
练习2：如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.
归纳：三角形三条内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，
1．如图，小林已经画出了一个三角形的两条角平分线，他说：“我不用再将第三个角平分，就能画出第三条角平分线．”他说的有道理吗？他会怎样做？他这样做的理由是什么？
三角形的三条角平分线交于一点
连接CO，并延长交AB于点F，则CF即为∠ACB的平分线
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是(　　)A．∠1>∠2 　　B．∠1＝∠2C．∠1<∠2 　　D．不能确定∠1与∠2的大小关系
3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是(　　)A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上．
证明：过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G.∵BP，CP分别是△ABC的外角平分线，∴PE＝PG，PG＝PF.∴PE＝PF.∴点P在∠BAC的平分线上．
（2018·益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC.则OC＝________.
1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？
2、你还有哪些收获呢？
（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点；
（2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形.
课题：1.4角平分线（2） 
1、三角形三条角平分线的性质：2、应用：