吴江区苏州湾实验学校2020-2021学年八年级下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份吴江区苏州湾实验学校2020-2021学年八年级下学期3月月考数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏州湾实验初级中学2020-2021学年度第二学期阶段调研八年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分）
1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A. 调查我市中学生对生命认识和理解
B. 了解我市各家庭口罩、洗手液、消毒片的储备情况
C. 了解我校全体师生在寒假期间的离苏情况
D. 了解我市全体师生对“七步洗手法”的运用情况
2. 利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（　　）
A. B. C. D.
3. 将中的a、b都扩大4倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大4倍 C. 扩大8倍 D. 扩大16倍
4. “I am a good student.”这句话中，字母“a”出现的频率是(　　)
A 2 B. C. D.
5. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
6. 在菱形中，，如图所示作图痕迹，过此两点的直线交边于点E，连接，．则的度数为（ ）

A. B. C. D.
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线垂直且相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
8. 下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④13个人必有两个人在同一个月过生日；⑤长度分别是，，的三根木条首尾相接，组成一个三角形．其中确定事件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 3月12日植树节，吴江中学甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每小时比乙班少植2棵树，甲班植5棵树所用时间与乙班植6棵树所用时间相等．若设甲班每小时植树x棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分）
11. 写出一个含有字母x的分式（要求：不论x取任何实数，该分式都有意义）_______．
12. 已知中，，则______．

13. 当_____时，分式的值为零．
14. 一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是个红珠子，个白珠子和个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续次摸出的都是红珠子的情况下，第次摸出红珠子的概率是_____．
15. 如图，在矩形中，点E在上且平分，，，则____．

16. 已知菱形中，，一条对角线长为，则它的面积为_______．
17. 已知，则代数式的值为________.
18. 已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是___．
三、解答题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：
（1） （2）
（3） （4）
20 解分式方程：
（1） （2）
21. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，连接、交于点G，连接、交于点H．试判断四边形的形状，并说明理由．

22. 甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的入数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元，请你根据上述信息，就这两个公司的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
23. 青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.
分 组

频数

频率

50.5～60.5

4

0.08

60.5～70.5

14

0.28

70.5～80.5

16



80.5～90. 5





90.5～100.5

10

0.20

合 计



1.00


请解答下列问题：
（1）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；
（2）若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70％以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由.
24. 若分式方程解不大于2，试确定k的取值．
25. 如图，在中，O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与、的平分线交于点E、F．

（1）试探究与的数量关系，并证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形是矩形，并说明理由．
26. 如图,矩形中,点是线段上一动点, 为的中点, 的延长线交BC于.

(1)求证: ;
(2)若,,从点出发,以l的速度向运动(不与重合).设点运动时间为,请用表示的长;并求为何值时,四边形是菱形.
27. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；
①；②；③；④
（2）①将“和谐分式”化成一个整式与分子为常数的分式的和的形式为：_____（写出变形过程）；
②当_____时，分式的值为整数；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
28. 如图1，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．
　　　 　　　

（1）求A、C两点的坐标；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线、及x轴于点M、N和Q．设运动时间为，连接．
①当时，求t的值．
②若四边形为平行四边形，试求出E点的坐标；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分）
1. 下列调查中，适宜采用普查方式是（ ）
A. 调查我市中学生对生命的认识和理解
B. 了解我市各家庭口罩、洗手液、消毒片的储备情况
C. 了解我校全体师生在寒假期间的离苏情况
D. 了解我市全体师生对“七步洗手法”的运用情况
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查的定义即可得出答案．
【详解】解：A选项，适宜抽样调查；
B选项，适宜抽样调查；
C选项，适宜采用普查；
D选项，适宜抽样调查；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抽样调查和普查，熟练其定义是解决问题的关键．
2. 利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.逐个按要求分析即可.
【详解】选项A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故可以选；
选项B，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选；
选项C，不是轴对称图形，是中心对称图形，故不可以选；
选项D，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选.
故选A
【点睛】本题考核知识点：轴对称图形和中心对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和中心对称图形定义.
错因分析 容易题.失分的原因是：没有掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.

3. 将中的a、b都扩大4倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大4倍 C. 扩大8倍 D. 扩大16倍
【答案】B
【解析】
【分析】把原分式中的a、b分别用4a、4b代换得到新分式，然后约分可得到新分式与原分式的关系．
【详解】解：将中的a，b都扩大4倍，则
，
所以将中的a，b都扩大4倍后分式的值扩大4倍．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
4. “I am a good student.”这句话中，字母“a”出现的频率是(　　)
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】这句话中，15个字母a出现了2次，
所以字母“a”出现的频率是.
故选B.
5. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对各选项中的二次根式进行化简为最简二次根式，然后进行判断并选择即可．
【详解】A.，与不是同类二次根式；
B.，与是同类二次根式；
C.，与不是同类二次根式；
D.，与不是同类二次根式，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简及同类二次根式的判断，熟练掌握相关概念是解决本题的关键．
6. 在菱形中，，如图所示作图痕迹，过此两点的直线交边于点E，连接，．则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠EBD=∠ABD-∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠A）=75°，
由作图可知，EA=EB，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=75°-30°=45°，
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线垂直且相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、一组对边相等另一组对边平行的四边形有可能是等腰梯形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法错误，不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，说法正确，符合题意；
故答案为D．
【点睛】此题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．
8. 下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④13个人必有两个人在同一个月过生日；⑤长度分别是，，的三根木条首尾相接，组成一个三角形．其中确定事件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定事件的定义：在一定条件下，一定会发生或一定不会发生的事件，由此进行判断求解即可.
【详解】解：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，这是随机事件；
②测得某天的最高气温是100℃，这是不可能事件；
③掷一次骰子，向上一面的数字是2，这是随机事件；
④13个人必有两个人在同一个月过生日，这是必然事件；
⑤长度分别是1cm，5cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形，这是不可能事件；
∴确定事件有②④⑤，
故选C.
【点睛】本题主要考查了确定事件的定义，解题的关键在于能够熟练掌握确定事件的定义.
9. 3月12日植树节，吴江中学甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每小时比乙班少植2棵树，甲班植5棵树所用时间与乙班植6棵树所用时间相等．若设甲班每小时植树x棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设甲班每小时植树x棵，则乙班每小时植树（x+2）棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲班植5棵树所用时间与乙班植6棵树所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设甲班每小时植树x棵，则乙班每小时植树（x+2）棵，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【详解】解：连接AP，在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，
∴
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．EF与AP互相平分，
∵M是EF中点，
∴AP过点M，M为AP中点，
∴AM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC=BC•AP＝AB•AC，
∴×5AP＝×3×4，
∴AP最短时，AP=，
∴当AM最短时，AM=AP=．
故选A．

【点睛】此题主要考查学生对勾股定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分）
11. 写出一个含有字母x分式（要求：不论x取任何实数，该分式都有意义）_______．
【答案】．
【解析】
【分析】写出的分式使分母不等于0恒成立即可得出答案．
【详解】解：按照题意：可以写分式，因为x2≥0，∴x2+1＞0恒成立，故不论x取任何实数，该分式都有意义
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式以及有意义，熟练分母不等于0是解决本题的关键．
12. 已知中，，则______．

【答案】120°
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，进而根据平行线的性质得出，，结合已知条件计算即可得出答案．
【详解】∵是平行四边形
∴
∴
∴
又
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
13. 当_____时，分式的值为零．
【答案】-2
【解析】
【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零．据此解答即可．
【详解】解：∵分式的值为零
∴，且
解得，
故答案为：-2
【点睛】考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14. 一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是个红珠子，个白珠子和个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续次摸出的都是红珠子的情况下，第次摸出红珠子的概率是_____．
【答案】．
【解析】
【分析】每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子个，其中红珠子个，可以直接应用求概率的公式．
【详解】解：因为每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子个，其中红珠子个，
所以第次摸出红珠子的概率是．
故答案是：．
【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是熟练掌握概率公式．
15. 如图，在矩形中，点E在上且平分，，，则____．

【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC，求得AE=AB=1，然后依据勾股定理可求得BE的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DEC=∠BCE．
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC．
∴∠BEC=∠ECB．
∴BE=BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°．
∴AB=AE=1．
∵由勾股定理得：，
∴BC=BE=AD=．
∴DE=AD-AE=
故答案为：.
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出BE=BC是解题的关键．
16. 已知菱形中，，一条对角线长为，则它的面积为_______．
【答案】或2
【解析】
【分析】易证△ABC是等边三角形，根据一条对角线长为，分两种情形：AC＝或BD＝，当BD＝时，设AO＝x，AB＝2x，在Rt△ABO中，由勾股定理列出方程即可求出AO，同理当AC＝利用勾股定理求解BO即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO=OC，∠AOB=90°，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
当AC＝时，
∴AB＝AC＝，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理得：
，
∴
∴菱形ABCD的面积=
当BD＝时，则BO＝，
设AO＝x，AB＝2x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
x2+3＝（2x）2，
∵x＞0，
∴x＝1，
∴AC=2，
∴菱形ABCD的面积=
∴菱形的面积为：或2．
故答案为：或2．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键．
17. 已知，则代数式的值为________.
【答案】
【解析】
【详解】解：根据，得出a+2b=6ab，再把ab=（a+2b）代入要求的代数式即可得出=．
故答案：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握运算法则，整体代入思想解题是关键．
18. 已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是___．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据，则在的中垂线上，作的中垂线交于 交于，所以：如图的都符合题意，先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案．
【详解】解： ，
在的中垂线上，
作的中垂线交于 交于，
所以：如图的都符合题意，
矩形






四边形是菱形，

，， ，


设 则





的长为： 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）先通分，将分母通分为，然后进行加减计算即可；
（2）先将二次根式进行化简，然后进行乘除计算即可；
（3）先将化简为最简二次根式，同时用平方差公式化简括号内的，最后进行加减计算即可；
（4）先将的分子分母进行因式分解，然后将除法改成乘法并约分，最后通分计算即可．
【详解】（1）解：原式


；
（2）解：原式


；
（3）解：原式

；
（4）解：原式




．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除混合运算及分式的化简，熟练掌握相关运算方法是解决本题的关键．
20. 解分式方程：
（1） （2）
【答案】（1）无解； （2）
【解析】
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：（1）
方程去分母得，
整理，得，
系数化为1，得
经检验，是原方程的增根，
所以，原方程无解；
（2）
去分母得，
整理得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原分式方程的解为
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，连接、交于点G，连接、交于点H．试判断四边形的形状，并说明理由．

【答案】平行四边形，理由见详解．
【解析】
【分析】分别求证BFDE和AFCE为平行四边形，即可得到DF//EB，AF//EC，即可求证平行四边形．
【详解】解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∵E、F分别是、的中点
∴AE=FC，ED=BF
∵AE//FC，ED//BF
∴四边形BFDE和四边形AFCE都为平行四边形
∴BE//FD，AF//EC
∵GF//EH，EG//FH
∴四边形为平行四边形
【点睛】本意主要考查了平行四边形的性质和判定，熟练其判定方法是解决本题的关键．
22. 甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的入数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元，请你根据上述信息，就这两个公司的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
【答案】问题：求甲、乙两公司分别有多少人？；300，250
【解析】
【分析】设乙公司的人数为x人，则甲公司的人数为（1+20%）x，然后根据题意找到等量关系列出方程求解即可得到答案.
【详解】问题：求甲、乙两公司分别有多少人？
解：设乙公司的人数为x人，则甲公司的人数为（1+20%）x，
由题意可得：，
∴，
∴
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴甲公司的人数=人
答：甲、乙两公司分别有300人，250人.
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找出等量关系列出方程求解.
23. 青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.
分 组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
14
0.28
70.5～80.5
16

80.5～90. 5


90.5～100.5
10
0.20
合 计

1.00

请解答下列问题：
（1）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；
（2）若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70％以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）该校的学生心理健康状况不正常，需要加强心理辅导
【解析】
【分析】（1）由50.5～60.5的频数除以对应的频率求出样本的总人数，进而求出70.5～80.5的频率，以及80.5～90.5的频率与频数，补全表格即可；
（2）求出70分以上的人数，求出占总人数的百分比，与70%比较大小即可．
【详解】解：（1）根据题意得：样本的容量为4÷0.08＝50（人），
则70.5～80.5的频率为＝0.32，
80.5～90.5的频率为1﹣（0.08+0.28+0.32+0.20）＝0.12，频数为50×0.12＝6；
填表如下：
分 组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
14
0.28
70.5～80.5
16
0.32
80.5～90.5
6
0.12
90.5～100.5
10
0.20
合 计
50
1.00
补全频率分布直方图如下：

（2）∵0.32＋0.12＋0.20=0.64＜0.70，
∴说明该校的学生心理健康状况不正常，需要加强心理辅导．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24. 若分式方程的解不大于2，试确定k的取值．
【答案】且且
【解析】
【分析】根据分式方程的求解方法，求出，由题意可得且，即可求解．
【详解】解：
两边同时乘，得：
去括号得：
解得：
由题意可得：，，，
∴且，即且
解得且且
【点睛】此题考查了已知分式方程的解，求解参数的范围，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0．
25. 如图，在中，O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与、的平分线交于点E、F．

（1）试探究与的数量关系，并证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形是矩形，并说明理由．
【答案】（1）=2；理由见解析；（2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE=OC，OF=OC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
【详解】解：（1）=2；
理由是：∵直线l∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OF=OC，
∴OE=OF．
∴=2；
（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE=OF=OC=OA，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用．
26. 如图,矩形中,点是线段上一动点, 为的中点, 的延长线交BC于.

(1)求证: ;
(2)若,,从点出发,以l的速度向运动(不与重合).设点运动时间为,请用表示的长;并求为何值时,四边形是菱形.
【答案】(1)证明见解析；(2) PD=8-t，运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
【解析】
【分析】(1)先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证得OP=OQ；
(2)根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．
【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△POD与△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ；
(2)PD=8-t，
∵四边形PBQD是菱形，
∴BP=PD= 8-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即62+t2=(8-t)2，
解得：t=，
即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数形结合思想的运用.
27. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如：，则“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；
①；②；③；④
（2）①将“和谐分式”化成一个整式与分子为常数的分式的和的形式为：_____（写出变形过程）；
②当_____时，分式的值为整数；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）①③④；（2）或或或；（3）x=-3
【解析】
【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得；
（2）①由原式=可得；
②根据①的结果进行求解即可得到答案；
（3）将原式变形为，据此得出x+1=±1或x+1=±2，即x=0或-2或1或-3，又x≠0、1、-1、-2，据此可得答案．
【详解】解：（1）①，是和谐分式；②不是和谐分式；③，是和谐分式；④，是和谐分式；
故答案为：①③④；
（2）①原式；
②∵是一个整数，
∴的结果是整数，
∵当或时满足题意
∴或或或；
（3）原式=，
=，
=，
=，
，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，
此时x=0或-2或1或-3，
又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，
∴x=-3．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解．
28. 如图1，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．
　　　 　　　
（1）求A、C两点的坐标；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线、及x轴于点M、N和Q．设运动时间为，连接．
①当时，求t的值．
②若四边形为平行四边形，试求出E点的坐标；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（6，0），C（2，2）；（2）① t=2或6；②（，）；（3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据A是一次函数与x轴的交点令y=0得到x=6，联立一次函数和正比例函数的解析式，从而可得A、C点的坐标；
（2）①根据绝对值方程即可解决问题；②四边形CMEN是平行四边形则CM∥EN，CN∥ME，即可得到，，设直线ME的解析式为，直线EN的解析式为，求出，，然后联立和即可求解；
（3）根据菱形的性质，分OC为菱形的边和对角线进行讨论求解即可得到答案.
【详解】解：（1）对于直线，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．
联立，
解得，
∴C（2，2），
（2）①设M（6-t，-（6-t）+3），N（6-t，6-t），
∴MN=|-（6-t）+3-（6-t）|=|t-6|，
∵OA=2MN，
∴6=2|t-6|，
解得t=2或6；
②∵四边形CMEN是平行四边形
∴CM∥EN，CN∥ME，
∴，，
设直线ME的解析式为，直线EN的解析式为
把M（6-t，-（6-t）+3）代入中，
∴，
把N（6-t，6-t）代入中，
∴
∴直线ME的解析式为，直线EN的解析式为

解得：
∴E的坐标为（，）；
（3）∵C（2，2），
∴
当OC为菱形的边时，可得（，0），（，0），（，0），
当OC为菱形的对角线时，可得（2，0），
∴或或或时以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形.

【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解