初中数学中考复习 2020中考数学 专题练习：轴对称相关的几何综合题型（含答案）

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典例探究
在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连结AF，
求证：AF⊥AD；
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，
若AB=4， AC=7，求NC的长．
在图-1至图-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和
CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图-2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图-2中的CE缩短到图-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？
（不必说明理由）
图-1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)
G
图-2
A
H
C
D
E
B
F
N
M
A
H
C
D
E
图-3
B
F
G
M
N
在△ABC中，，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．
（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且，请直接写出的范围．
题型精练
在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图(1)，若AC平分，=90°, 则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）
图（1）
（2）如图（2），AC平分， EC平分，
若，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
图（2）（2）（2）
（3）如图（3），BD = 8，AB=2，DE=8，，则线段AE长度的最大值是____________（直接写出答案）．
图（3）
在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若.
（1）当D为边BC上一点，并且CD=CA，，时，则AB _____ AC（填“=”或“”）；
（2）如果把（1）中的条件“CD=CA”变为“CD=AB”，且的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；
（3）若CD= CA =AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围.（不写解答过程，直接写出结果）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
已知正方形纸片ABCD的边长为2．
操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
探究：（1）观察操作结果，找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；
（2） 当点P位于CD中点时，你找到的三角形与周长的比是多少（图2为备用图）？
直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．
（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；
②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与应满足的关系是 ；
如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
A
B
C
E
F
D
D
A
B
C
E
F
A
D
F
C
E
B
图1
图2
图3
在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图②证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，
求的值．（用含α的式子表示）
在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点.
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）连结，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段的长.
如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM.
（1） 当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．
(1) 如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
(2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；
(3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，
直接写出GM的长．
图1
图2
备用图
如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，请直接写出S与x的函数关系式，并求出S的最小值 ．

如图1，在四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）．
问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cs=_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=，PB=，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA=，PB=，PC=，且，直接写出∠APB的度数．
如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形， AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．
①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；
②当时，上述结论成立；当 时，上述结论不成立．
图1 图2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D＇OC＇，直线A D＇、B C＇相交于点P．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D＇、B C＇的数量关系以及∠APB与的大小关系；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与有怎样的等量关系？请证明．
已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证：BF∥AC；
(2) 若AC边的中点为M，求证：；
(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．
参考答案
典例探究
例1 证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴．
（1）∵CE∥AD ，
∴，.
∴．
∴AC=AE．
∵F为EC的中点，
∴AF⊥BC．
∴．
∴AF⊥AD．
（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F.
A
M
D
C
B
N
E
F
3
54
4
1
2
∴，．
∵M为BC的中点
∴BM＝CM．
在△BFM和△CNM中，
∴△BFM≌△CNM（AAS）．
∴BF＝CN．
∵MN∥AD ，
∴，.
∴．
∴AE＝AN，BE＝BF．
设CN=x，则BF=x， AE＝AN＝AC－CN＝7－x，BE＝AB＋AE＝4＋7－x．
∴4＋7－x＝x．
解得 x＝5.5．
∴CN＝5.5．
例2 证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
图-1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)
又∵点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．
∴△FBM ≌ △MDH．
∴FM = MH．
∵∠FMB =∠DMH = 45°，
∴∠FMH = 90°．
∴FM⊥HM．
（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．
图2
A
H
C
D
E
B
F
G
N
M
P
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
且MB=CD=DH．
∴四边形BCDM是平行四边形．
∴ ∠CBM =∠CDM．
又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．
∴△FBM ≌ △MDH．
∴FM = MH，
A
H
C
D
E
图-3
B
F
G
M
N
且∠MFB =∠HMD．
∴∠FMH =∠FMD－∠HMD
=∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．
（3）是．
例3 （1）；（2）连结PC、AD，易得∠PAD=∠PCQ=∠PQC，∴∠PAD+∠PQD=，∴∠APQ+∠ADQ=， 易得∠CDB=；(3) ∵∠CDB=,PQ=QD, ∴∠PAD=∠PCQ=2∠CDB=,∵P不与M、B重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD, 即＞＞，∴
题型精练
（1） AE=AB+DE ；
（2）解：猜想：AE=AB+DE+．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，
在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=．
∵AC平分，∴∠BAC=∠FAC．
∵AF=AB，AC=AC，∴△ABC≌△AFC.
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+．
（3）．
（1）=
（2）成立.
解法一：

解法二：
如图，作，
交于点.
，
，
.

（3）解：(ⅰ)当D在线段BC上时，
()（取等号时B、D重合）.
(ⅱ)当D在CB的延长线上时，
()（取等号时B、D重合）
(ⅲ)当D在BC的延长线上时，
，().
（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴, BC=．
∵BD平分∠ABC，
∴.
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=．
∴BC=BE.
∴△BCE是等边三角形.
A
D
G
C
B
M
E
图2
（2）结论：AD = DG＋DM．
（3）结论：AD = DG－DN．
理由如下：
延长BD至H，使得DH＝DN .
由（1）得DA=DB，．
∵DE⊥AB于点E．
图3
1
2
3
4
5
6
7
A
D
G
C
B
N
E
H
∴．
∴．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND，．
∴．
∵,
∴.
即.
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB.
∵HB=HD＋DB=ND＋AD,
∴DG= ND＋AD.
∴AD = DG－ND.
解：（1）与相似的三角形是．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°．
由折叠知 ∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∴∽．
（2）设ED=x，则AE=，
由折叠可知：EP=AE=．
∵点P是CD中点，
∴DP=1．
∵∠D=90°，
∴，
即
解得 ．
∴．
∵∽，
∴．
∴与周长的比为4∶3．
1
21
31
（1）= ；
(2) ∠α+∠BCA=180°；
(3) 探究结论： EF=BE+AF.
证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°, ∠2+∠3+∠CFA=180°.
又∵∠BCA=∠α=∠CFA，∴∠1=∠3.
∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA,
∴△BEC≌△CFA.
∴BE=CF , EC=AF.
∴EF=EC+CF=BE+AF.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。
（2）。证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =450， ∴ ∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。
又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF=MF ，即BF=BM。
∴BF=PE， 即。
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。
由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN。
∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。
∴。
在Rt△BNP中，， ∴，即。
∴。
解：（1）∵，
∴.
∵，
∴.
∵，∴.
∵，∴
（2）过点作，垂足为点.
∴.∵∥，∴，.
∵，∴.∴.
∴.
∵，，，
∴
（3）∵矩形ABCD，
∴.∴.
∵ ，∴.
∴.∴.
当以点E，F，H为顶点的三角形与相似时，
ⅰ）若，
∵，，∴
.∴.
∴，∴.∴.∴.
ⅱ)若，如图所示，记与交于点.
∵，∴.
∴.
∵，， ∴.
∵∥，∴.∴.
∴. ∴.
设，则，
∴. ∴.
∴，. ∴.
综上所述，线段的长为或1.
解：（1）当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：
∵M是正方形ABCD对角线上一点
∴AM=CM
又AB=BC,BM=BM
∴△ABM≌△CBM
∴∠BAM=∠BCM
又BE=BA=BC
∴∠BEC=∠BCM
∴∠BEC=∠BAM
在EC上取一点N使得EN=AM,连结BN
又∵EB=AB
∴△BNE≌△ABM
∴∠EBN=∠ABM,BN=BM
又∵∠EBN+∠NBA=60°
∴∠ABM+∠NBA=60°
即∠NBM=60°
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F
∴∠EBF＝90°－60°＝30°
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为
图1
解：(1)补全图形见图1，
EF与HM的数量关系是EF=HM ；
(2)连接MF（如图2）.
∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，
且∠BAC=120°，
图2
∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.
∵AB=AC，
∴AD⊥BC.
∵NG⊥EC，
∴∠MDC =∠NGM =90°.
∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.
∴∠4=∠5.
∴∠3=∠5.
∵NA=NC，∠2=60°，
∴△ANC是等边三角形.
∴AN=AC.
在△AFN和△AMC中，

∴△AFN≌△AMC.
∴AF=AM.
∴△AMF是等边三角形.
∴AF=FM，∠7=60°.
∴∠7=∠1.
∴FM∥AE.
∵FH∥CE，
∴四边形FHEM是平行四边形.
∴EH=FM.
∴AF=EH.
(3) GM的长为.
（1）证明：
∵PE=BE ，
∴EBP=EPB .
又∵EPH=EBC=90°,
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
∴EPH-EPB=EBC-EBP .
即PBC=BPH .
又∵AD∥BC ,
∴APB=PBC .
∴APB=BPH .
（2）△PHD的周长不变，为定值 8
证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q
由（1）知APB=BPH
又∵ A=BQP=90°，BP=BP
∴ △ABP≌△QBP
∴ AP=QP, AB=BQ
又∵ AB=BC
∴ BC = BQ
又∵ C=BQH=90°，BH=BH
∴ △BCH≌△BQH
∴ CH=QH
∴ △PHD的周长为：
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8
（3）
配方得， ，
∴当x=2时，S有最小值6
（1）等腰三角形
（2）判断出直角三角形
证明：如图连结，取的中点，连结，
是的中点，A
B
C
D
F
G
H
E
1
2
3
，，．
同理，，．
，．-------4分
，，
是等边三角形．
，
，
即是直角三角形．
解：（1）=，△PMN周长的最小值为 3 ；
图6
（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.
∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF.
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°.
∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线.
∴DE=BD=BP=，EF=CE+CF=2CP=2.
∵△ADF中，AD=AF=，∠DAF=120°，
∴∠ADF=∠AFD=30°.
∴DF=AD =.
∴.
∴∠DFE=90°.
∵，
∴.
图7
∴.
（3）∠APB=150°.
说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图7）
由（2）知∠DBE=，∠DAF=.
∵BD=BE=，AD=AF=，
∴∠DBM=，∠DAN=.
∴∠1=，∠3=.
∴DM =，DN=.
∴DE=DF=EF.
∴∠2=60°.
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.
（1）∠BMD= 3 ∠ADM
（2）联结CM，取CE的中点F，联结MF，交DC于N
∵M是AB的中点，∴MF∥AE∥BC，
∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，
∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.
∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中点，
∴ME=MC，∴∠1=∠2.
∴∠1=∠2=∠3.
∴∠BME =3∠AEM.
（3）当0°