二次函数综合题型专题-2022年初中数学中考备考测试题（二）

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二次函数综合题型专题（二）
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，抛物线被x轴截得的线段长度为4.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点，为抛物线上不重合两点（其中），且满足，求a的取值范围．
2．已知关于的二次函数．
（1）当抛物线过点（2，-3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点和，当时，总有，求m的取值范围．

3．在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点．
（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于，，都有，求h的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A(﹣1，0)．
（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）
（2）已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．
(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；
(2)求抛物线与x轴的交点坐标；
(3)已知点P(a，0)，Q(0，a﹣2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，为抛物线上两点，其中．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若，点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当为等腰直角三角形时，求a的值；
（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，y的最小值是－2，求当时，y的最大值；
（3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，，都有，直接写出t的取值范围．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A（1，0）和点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）分别过点P（t，0）和点Q（t＋2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n
①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m－n的最小值；
②若存在实数t，使得m－n＝2，直接写出a的取值范围
10．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）直线与抛物线围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．
①当时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；
②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．
11．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点，且满足，求n的取值范围；
（3）若时，，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
12．已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1，0)，点B(x2，0)，(点A在点B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．
(1)若点A的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．
（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；
（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式的x的最大值为3，直接写出实数a的值．
15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD．
（1）当时，
①写出抛物线的对称轴；
②求抛物线的表达式；
（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，直线与 轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过，两点，且与轴的另一交点为点 ，；

（1）求点的坐标；
（2）对于该二次函数图象上的任意两点， ，当时，总有．
①求二次函数的表达式；
②设点在抛物线上的对称点为点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含， 两点）．若一次函数的图象与图象有公共点，结合函数图象，求 的取值范围．

1．（1）对称轴为直线；（2）；（3）a的取值范围为或
（1）根据抛物线的对称轴公式可直接进行求解；
（2）设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，且在的右侧，由题意可得，然后根据韦达定理可进行求解；
（3）由（2）及点，为抛物线上不重合两点（其中），可得：即为方程的两个不相等的实数根，则根据一元二次方程根的判别式可得
或，根据一元二次方程的公式法可得，由韦达定理可得：，进而可分①当时，由可知：，②当时，由可知：，然后由题意可进行求解．
【详解】
解：（1）由抛物线可得：
抛物线的对称轴为直线；
（2）设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，且在的右侧，由题意可得，
∴，
∴根据韦达定理可得，
∴，即，
解得：；
（3）由（2）及点，为抛物线上不重合两点（其中），可得：
即为方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：或，
∴根据一元二次方程的公式法可得，
由韦达定理可得：，
①当时，由可知：，
∵，即，
∴，化简得：，
解得：，
∵，
∴；
②当时，由可知：，
由①可得，化简得：，
解得：，
∵，
∴；
综上所述：a的取值范围为或．
2．（1），与y轴交点；（2）对称轴；（3）．
【详解】
（1）解：∵抛物线过点，
∴，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
∴与轴的交点坐标为，
（2）∵，
∴，
∴时，，
故对称轴为，
（3）由函数表达式可知函数开口向上，
∵，
∴，，
∴，
即
3．（1）；（2）或
【详解】
解：（1）当时，抛物线的表达式为．
∴．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）设抛物线上四个点的坐标为，，，．
∵，
∴的最小值必为或．
①由可知，当时，存在≥，不符合题意．
②当时，总有．
∵当时，y随x的增大而减小，
∴．
当时，．
∴，符合题意．
当时，．
∴，不符合题意．
③当时，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，．
当时，．
∴，符合题意．
当时，．
∴，不符合题意．
综上所述，h的取值范围是或．
4．（1）；（2）或．
【详解】
（1）∵点在抛物线上
∴，解得
∴
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为点，与y轴交于点
∵将点向左平移3个单位长度
点C的坐标为，即
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时
由抛物线与x、y轴的交点可知，抛物线与线段BC无公共点
②当时
若抛物线的顶点在线段BC上，则顶点坐标为
∴
解得
若抛物线的顶点不在线段BC上，要使抛物线与线段BC恰有一个公共点，则抛物线与y轴的交点位于点C的上方
即
解得
综上，a的取值范围是或．

5．(1)A的坐标为(0，3a)
(2)抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)
(3)﹣1≤a＜0或1≤a＜3
(1)
解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，当x=0时，y=3a，
∴A的坐标为（0，3a）；
(2)
解：当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0，
∴a（x-1）（x-3）=0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
(3)
解：当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，

∴P（﹣1，0），
此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．
当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），

此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点；
综上所述，当﹣1≤a＜0或1≤a＜3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
6．（1），；（2）或；（3）
【详解】
解：（1）∵时，，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，；            
（2）当时，M，N两点的坐标分别为，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴．
解得或．                  
（3）对于抛物线，其顶点坐标为：()，
①当图象G不包含顶点， a＞时，，即：，
∴，
∵t＞0，
∴0＜t＜1；
②当图象G不包含顶点， a+t＜时，，即：，
∴，解得：-1＜t＜1，
∵t＞0，
∴0＜t＜1；
③当图象G包含顶点， a+t＞，a≤，时，
，即：，
∴ ，
∴（舍去）或，即：
∵a≤且，即：a≤且，
∴≤且，
∴1≤t≤2；
④当图象G包含顶点， a+t≥，a＜，时，
，即：，
∴或（舍去），即：，
∵a+t≥且，即：+t≥且，
∴1≤t≤2；
综上所述：．
7．（1）；（2）点B的坐标为；（3）或
【详解】
解：（1）由抛物线，可知．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）∵抛物线与y轴交于点A，
令x=0，y=1
∴点A的坐标为．
∵点B是点A关于直线的对称点，
∴点B的坐标为．
（3）∵点A ，点B ，点 P，点Q，
∴点 P在点A 的上方，点Q在直线上．
①当时，，点Q在点A的右侧．
（i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；

（ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点
②当时，，点Q在点B的左侧．
（i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；
（ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧，
结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点．

综上所述，a的取值范围是或．
8．（1）A（0，2）；对称轴是x＝2；（2）7；（3）或．
【详解】
解：（1）令x＝0则y＝2，
∴．点A坐标为（0，2）．
∵＝＝，
∴二次函数图象的对称轴是x＝2；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2，
∴2－4a＝－2，
解得a＝1.
∴二次函数表达式为，
∴在时，当x＝5时，y有最大值，；
（3）∵点 P（，），Q（，），且，，都有，
∴①当点P、Q都在对称轴x=2左侧时，，此时t+3≤2，解得t≤-1；
②当点P、Q都在对称轴x=2右侧时，，此时t≥2；
③当点P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧时，且，
此时2-（t+1）≥（t+3）-2或2-t≤（t+2）-2，解得t≤0,或t≥1，
综上所述，或．
9．（1）对称轴为直线；点B坐标（3，0）；（2）①见解析；2；②或
【详解】
解：（1）把点A（1，0）代入，可得，
抛物线的对称轴为直线．
点A和点B关于对称，
点B坐标（3，0）．
（2）①当a＝2时，，与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），与y轴交点坐标为（0，6），顶点坐标．
当时， ，
当时，，
当时，如下图：，，
，随的增大而减小，
当的最小值为8，
，
当时，如下图，，，，
，时，随的增大而减小，
当时，的最小值为2，

当时，如下图，，，
，，随的增大而增大，
当时，的最小值大于2，

当时，如下图：，，
，时，随的增大而增大，
当的最小值为10，

综上，的最小值为2.
② ，抛物线的顶点坐标为，顶点到轴的距离为 ，如图，当时，a的取值范围是或．

10．(1) A的坐标为（0，），顶点为（2，﹣a）；（2）①2个；②1.5＜a≤2．
【详解】
解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴顶点为（2，﹣a）；
把x=0代入得，，
点A的坐标为（0，）；
（2）①∵a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3，顶点坐标为（2，-1），与y轴交点为（0,3），
当y=0时，0＝x2﹣4x+3，解得，，与x轴的两个交点分别是（1,0）和（3,0），
直线解析式为：，当x=0时，y=3,当y=0时，x=3，直线与x轴、y轴交点分别是（3，0）和（0,3）；
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
观察图象可知，区域G中整点的个数为2个，分别是（1,1），（2,0）；

②由图象可知抛物线经过（1,0），（3,0），（0,3），直线经过（0,3）和（3,0），故区域内整点横坐标只能是1或2，如图所示当a=2时，区域内恰好有6个整点，当a＞2时，区域内的整点多于6个，当a=1.5时，区域内恰好有5个整点，
综上所述：1.5＜a≤2．


11．(1)（b，-2）,（2） ，（3）．
【详解】
解：(1) 化成顶点式为：，
抛物线顶点的坐标为（b，-2）；
(2)把代入解析式得，，解得，（舍去），，
抛物线解析式为：，
因为抛物线开口向下，当时，n有最小值，最小值为-2，当时，n=2，当时，n=-1，
所以，n的取值范围为：；
(3)把（3,2）代入得，，解得，，，
观察图象，当时，满足时，；
把（5,2）代入得，，解得，，，
观察图象，当时，满足时，；
故b的取值范围为．

12．（1），（1，0）；（2）-1＜x2＜0；（3）a＜-2．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为，解得：b=2a，
故y=ax2+bx+a+2=a（x+1）2+2，
将点A的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
令y=0，即，解得：x=-3或1，
故点B的坐标为：（1，0）.
（2）由（1）知：，
点C在第三象限，即点C在点A的下方，
即点A在点C和函数对称轴之间，故-2＜x1＜-1，
而，即x2=-2-x1，
故-1＜x2＜0.
（3）∵抛物线的顶点为（-1，2），
∴点D（-1，0），
∵∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，
∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，

∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，
则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
当x=0时，，
解得：a＜-2，
故a的取值范围为：a＜-2．
13．（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝或﹣≤a＜﹣1
【详解】
解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；
（2）a＝时，概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象如下：

从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，
其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；
（3）①当a＞0时，
由（2）知，当a＝时，区域W内的所有整点数有4个；
参考（2）可得：当a＞时，区域W内的所有整点数多于3个；
当a时，区域W内的所有整点数有4个；
同理当a＝时，区域W内的所有整点数有3个；
当0＜a＜时，区域W内的所有整点数多于3个；
②当a＜0时，
当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；
当a＜﹣时，区域W内的所有整点数多于3个；
∴区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣≤a＜﹣1，
综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝或﹣≤a＜﹣1．
14．（1）；（2）a的取值范围是或a=；（3）．
【详解】
解：（1）依据题意，将得点B的坐标代入抛物线得：
，
解得．
此时，．
所以顶点C的坐标为．
（2）当抛物线过时，，此时，．
当抛物线过时，，此时，．
当抛物线顶点在线段AB上时，a= .
结合下面图象可知，a的取值范围是或a=．   

（3）抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，当时，越来越大，则的x的最大值为3，可知，当时，不等式有最大值且最大值为0，则 ，代入得，解得．
则实数的值为8．
15．（1）①；②；（2）或．
【详解】
解：（1）当时，化为．
①．
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴点D的坐标为（-1，），OD=1．
∵OB=2OD，
∴ OB=2．
∵点A，点B关于直线对称，
∴点B在点D的右侧．
∴ 点B的坐标为（，）．
∵抛物线与x轴交于点B（，），
∴ ．
解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线与x轴交点为点E，
当y=0时，
∴
∴ E（，0）．
抛物线的对称轴为，
∴点D的坐标为（，）．
①当时，．
∵OB=2OD，
∴ OB=b．
∴ 点A的坐标为（，），点B的坐标为（b，）．
当