几何综合题型专题-2022年初中数学中考备考测试题（一）

这是一份几何综合题型专题-2022年初中数学中考备考测试题（一），共27页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
几何综合题型专题（一）
一、解答题
1．如图 1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边 AB 上取一点 D（点 D 不与点 A，B 重合），在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE. 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图 2．
（1）请你在图 2 中，连接 CE 和 BD，判断线段 CE 和 BD 的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图 3 中，画出当α =45°时的图形，连接 CE 和 BE，求出此时△CBE 的面积；
（3）若 AD=1，点 M 是 CD 的中点，在△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是 ．

2．已知，如图，∠MAN=90°，点B是∠MAN的内一点，且到AM，AN的距离相等．过点B做射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90°交AN于点D．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：BC=BD；
（3）连接AB，用等式表示线段AB，AC，AD之间的数量关系，并证明．
3．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．

4．如图，在中，．D是内一点，．过点B作交的延长线于点E．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．
5．△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD．作射线BD，点C关于射线BD的对称点为点E．连接AE，CE．
（1）依题意补全图形；
（2）若α＝20°，直接写出∠AEC的度数；
（3）写出一个α的值，使AE＝时，线段CE的长为﹣1，并证明．

6．已知：如图，∠QAN为锐角，H、B分别为射线AN上的点，点H关于射线AQ的对称点为C，连接AC，CB．
（1）依题意补全图；
（2）CB的垂直平分线交AQ于点E，交BC于点F．连接CE，HE，EB．
①求证：△EHB是等腰三角形；
②若AC+AB＝AE，求的值．

7．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．
（1）当α=90时，
①依题意补全图形；
②求证：PD=2PB；
（2）写出一个α的值，使得PD=PB成立，并证明．

8．在中，，是边上的一点（不与点重合），边上点在点的右边且，点关于直线的对称点为，连接．
       
（1）如图1，
①依题意补全图1；
②求证：；
（2）如图2，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
9．在正方形中，点在射线上（不与点、重合），连接，，将绕点逆时针旋转90°得到，连接．

（1）如图1，点在边上．
①依题意补全图1；
②若，，求的长；
（2）如图2，点在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系．
10．在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．

11．已知，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，，将线段AP绕点A逆时针旋转，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转，得到线段OC，作于点H．
（1）如图1，．
①依题意补全图形；
②连接BP，求的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．

12．如图，在等腰三角形中，为边的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．

（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
13．在中，，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）．

（1）依题意补全图1；
（2）探究与的数量关系为___________；
（3）如图2，若平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
14．在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.

（1）若点P在线CD上，如图1，
①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）
15．在等腰直角三角形ABC中，，P是BC上的一动点（不与B，C重合），射线AP绕点A顺时针旋转，得到射线AQ，过点C作CE垂直AB，交AB与点D，交射线AQ于点E，连接PE．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段PE，DE，AC三条线段之间的数量关系，并证明．


1．（1）CE＝BD，理由见解析；（2）图形见解析，；（3）1．
【详解】
解：（1）CE＝BD；
理由：连接CE和BD，如图2所示，
由题意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠DAB，
又∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△AEC≌△ADB(SAS)，
∴CE＝BD；

（2）当α =45°时，连接CE和BE，如图所示，延长AD交BC于F，
∵α =45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，
∴AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，
∴∠EAB＋∠ABC＝135°+45°＝180°，
∴AE∥BC，
∵BC＝，
∴AF＝，
∴；
   
（3）如图4，当点M不在AC上时，取AC中点G，连接GM，
∵M是CD′的中点，
∴GM＝，
当点M在AC上时，由M是CD′的中点可得GM＝，
∴在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心，长为半径的圆上，
∴当点M与点E重合时AM取最小值，此时AM＝AE＝1．

2．（1）见解析；（2）见解析；（3）AC+AD=AB，证明见解析
【详解】

解：（1）依题意补全图形（参照上图）；
（2）证明：如上图，过B作BE⊥AM，BF⊥AN，垂足分别为E，F，则BE=BF．
∵∠MAN=∠CBD=90°，
∴∠ACB+∠ADB=180°．
∵∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠BCE=∠ADB．
∵BE⊥AM，BF⊥AN，
∴∠BEC=∠BFD=90°，
∴△BEC≌△BFD．
∴BC=BD．
（3） AC+AD=AB，
证明：过B作BG⊥AB交AN于点G．

∵BG⊥AB
∴∠ABG=90°．
∴∠ABG =∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠GBD．
∵∠ACB+∠ABD=180°，∠ABD+∠GDB=180°，
∴∠ACB =∠GDB．
∵BC=BD，
∴△ABC≌△GBD．
∴AB=BG．
∵点B到∠MAN的两边AM，AN的距离相等，
∴∠BAG =∠MAN =45°，
∴AG=AB，
∴AC+AD=AB．
3．（1）DP⊥AE；（2）①见解析；②BF=DF，证明见解析
【详解】
（1）DP与AE的位置关系：DP⊥AE；理由如下：
∵△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，
∴DP⊥AE；
（2）①补全图形，如图：

   证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAE=90°．
∵△ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，
∴DP⊥AE，即∠APD=90°．
∵点C，D，P在同一条直线上，
∴∠ACP+∠CAE=90°．
∴∠BAE=∠ACP．     
② 线段BF与DF的数量关系：BF=DF．   

证明：如图，过点B作BH⊥AE于点H．
∴∠AHB=∠APD=90°．               
∵ ∠BAE=∠ACP，AB=AC，
∴△BAH ≌△ACP(AAS)．
∴BH=AP=DP．
∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，
∴△BFH ≌△DFP(AAS)．
∴BF=DF．
4．（1）见解析；（2）见解析；（3）AE；见解析
【详解】
解：补全图形如图6所示．


（2）证明：如图7，延长至点F．

∵，点F在的延长线上，
∴．
∵，∴．
∵是的外角，
∴，∴．
又∵，
∴．
（3）
证明：如图8，延长至点F，在上截取，连接


由（2）得，又∵
∴，∴．
∵，∴．
∵，
∴．∴．
∴．
5．（1）见解析；（2）∠AEC＝135°；（3）α＝30°，证明见解析
【详解】
解：（1）如图1，

（2）∠AEC＝135°，
证明：过A作AG⊥CE于G．连接AC、BE，如图2，

由题意，BC＝BE＝BA，
∴∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，
∵∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°
∵∠ABC＝90°，
∴2（∠BEC+∠BEA）＝270°，
∴∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°，
（3）α＝30°，
证明：∵∠AEC＝135°，
∴∠AEG＝45°，
∵AE＝，
∴AG＝GE＝1，
当α＝30°时，
∴∠EBC＝30°，
∵BC＝BE，
∴∠BCG＝75°，
∵∠BCA＝45°，
∴∠ACG＝30°，
∴，
∴．
6．（1）补图见解析；（2）①证明见解析；②．
【详解】
（1）图形如图1所示：

（2）①证明：如图2中，

∵C，H关于AQ对称，
∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△AHE（SAS），
∴EC＝EH，
∵EF垂直平分线段BC，
∴EC＝EB，
∴EH＝EB，
∴△EHB是等腰三角形．
②解：如图2﹣1中，作EM⊥AB于M．

∵EH＝EB，EM⊥BH，
∴HM＝MB，
∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，
∵AC+AB＝AE，
∴4AM＝AE，
在Rt△AEM中，＝＝，
∴＝．
7．（1）①见解析；②见解析；（2）当α=60°(或120°)时，PD=PB，证明见解析
【详解】
（1）①如图
                  
②∵AC＝AD，AB＝AC
∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB
又∵∠BAC＝30°，∠BAD＝90°
∴∠ABD＝∠ADB＝30°
∴AP＝BP
在Rt△APD中，∠ADB＝30°
∴PD＝2AP
∴PD＝2PB
（2）当α=60°(或120°)时，PD=PB
情况Ⅰ：当α=60°时，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，

∴DF∥BE
∴△DFP∽△BEP
∴
在Rt△ABE中，∠BAC＝30°
∴AC＝2BE
在Rt△ADF中，∠CAD＝60°
∴AD＝DF
又∵AD＝AC＝AB
∴2BE＝DE，即BE＝DF
∴PB＝PD
情况Ⅱ：当α=120°时，过点D作DF⊥AC，交CA的延长线于点F， 过点B作BE⊥AC，垂足为点E，

∴DF∥BE
∴△DFP∽△BEP
∴
在Rt△ABE中，∠BAC＝30°
∴AC＝2BE
在Rt△ADF中，∠FAD＝60°
∴AD＝DF
又∵AD＝AC＝AB
∴2BE＝DE，即BE＝DF
∴PB＝PD
8．（1）①依题意补全图形，见解析；②见解析；（2）线段之间的数量关系是．证明见解析．
【详解】
（1）①依题意补全图形，如图1．

②证明：连接，如图2．
，
．
点F与点D关于直线对称，
，．
．
又，
．
．
（2）线段之间的数量关系是．
证明：连接，如图3．

，
．
由（1）②，可得．

在中，由勾股定理，得．
．
9．（1）①作图见解析；②；（2）
【详解】
（1）①作图如图所示：

②作交CB延长线于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△DEC和△EFG中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）作，

∵，
又，,
∴，
在△DCE和△EHF中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
10．（1）见解析；（2）图见解析，，证明见解析
【详解】
（1）证明：设，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=a，，
∵DA=DP，∠ADP=60°，
∴是等边三角形．
∴，
∴在中，
，
在中，
∵ ，
∴，
，
∵，
∴．
（2）依题意补全图形，如图所示．

．
证明：作DH⊥AP交BC于点H．

∵DH⊥AF，
∴∠HDC+∠AFD=90°．
∵∠HDC+∠DHC=90°，
∴∠AFD =∠DHC．
∵AD=DC，∠ADF=∠DCH=90°，
∴．
∴DF=CH．
∵DA=DP，DH⊥AF，
∴∠ADH=∠EDH．
∵AD//BC，
∴∠ADH=∠EHD．
∴∠EDH=∠EHD．
∴．   
∵EH-EC=CH，
∴．
11．（1）①见解析；②90°；（2），见解析
【详解】
解：（1）①下图即为所求：

② ，
解：∵线段AP绕点A逆时针旋转得到AB，
，且．
是等边三角形．
．
，
，
．
．
（2）
证明：连接BP，BC，
由（2）可知，是等边三角形，
．
∵线段OB绕点O顺时针旋转得到OC，

．
是等边三角形．
．
．
．
．
，
．
．
，
．
，
．
∴在中，．
．
12．（1）见解析；（2）60°；（3），证明见解析
【详解】
（1）解：依题意补全图形，如图．

（2）解：，D为边的中点，
∴．
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴．
∴，
在中，，
∴．
即．
∴．
（3）．
证明：如图，在上取点M，使，连接．
∵AB=AC又AC=AE
∴AB=AE
∴△ABE是等腰三角形
∴∠ABE=∠AEB又BF=EM
∴．
∴．
又∠AFE=60°
∴是等边三角形．
∴．
∴．

13．（1）图见解析；（2）=；（3），证明见解析．
【详解】
解：（1）补全图如下：

（2）∵绕点A顺时针旋转a，使边与重合，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠AEC+∠AEM=180°，∠ADB+∠ADM=180°，
∴∠ADM=∠AEM，
故答案为：=；
（3），证明如下：
∵绕点A顺时针旋转a，使边与重合，

∴EC=BD,AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
又∵DE平分∠ADB,
∴∠ADE=∠BDE，
∴∠AED=∠BDE，
∴AE//BD，
∴∠MDA=∠DAE，∠DME=∠MEA，
∵由（2）得∠MEA=∠MDA，
∴∠MEA=∠DAE，∠DME=∠MDA，
∴AN=NE，MN=DN，
∴ME=AD，
∴．
14．（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）或
【详解】
试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．
（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°
∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由代入HR，CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．
试题解析： （1）①
法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH
证：连接CH，得：△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP
BD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．
法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．

（2）法一：轴对称作法
考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°
∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.
由得：，∴．即PD=
法二：四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．

考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆
15．（1）见解析；（2）45°；（3），见解析
【详解】
解：(1)补全图形，如图

(2)∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=45°
∵∠EAP=45°
∴∠EAD=∠CAP
又∵∠EDA=∠ACP=90°
∴△ADE∽△ACP ，D为AB中点
∴
∴∠EPA=45°
(3)由(2)可知，△AEP是等腰直角三角形
在Rt△APC中
∵
又∵，
∴
即