二次函数综合押题考前练习卷-2022年初中数学中考备考冲刺（含答案）

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二次函数综合押题考前练习
一、解答题
1．物线经过点和点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)①如图1，点P是第三象限抛物线上的动点，过点P作轴于点D，作轴于点E，当四边形周长最大时，求的值；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线交x轴于点、，与y轴交于C点，直线交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点

(1)分别求出a、b的值
(2)求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围
(3)探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作//轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围．
4．如图，二次函数的图像与x轴负半轴交于点E，平行于x轴的直线l与该抛物线交于A、B两点（点A位于点B左侧），与抛物线对称轴交于点．

(1)求b的值；
(2)设C、D是x轴上的点（点D位于点C左侧），四边形ABCD为平行四边形，过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线交于、．
①若，求m的值；
②当值最大时，四边形的面积为______．
5．抛物线的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交抛物线于C，D两点，若，求的面积；
(3)如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
6．已知直线与x、y轴分别相交于B，A两点，抛物线过A，B两点，且对称轴为直线．

（1）求A，B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动．过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t，MN的长度为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，S取得最大值？
（3）设抛物线的对称轴CD与直线AB相交于点D，顶点为C．问：在（2）条件不变情况下，是否存在一个t值，使四边形CDMN是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知抛物线l1：y＝x2﹣4的图象与x有交于A、C两点，
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；
（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知二次函数yx2＋bx＋c的图象与x轴交于A（1，0）和B（-3，0），与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式．
(2)如图1，连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值．
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知二次函数在平面直角坐标系中的图象经过点A(4，0)和点，直线AB的解析式为．

(1)求m、n的值及二次函数的解析式；
(2)善于动脑筋的小武同学拿出一把平时用的矩形直尺，他使直尺有刻度的一边与直线AB重合后惊奇地发现，与之相对的另一边正好经过该抛物线与x轴的另一个交点C；
①求小武同学的直尺的宽度；
②若点Q恰好为抛物线上被直尺遮住的图象上的动点，假设直尺经过点C的一边与抛物线的另一个交点为点D，若点Q的纵坐标为，请直接写出的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）当，连接，求的面积；
（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
12．在平面直角坐标系中，点A、均在抛物线上，该抛物线A、两点之间的部分（包括A、两点）的图象记为．设点A的横坐标为，点的横坐标为．
(1)当时，求图象最低点的坐标．
(2)当点为图象唯一的最高点时，设点与图象最低点的纵坐标之差为，求与之间对应的函数关系式．
(3)当图象与轴有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
(4)以为对角线作矩形，该矩形的边均垂直于坐标轴，当图象平分矩形的一边时，求此时的值．

1．(1)
(2)①6；②或
(1)
∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（−3，0）和点B（2，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2＋x−6；
(2)
设点P（a，a2＋a−6），
∵点P是第三象限抛物线上的动点，
∴a＜0，PE＝−a，
∵四边形周长=DP+OC+OD+PE=2DP+2PE=2+2×（-a）==
∴当a=-1时，四边形周长最大为14，
此时P（-1， −6），
∴PE=1，PD=6
∴=6；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x2＋x−6与y轴交于点C，
当x=0时，y=-6，
∴点C（0，−6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（−3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝，AC＝，
如图，过点A作AH⊥CP于H，

∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴，
∴，
∴AH＝，HC＝，
设点H（m，n），
∴（）2＝（m＋3）2＋n2，（）2＝m2＋（n＋6）2，
解得或，
∴点H（−，−）或（−，），
当H（−，−）时，
∵点C（0，−6），
设直线HC的解析式为y＝kx+b，代入得
解得
∴直线HC的解析式为：y＝−x−6，
联立
∴x2＋x−6＝−x−6，
解得：x1＝−2，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（−2，−4）；
当（−，）时，
∵点C（0，−6），
设直线HC的解析式为y＝px+q，代入得
解得
∴直线HC的解析式为：y＝−7x−6，
联立
∴x2＋x−6＝−7x−6，
解得：x1＝−8，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（−8，50）；
综上所述：点P坐标为（−2，−4）或（−8，50）．
2．(1)，
(2)（）
(3)
【解析】
(1)
解：将点、代入抛物线，可得：，解得：
(2)
解：由（1）可得抛物线的解析式为：
将代入抛物线解析式，解得：
∴
设过点、的函数解析式为：，将、代入可得：，解得：
∴线段的函数关系式：（）
(3)
解：过点D作OC的平行线交BC于点F，如图所示

设点，则点
由图可知：
∵
∴，
∴
∴
∵
∴存在最大值，此时
∴
∴
3．(1)
(2)①     ②当时，线段PQ与二次函数的图象有1个交点；当时，线段PQ与二次函数的图象有2个交点；当时，线段PQ与二次函数的图象有1个交点
【解析】
(1)
将点，点代入得：
，
解得，
此二次函数的解析式为；
(2)
①当点P在点Q的左侧时，，
的长度随m的增大而减小，
此时，
；
当点P在点Q的右侧时，，
的长度随m的增大而增大，这种情况不符合题意，
综上，；
②如图，抛物线上横坐标为的点分别记为M，N，
则二次函数的图象（记为图象G）即为点M，N之间的部分（含M点，不含N点），

，
，
，
，
点P在图象G上运动，即，
点Q在直线右侧，
当PQ经过点N时，点P，N关于直线对称，
此时，，
当PQ经过抛物线的顶点时，，
结合图象可知，
当时，线段PQ与图象G有1个交点；
当时，线段PQ与图象G有2个交点；
当时，线段PQ与图象G有1个交点．
4．(1)
(2)①或；②20
【解析】
(1)
的对称轴与直线交于点，
对称轴为，
即，
解得，
(2)
①，在上，
，
联立，
解得，
，
，
四边形ABCD为平行四边形，过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线交于、，
，
、在上，
，
，
，
即，
整理得，
，
联立，解得或，
或，
②由①得，,，
，
当时，最大，
此时，
，，
分别与重合，则四边形是矩形，
四边形的面积为．
5．(1)
(2)
(3)存在，
【解析】
(1)
由题知，
∴，
∴；
(2)
分别过点C、D，作轴，交于点E，直线DC交y轴于F点，

则，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
令，
得，
∴，
∴．
当时，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
又∵D为抛物线上，
解得，
∴，，
设直线，代入C、D得，
∴，
∴，
令x=0，y=3，
则,
∴；
(3)
过点C作轴于点N，直线PC交y轴于Q点，

则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
设直线为，代入得，
∴，
令得：（舍），
∴．
6．（1）A（0，）．B（-7，0）抛物线的解析式为．（2）S，当时，S有最大值．（3）．
【解析】
解：（1）令得，
∴B（-7，0）
令得，
∴A（0，）．
根据题意有
解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）设，则，，P（，0）．
由于MN与轴平行，且点M在直线AB上，
∴M（，）．
MN与轴平行，且点N在抛物线上，
∴N（，），
∴

∵，S有最大值，
∴当时，S最大值．
（3）计算知C（-3，8），D（-3，2），
∴CD=6．
由于MN∥CD，要四边形CDMN是平行四边形，
只需要MN=CD，
即，解得，．
当时，MN与CD重合，舍去，
∴．
7．（1）y＝﹣x2+4；（2）见解析；（3）存在，菱形，16
【解析】
（1）解：设l2的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∵l1与x轴的交点A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，﹣4），l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）
∴y＝ax2+4
∴0＝4a+4得a＝﹣1
∴l2的解析式为y＝﹣x2+4
（2）证明：设B（x1，y1）
∵点B在l1上
∴B（x1，x12﹣4）
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D（﹣x1，﹣x12+4）．
将D（﹣x1，﹣x12+4）的坐标代入l2：y＝﹣x2+4
∴左边＝右边
∴点D在l2上．
（3）解：设平行四边形ABCD的面积为S，
则S＝2S△ABC＝AC×|y1|＝4|y1|
a．当点B在x轴上方时，y1＞0
∴S＝4y1，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值
b．当点B在x轴下方时，﹣4≤y1＜0
∴S＝﹣4y1，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，
∴当y1＝﹣4时，S有最大值16，但它没有最小值
此时B（0，﹣4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上．
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大＝16

8．（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．
9．(1)y=x2+2x-3
(2)当△BDE为直角三角形时，求t的值为2或；
(3)存在，点Q的坐标为（-1，）或（-1，）
【解析】
(1)
解：把A（1，0）和B（-3，0）代入y=x2+bx+c得：
，解得，
∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-3；
(2)
解：令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，则△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BOC=45°，
根据题意，AD=t，BD=4-t，BE=t，
当∠BDE=90°时，△BDE为直角三角形，
此时BE=BD，即t=(4-t) ，
解得：t=2；
当∠BED=90°时，△BDE为直角三角形，
此时BD=BE，即4-t =×t，
解得：t=；
综上，当△BDE为直角三角形时，求t的值为2或；
(3)
解：y=x2+2x-3= (x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
设直线AC的解析式为y=kx-3，
把A（1，0）代入得：k-3=0，
∴k=3，
∴直线AC的解析式为y=3x-3，
当x=-1时，y=-6，
∴抛物线的对称轴与直线AC的交点F的坐标为（-1，-6），
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则AH=2，FH=6，AF=，
过点Q作QG⊥AC于点G，

由题意知QH=QG，设QH=QG=n，
∴Rt△FAH∽Rt△FQG，
∴，
当点Q在原点上方时，FQ=6+n，当点Q在原点下方时，FQ=6-n，
∴或，
解得：n=或n=
∴点Q的坐标为（-1，）或（-1，）.
10．(1)m=-2，n=，二次函数解析式为：；
(2)的取值范围是：．
【解析】
(1)
解：将点A（4，0）代入得，
，
解得：m=-2，
∴一次函数解析式为：，
把点B（）代入一次函数解析式可得，
，
解得：n=，
∴B（），
将点A、B代入中，可得，
，
解得：，
∴；
(2)
解：①如图所示：设直线CD与y轴相交于点E，过点E作EF⊥CD，交直线AB于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，

∵，
∴当y=0时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴C(-1,0)，
∵CD∥AB，
∴设直线CD的解析式为，将点C代入可得，
，
解得：，
∴直线CD的解析式为，
当x=0时，y=，
∴E(0,)，
∵EF⊥CD，
∴设直线EF的解析式为，
将点E代入可得：，
∴直线EF的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴F(1, )，
∵FG⊥y轴，
∴G(0,)，∠EGF=90°，
∴EG=2，FG=1，
∴，
∴小武同学的直尺宽度为；
②联立两个函数为：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴D()，
∵点Q恰好为抛物线上被直尺遮住的图象上的动点，在点C与点D的纵坐标之间，
∴的取值范围是：．
11．（1）；（2）；（3）①；②
【详解】
解：（1）∵抛物线过两点，
，
解得，，
．
（2）
．
同理，．
又轴，轴，
∴在和中，，即，
       
．
当时，，
，即．        
，
．
（3）①如图，连接，交于点．
∵四边形是矩形，
．
又，
∴，
．
∵四边形是矩形，
．
，
∵当x=0时，，
∴，
，
，
，
．
②在中，，
．

∴要使最小，就要最小．        
，
∴当点在上时，为最小．
在中，．
周长的最小值是．       

12．(1)
(2)
(3)或
(4)的值为3或
【解析】
(1)
解：当时，抛物线其对称轴为直线，
将代入抛物线得：，
抛物线最低点坐标为；
(2)
解：抛物线的对称轴为直线，且图象开口向上，
将代入抛物线，得最低点的坐标为，
点A的横坐标为，点的横坐标为．
，，
∵为图象唯一的最高点，
， 即，
或，
如图1所示，当时，，
∴；

如图2所示当时，，
∴；

(3)
解：∵当时，的对称轴为直线，
点A，点都在对称轴的左侧，
∴图象G在AB段的函数值随x的最大而减小，
当时，，解得，此时图象与轴有且只有一个公共点；
当时，，解得，此时图象与轴有且只有一个公共点；
当时，图象与轴有且只有一个公共点；
如图2，当时，
，
当时，，解得，此时图象与轴有两个公共点，
时，图象与轴有且只有一个公共点；
综上所述：或时，图象与轴有且只有一个公共点；

(4)
解：如图3，当边的中点在图象上时，
设边的中点为，对角线的交点为，
点的横坐标为，
点的横坐标与点的横坐标相同，
点的横坐标为，
点与点关于对称轴对称，
，
；
如图4，当边的中点在图象上时，
设边的中点为，对角线的交点为，
点的横坐标为，
点的横坐标与点的横坐标相同，
点的横坐标为，
点与点关于对称轴对称，
，
；
综上所述：的值为3或．